Statistics-probability-additive-theorem

統計-確率加法定理

相互に排他的なイベントの場合

確率の加法定理は、AとBが相互に排他的な2つのイベントである場合、AまたはBの確率は

$ \ {P（A \ or \ B）= P（A）+ P（B）\\ [7pt] P（A \ cup B）= P（A）+ P（B）} $

定理は、次のように相互に排他的な3つのイベントに拡張できます。

$ \ {P（A \ cup B \ cup C）= P（A）+ P（B）+ P（C）} $

例

問題文：

52個のパックからカードが引き出されますが、キングまたはクイーンである確率はどのくらいですか？

溶液：

レットイベント（A）=王のカードの引き分け

イベント（B）女王のカードのドロー

P（カードドローはキングまたはクイーン）= P（カードはキング）+ P（カードはクイーン）

$ \ {P（A \ cup B）= P（A）+ P（B）\\ [7pt] = \ frac \ {4} \ {52} + \ frac \ {4} \ {52} \\ [7pt] = \ frac \ {1} \ {13} + \ frac \ {1} \ {13} \\ [7pt] = \ frac \ {2} \ {13}} $

相互排他的ではないイベントの場合

両方のイベントが発生する可能性がある場合、加法定理は次のように記述されます。

$ \ {P（A \ or \ B）= P（A）+ P（B）-P（A \ and \ B）\\ [7pt] P（A \ cup B）= P（A）+ P（ B）-P（AB）} $

例

問題文：

シューティングゲームは、7ショットのうち3ショットをターゲットに当てることが知られています。別の射手が5発のうち2発で標的を攻撃することが知られています。 両方が試行したときにターゲットがヒットする確率を見つけます。

溶液：

最初の射手がターゲットに当たる確率（A）= $ \ {\ frac \ {3} \ {7}} $

2番目のシューティングゲームがターゲットP（B）をヒットする確率= $ \ {\ frac \ {2} \ {5}} $

イベントAとBは、両方の射手がターゲットにヒットする可能性があるため、相互に排他的ではありません。 したがって、適用可能な追加ルールは

$ \ {P（A \ cup B）= P（A）+ P（B）-P（A \ cap B）\\ [7pt] = \ frac \ {3} \ {7} + \ frac \ {2} \ {5}-（\ frac \ {3} \ {7} \ times \ frac \ {2} \ {5}）\\ [7pt ] = \ frac \ {29} \ {35}-\ frac \ {6} \ {35} \\ [7pt] = \ frac \ {23} \ {35}} $