Statistics-gamma-distribution
統計-ガンマ分布
ガンマ分布は、2パラメーターファミリーの連続確率分布を表します。 ガンマ分布は、一般的に3種類のパラメーターの組み合わせで考案されています。
- 形状パラメーター$ k $およびスケールパラメーター$ \ theta $。
- 形状パラメーター$ \ alpha = k $および逆スケールパラメーター$ \ beta = \ frac \ {1} \ {\ theta} $、レートパラメーターと呼ばれます。
- 形状パラメーター$ k $および平均パラメーター$ \ mu = \ frac \ {k} \ {\ beta} $。
各パラメーターは正の実数です。 ガンマ分布は、次の基準によって決定される最大エントロピー確率分布です。
式
$ \ {E [X] = k \ theta = \ frac \ {\ alpha} \ {\ beta} \ gt 0 \および\は\固定です。 \\ [7pt] E [ln（X）] = \ psi（k）+ ln（\ theta）= \ psi（\ alpha）-ln（\ beta）\および\は\固定です。 }$
どこ-
- $ \ {X} $ =ランダム変数。
- $ \ {\ psi} $ =ディガンマ関数。
形状$ \ alpha $およびレート$ \ beta $を使用した特性評価
確率密度関数
ガンマ分布の確率密度関数は次のように与えられます。
式
$ \ {f（x; \ alpha、\ beta）= \ frac \ {\ beta ^ \ alpha x ^ \ {\ alpha-1} e ^ \ {-x \ beta}} \ {\ Gamma（\ alpha） } \ここで\ x \ ge 0 \および\ \ alpha、\ beta \ gt 0} $
どこ-
- $ \ {\ alpha} $ =場所パラメーター。
- $ \ {\ beta} $ =スケールパラメーター。
- $ \ {x} $ =ランダム変数。
累積分布関数
ガンマ分布の累積分布関数は次のように与えられます：
式
$ \ {F（x; \ alpha、\ beta）= \ int_0 ^ xf（u; \ alpha、\ beta）du = \ frac \ {\ gamma（\ alpha、\ beta x）} \ {\ Gamma（\ alpha）}} $
どこ-
- $ \ {\ alpha} $ =場所パラメーター。
- $ \ {\ beta} $ =スケールパラメーター。
- $ \ {x} $ =ランダム変数。
- $ \ {\ gamma（\ alpha、\ beta x）} $ =不完全なガンマ関数を下げます。
形状$ k $およびスケール$ \ theta $を使用した特性評価
確率密度関数
ガンマ分布の確率密度関数は次のように与えられます。
式
$ \ {f（x; k、\ theta）= \ frac \ {x ^ \ {k-1} e ^ \ {-\ frac \ {x} \ {\ theta}}} \ {\ theta ^ k \ Gamma（k）} \ここで\ x \ gt 0 \および\ k、\ theta \ gt 0} $
どこ-
- $ \ {k} $ =形状パラメーター。
- $ \ {\ theta} $ =スケールパラメーター。
- $ \ {x} $ =ランダム変数。
- $ \ {\ Gamma（k）} $ = kで評価されるガンマ関数。
累積分布関数
ガンマ分布の累積分布関数は次のように与えられます：
式
$ \ {F（x; k、\ theta）= \ int_0 ^ xf（u; k、\ theta）du = \ frac \ {\ gamma（k、\ frac \ {x} \ {\ theta}）} \ {\ Gamma（k）}} $
どこ-
- $ \ {k} $ =形状パラメーター。
- $ \ {\ theta} $ =スケールパラメーター。
- $ \ {x} $ =ランダム変数。
- $ \ {\ gamma（k、\ frac \ {x} \ {\ theta}）} $ =不完全なガンマ関数を下げます。
