Statistics-probability-multiplecative-theorem

統計-確率乗法定理

独立したイベント用

定理は、独立した2つのイベントが同時に発生する確率は、個々の確率の積によって与えられると述べています。

$ \ {P（A \ and \ B）= P（A）\ times P（B）\\ [7pt] P（AB）= P（A）\ times P（B）} $

定理は、次のように3つ以上の独立したイベントに拡張できます。

$ \ {P（A \ cap B \ cap C）= P（A）\ times P（B）\ times P（C）P（A、B \ and \ C）= P（A）\ times P（B ）\ times P（C）} $

例

問題文：

大学は、B.Com。、MBA、Ph。でなければならない講師を任命しなければなりません。 D、その確率は$ \ {\ frac \ {1} \ {20}} $、$ \ {\ frac \ {1} \ {25}} $、および$ \ {\ frac \ {1} \ {40}} $それぞれ。 そのような人が大学に任命される確率を見つけてください。

溶液：

人がB.Com.P（A）= $ \ {\ frac \ {1} \ {20}} $である確率

個人がMBAである確率P（B）= $ \ {\ frac \ {1} \ {25}} $

人が博士号を取得する確率P（C）= $ \ {\ frac \ {1} \ {40}} $

独立したイベントに乗法定理を使用する

$ \ {P（A、B \ and \ C）= P（A）\ times P（B）\ times P（C）\\ [7pt] = \ frac \ {1} \ {20} \ times \ frac \ {1} \ {25} \ times \ frac \ {1} \ {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

依存イベントの場合（条件付き確率）

前に定義したように、依存イベントとは、あるイベントの発生または非発生が次のイベントの結果に影響するイベントです。 そのような場合、前述の乗法定理は適用されません。 このようなイベントに関連付けられた確率は、条件付き確率と呼ばれ、次の式で与えられます

P（A/B）= $ \ {\ frac \ {P（AB）} \ {P（B）}} $または$ \ {\ frac \ {P（A \ cap B）} \ {P（B） }} $

イベントBが既に発生している場合、イベントAの発生確率としてP（A/B）を読み取ります。

同様に、Aが与えられたBの条件付き確率は

P（B/A）= $ \ {\ frac \ {P（AB）} \ {P（A）}} $または$ \ {\ frac \ {P（A \ cap B）} \ {P（A） }} $

例

問題文：

コインを2回投げます。 トスの結果、頭と尾が1つになりました。 最初のスローがテールになった確率はどのくらいですか？

溶液：

2回投げられたコインのサンプルスペースは、S = \ {HH、HT、TH、TT}として与えられます。

イベントAを最初の投球とし、最後に尾を引きます。

イベントBは、テールとヘッドが1つずつ発生したことです。

$ \ {P（A）= \ frac \ {P（TH、TT）} \ {P（HH、HT、TH、TT）} = \ frac \ {2} \ {4} = \ frac \ {1} \ {2} \\ [7pt] P（A \ cap B）= \ frac \ {P（TH）} \ {P（HH、HT、TH、TT）} = \ frac \ {1} \ {4} \\ [7pt] So \ P（A/B）= \ frac \ {P（A \ cap B）} \ {P（A）} \\ [7pt] = \ frac \ {\ frac \ {1} \ {4}} \ {\ frac \ {1} \ {2}} \\ [7pt] = \ frac \ {1} \ {2} = 0.5} $