Statistics-chi-squared-distribution

統計-カイ二乗分布

自由度を持つカイ二乗分布（カイ二乗または$ \ {X ^ 2} $-分布）、kは、k個の独立した標準正規確率変数の平方和の分布です。 これは、統計で最も広く使用されている確率分布の1つです。 これは、ガンマ分布の特殊なケースです。

カイ二乗分布

カイ2乗分布は、統計学者によって次の計算に広く使用されています。

• サンプル標準偏差を使用した正規分布の母標準偏差の信頼区間の推定。
• 複数の質的変数の分類の2つの基準の独立性を確認します。
• カテゴリー変数間の関係を確認します。
• 基礎となる分布が正規である標本の分散を研究するため。
• 予想頻度と観測頻度の差の偏差をテストする。
• カイ2乗検定（適合度検定）を実行します。

確率密度関数

カイ二乗分布の確率密度関数は次のように与えられます。

式

$ \ {f（x; k）=} $ $ \ begin \ {cases} \ frac \ {x ^ \ {\ frac \ {k} \ {2}-1} e ^ \ {-\ frac \ {x } \ {2}}} \ {2 ^ \ {\ frac \ {k} \ {2}} \ Gamma（\ frac \ {k} \ {2}）}、＆\ text \ {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0、＆\ text \ {if $ x \ le 0 $} \ end \ {cases} $

どこ-

• $ \ {\ Gamma（\ frac \ {k} \ {2}）} $ =整数パラメーターkの閉形式値を持つガンマ関数。
• $ \ {x} $ =ランダム変数。
• $ \ {k} $ =整数パラメーター。

累積分布関数

カイ二乗分布の累積分布関数は次のように与えられます。

式

$ \ {F（x; k）= \ frac \ {\ gamma（\ frac \ {x} \ {2}、\ frac \ {k} \ {2}）} \ {\ Gamma（\ frac \ {k } \ {2}）} \\ [7pt] = P（\ frac \ {x} \ {2}、\ frac \ {k} \ {2}）} $

どこ-

• $ \ {\ gamma（s、t）} $ =不完全なガンマ関数を下げます。
• $ \ {P（s、t）} $ =正規化されたガンマ関数。
• $ \ {x} $ =ランダム変数。
• $ \ {k} $ =整数パラメーター。