Statistics-kurtosis
統計-尖度
分布の裾の度合いは尖度によって測定されます。 これは、分布が正規分布よりも多かれ少なかれ外れやすい傾向がある（重い、または裾が小さい）程度を示しています。 Investopediaの好意による3種類の曲線が次のように表示されます-
裾がすべての分布でゼロに近いため、密度プロット（左パネル）から異なるタイプの尖度を識別することは困難です。 しかし、尾部の違いは、通常の変位値と変位値のプロット（右パネル）で簡単に確認できます。
通常の曲線は、メソ曲線と呼ばれます。 分布の曲線が通常の曲線または中間屈折曲線よりも外れやすい傾向がある（または裾が大きい）場合、それはレプトクルティック曲線と呼ばれます。 曲線が通常の曲線よりも外れ値が少ない（または、裾が薄い）場合は、プラティックカーブと呼ばれます。 尖度はモーメントによって測定され、次の式で与えられます-
式
$ \ {\ beta_2 = \ frac \ {\ mu_4} \ {\ mu_2}} $
どこ-
- $ \ {\ mu_4 = \ frac \ {\ sum（x- \ bar x）^ 4} \ {N}} $
\ beta_2の値が大きいほど、曲線のピークまたはレプトクルティックが大きくなります。 正規曲線の値は3で、レプトクールの値は3より大きい\ beta_2であり、プラチクルティックの値は3未満の\ beta_2です。
例
問題文：
工場の45人の労働者の1日の賃金に関するデータが提供されています。 平均に関するモーメントを使用して\ beta_1および\ beta_2を計算します。 結果についてコメントします。
| Wages(Rs.) | Number of Workers |
|---|---|
| 100-200 | 1 |
| 120-200 | 2 |
| 140-200 | 6 |
| 160-200 | 20 |
| 180-200 | 11 |
| 200-200 | 3 |
| 220-200 | 2 |
溶液：
| Wages(Rs.) | Number of Workers(f) | Mid-ptm | m-$\{\frac{170}{20}}$ d | ${fd}$ | $\{fd^2}$ | $\{fd^3}$ | $\{fd^4}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100-200 | 1 | 110 | -3 | -3 | 9 | -27 | 81 |
| 120-200 | 2 | 130 | -2 | -4 | 8 | -16 | 32 |
| 140-200 | 6 | 150 | -1 | -6 | 6 | -6 | 6 |
| 160-200 | 20 | 170 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 180-200 | 11 | 190 | 1 | 11 | 11 | 11 | 11 |
| 200-200 | 3 | 210 | 2 | 6 | 12 | 24 | 48 |
| 220-200 | 2 | 230 | 3 | 6 | 18 | 54 | 162 |
| $\{N=45}$ | $\{\sum fd = 10}$ | $\{\sum fd^2 = 64}$ | $\{\sum fd^3 = 40}$ | $\{\sum fd^4 = 330}$ |
想定された平均から偏差が取られているため、最初に任意の原点に関するモーメントを計算し、次に平均に関するモーメントを計算します。 任意の原点 '170’に関するモーメント
$ \ {\ mu_1 ^ 1 = \ frac \ {\ sum fd} \ {N} \ times i = \ frac \ {10} \ {45} \ times 20 = 4.44 \\ [7pt] \ mu_2 ^ 1 = \ frac \ {\ sum fd ^ 2} \ {N} \ times i ^ 2 = \ frac \ {64} \ {45} \ times 20 ^ 2 = 568.88 \\ [7pt] \ mu_3 ^ 1 = \ frac \ { \ sum fd ^ 2} \ {N} \ times i ^ 3 = \ frac \ {40} \ {45} \ times 20 ^ 3 = 7111.11 \\ [7pt] \ mu_4 ^ 1 = \ frac \ {\ sum fd ^ 4} \ {N} \ times i ^ 4 = \ frac \ {330} \ {45} \ times 20 ^ 4 = 1173333.33} $
平均についての瞬間
$ \ {\ mu_2 = \ mu'_2-（\ mu'_1）^ 2 = 568.88-（4.44）^ 2 = 549.16 \\ [7pt] \ mu_3 = \ mu'_3-3（\ mu'_1）（ \ mu'_2）+ 2（\ mu'_1）^ 3 \\ [7pt] \、= 7111.11-（4.44）（568.88）+ 2（4.44）^ 3 \\ [7pt] \、= 7111.11-7577.48+ 175.05 =-291.32 \\ [7pt] \\ [7pt] \ mu_4 = \ mu'_4-4（\ mu'_1）（\ mu'_3）+ 6（\ mu_1）^ 2（\ mu'_2）- 3（\ mu'_1）^ 4 \\ [7pt] \、= 1173333.33-4（4.44）（7111.11）+6（4.44）^ 2（568.88）-3（4.44）^ 4 \\ [7pt] \、 = 1173333.33-126293.31 + 67288.03-1165.87 \\ [7pt] \、= 1113162.18} $
平均に関する移動の値から、$ \ {\ beta_1} $および$ \ {\ beta_2} $を計算できるようになりました。
$ \ {\ beta_1 = \ mu ^ 2_3 = \ frac \ {（-291.32）^ 2} \ {（549.16）^ 3} = 0.00051 \\ [7pt] \ beta_2 = \ frac \ {\ mu_4} \ {（ \ mu_2）^ 2} = \ frac \ {1113162.18} \ {（546.16）^ 2} = 3.69} $
上記の計算から、歪度を測定する$ \ {\ beta_1} $はほぼゼロであると結論付けることができ、それにより分布がほぼ対称であることを示します。 $ \ {\ beta_2} $尖度を測定し、値が3より大きいため、分布がレプトクルであることを意味します。
