Statistics-linear-regression
統計-線形回帰
相関分析を使用して変数間の関係の程度が確立されると、関係の性質を掘り下げるのは自然なことです。 回帰分析は、変数間の原因と結果の関係を判断するのに役立ちます。 グラフィカルな方法または代数的方法を使用して独立変数の値を予測できる場合、他の変数（従属変数と呼ばれる）の値を予測することができます。
グラフィカルな方法
X軸に独立変数、Y軸に従属変数を持つ散布図を描画します。 その後、ほとんどの分布を通過するように線が描かれ、残りの点は線の両側にほぼ均等に分布します。
回帰直線は、データの一般的な動きを要約する最適な直線として知られています。 これは、他の変数の平均値に対応する1つの変数の最良の平均値を示します。 回帰直線は、従属変数の予測値と観測値の間の偏差の平方和を最小化する直線であるという基準に基づいています。
代数的方法
代数的手法は、Y上のXとX上のYの2つの回帰方程式を作成します。
X上のYの回帰式
$ \ {Y = a + bX} $
どこ-
- $ \ {Y} $ =従属変数
- $ \ {X} $ =独立変数
- $ \ {a} $ = Y切片を示す定数
- $ \ {b} $ =線の勾配を示す定数
aおよびbの値は、次の正規方程式によって取得されます。
$ \ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2} $
どこ-
- $ \ {N} $ =観測値の数
Y上のXの回帰式
$ \ {X = a + bY} $
どこ-
- $ \ {X} $ =従属変数
- $ \ {Y} $ =独立変数
- $ \ {a} $ = Y切片を示す定数
- $ \ {b} $ =線の勾配を示す定数
aおよびbの値は、次の正規方程式によって取得されます。
$ \ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2} $
どこ-
- $ \ {N} $ =観測値の数
例
問題文：
研究者は、父と息子の体重傾向の間には相関があることを発見しました。 彼は現在、与えられたデータから2つの変数の回帰式を作成することに興味があります。
| Weight of father (in Kg) | 69 | 63 | 66 | 64 | 67 | 64 | 70 | 66 | 68 | 67 | 65 | 71 |
| Weight of Son (in Kg) | 70 | 65 | 68 | 65 | 69 | 66 | 68 | 65 | 71 | 67 | 64 | 72 |
開発する
- X上のYの回帰式。
- Yの回帰方程式
溶液：
| ${X}$ | $\{X^2}$ | ${Y}$ | $\{Y^2}$ | ${XY}$ |
|---|---|---|---|---|
| 69 | 4761 | 70 | 4900 | 4830 |
| 63 | 3969 | 65 | 4225 | 4095 |
| 66 | 4356 | 68 | 4624 | 4488 |
| 64 | 4096 | 65 | 4225 | 4160 |
| 67 | 4489 | 69 | 4761 | 4623 |
| 64 | 4096 | 66 | 4356 | 4224 |
| 70 | 4900 | 68 | 4624 | 4760 |
| 66 | 4356 | 65 | 4225 | 4290 |
| 68 | 4624 | 71 | 5041 | 4828 |
| 67 | 4489 | 67 | 4489 | 4489 |
| 65 | 4225 | 64 | 4096 | 4160 |
| 71 | 5041 | 72 | 5184 | 5112 |
| $\{\sum X = 800}$ | $\{\sum X^2 = 53,402}$ | $\{\sum Y = 810}$ | $\{\sum Y^2 = 54,750}$ | $\{\sum XY = 54,059}$ |
X上のYの回帰式
Y = a + bX
ここで、aおよびbは正規方程式によって得られます
$ \ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2 \\ [7pt] Where \ \ sum Y = 810、\ sum X = 800、\ sum X ^ 2 = 53,402 \\ [7pt]、\ sum XY = 54、049、N = 12} $
$ \ {\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b … (i)
$ \ {\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b … (ii)
方程式（i）に800を、方程式（ii）に12を掛けると、次のようになります。
96000 a + 640000 b = 648000 … （iii）
96000 a + 640824 b = 648588 … (iv)
（iii）から方程式（iv）を引く
-824 b = -588
$ \ {\ Rightarrow} $ b = -.0713
eqのbの値を代入します。 (i)
810 = 12a + 800（-0.713）
810 = 12a + 570.4
12a = 239.6
$ \ {\ Rightarrow} $ a = 19.96
したがって、X上の方程式Yは次のように記述できます。
$ \ {Y = 19.96-0.713X} $
X上のYの回帰式
X = a + bY
ここで、aおよびbは正規方程式によって得られます
$ \ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2 \\ [7pt] Where \ \ sum Y = 810、\ sum Y ^ 2 = 54,750 \\ [7pt]、\ sum XY = 54、049、N = 12} $
$ \ {\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b … (V)
$ \ {\ Rightarrow} $ 54,049 = 810a + 54、750 … (vi)
eq（v）に810を掛け、eq（vi）に12を掛けると、
9720 a + 656100 b = 648000 … （vii）
9720 a + 65700 b = 648588 … （viii）
eq viiからeq viiiを引く
900b = -588
$ \ {\ Rightarrow} $ b = 0.653
式（v）のbの値を代入する
800 = 12a + 810（0.653）
12a = 271.07
$ \ {\ Rightarrow} $ a = 22.58
したがって、XとYの回帰式は
$ \ {X = 22.58 + 0.653Y} $
