Statistics-interval-estimation

統計-間隔推定

区間推定は、単一の数値である点推定とは対照的に、サンプルデータを使用して、未知の母集団パラメーターの可能な（または推定される）値の区間を計算します。

式

$ \ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ \ {\ frac \ {\ alpha} \ {2}} \ frac \ {\ sigma} \ {\ sqrt n}} $

どこ-

• $ \ {\ bar x} $ =平均
• $ \ {Z _ \ {\ frac \ {\ alpha} \ {2}}} $ =信頼係数
• $ \ {\ alpha} $ =信頼水準
• $ \ {\ sigma} $ =標準偏差
• $ \ {n} $ =サンプルサイズ

例

問題文：

特定の液体の沸騰温度を測定している学生が、液体の6つの異なるサンプルで102.5、101.7、103.1、100.9、100.5、および102.2の読み取り値（摂氏）を観察するとします。 彼はサンプル平均を101.82と計算します。 彼がこの手順の標準偏差が1.2度であることを知っている場合、95％の信頼レベルでの母平均の区間推定はどうなりますか？

溶液：

生徒は、標準偏差$ \ {\ sigma = 0.49} $で、沸点のサンプル平均を101.82と計算しました。 95％信頼区間の臨界値は1.96です。ここで、$ \ {\ frac \ {1-0.95} \ {2} = 0.025} $です。 不明な平均の95％信頼区間。

$ \ {=（（101.82-（1.96 \ times 0.49））、（101.82 +（1.96 \ times 0.49）））\\ [7pt] \ =（101.82-0.96、101.82 + 0.96）\\ [7pt] \ = （100.86、102.78）} $

信頼レベルが低下すると、対応する間隔のサイズが減少します。 生徒が沸騰温度の90％の信頼区間に興味があると仮定します。 この場合、$ \ {\ sigma = 0.90} $、および$ \ {\ frac \ {1-0.90} \ {2} = 0.05} $です。 このレベルの臨界値は1.645に等しいため、90％の信頼区間は

$ \ {=（（101.82-（1.645 \ times 0.49））、（101.82 +（1.645 \ times 0.49）））\\ [7pt] \ =（101.82-0.81、101.82 + 0.81）\\ [7pt] \ = （101.01、102.63）} $

サンプルサイズを増やすと、信頼レベルを下げることなく信頼区間の長さが短くなります。 これは、nが増加すると標準偏差が減少するためです。

誤差の範囲

区間推定の誤差$ \ {m} $は、区間の長さを決定するサンプル平均から加算または減算される値として定義されます。

$ \ {Z _ \ {\ frac \ {\ alpha} \ {2}} \ frac \ {\ sigma} \ {\ sqrt n}} $

上記の例で、学生は95％の信頼度で0.5に等しい誤差範囲を持ちたいと考えています。 適切な値を$ \ {m} $の式に代入し、nを解くことで計算が得られます。

$ \ {n = \ {（1.96 \ times \ frac \ {1.2} \ {0.5}）} ^ 2 \\ [7pt] \ = \ {\ frac \ {2.35} \ {0.5} ^ 2} \\ [ 7pt] \ = \ {（4.7）} ^ 2 \ = 22.09} $

全長が1度未満の平均沸点の95％の区間推定を達成するには、学生は23回測定する必要があります。