Signals-and-systems-z-transforms-properties

Z変換のプロパティ

Z-Transformには次のプロパティがあります。

直線性プロパティ

$ \、x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）$

および$ \、y（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} Y（Z）$

次に、線形性プロパティは、

$ a \、x（n）+ b \、y（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} a \、X（Z）+ b \、Y（Z）$

タイムシフトプロパティ

$ \、x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）$

次に、タイムシフトプロパティは

$ x（n-m）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} z ^ \ {-m} X（Z）$

指数シーケンスプロパティによる乗算

$ \、x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）$

次に、指数シーケンスプロパティによる乗算は、

$ a ^ n \、。 x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z/a）$

時間反転プロパティ

$ \の場合、x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）$

次に、時間反転プロパティは、

$ x（-n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（1/Z）$

Zドメインの微分またはnプロパティによる乗算

$ \の場合、x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）$

次に、nの乗算またはzドメインプロパティの微分は、

$ n ^ k x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} [-1] ^ k z ^ k \ {d ^ k X（Z）\ over dZ ^ K} $

畳み込み特性

$ \、x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）$

および$ \、y（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} Y（Z）$

次に、畳み込みプロパティは

$ x（n）* y（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）.Y（Z）$

相関プロパティ

$ \、x（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）$

および$ \、y（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} Y（Z）$

次に、相関プロパティは、

$ x（n）\ otimes y（n）\ stackrel \ {\ mathrm \ {Z.T}} \ {\ longleftrightarrow} X（Z）.Y（Z ^ \ {-1}）$

初期値定理と最終値定理

Z変換の初期値と最終値の定理は、因果信号に対して定義されます。

初期値定理

因果信号x（n）の場合、初期値定理は

$ x（0）= \ lim _ \ {z \ to \ infty}⁡X（z）$

これは、逆z変換を行わずに信号の初期値を見つけるために使用されます

最終値定理

因果信号x（n）の場合、最終値定理は

$ x（\ infty）= \ lim _ \ {z \ to 1} [z-1]⁡X（z）$

これは、逆z変換を行わずに信号の最終値を見つけるために使用されます。

Z変換の収束領域（ROC）

z変換が収束するzの変動範囲は、z変換の収束領域と呼ばれます。

Z変換のROCのプロパティ

• z変換のROCは、z平面の円で示されます。
• ROCには極が含まれていません。
• x（n）が有限期間の因果シーケンスまたは右側シーケンスである場合、ROCはz = 0以外のz平面全体です。
• x（n）が有限期間反因果シーケンスまたは左側シーケンスである場合、ROCはz =∞を除いてz平面全体です。
• x（n）が無限継続時間の因果シーケンスである場合、ROCは半径aの円の外部にあります。 i.e. | z | > a。
• x（n）が無限継続時間の反因果シーケンスである場合、ROCは半径aの円の内部です。 i.e. | z | <a。
• x（n）が有限期間の両側シーケンスである場合、ROCはz = 0＆z =∞を除くz平面全体です。

ROCの概念は、次の例で説明できます。

例1： $ -a ^ n u [n] + a ^ \ {-} nu [-n-1] $のz変換とROCを見つける

$ ZT [a ^ nu [n]] + ZT [a ^ \ {-n} u [-n-1]] = \ {Z \ over Za} + \ {Z \ over Z \ {-1 \ over a }} $

ROC：| z | \ gt a \ quad \ quad ROC：| z | \ lt \ {1 \ over a}

ROCのプロットには、aがわからないため、a> 1とa <1の2つの条件があります。

ユニットサークル

この場合、組み合わせROCはありません。

ユニットサークル

ここで、ROCの組み合わせは$ a \ lt | z | \ lt \ {1 \ over a} $

したがって、この問題では、a <1のときにz変換が可能です。

因果関係と安定性

離散時間LTIシステムの因果性条件は次のとおりです。

離散時間LTIシステムは、次の場合に原因となります。

• ROCは最も外側の極の外側にあります。
• 伝達関数H [Z]では、分子の次数を分母の次数より大きくすることはできません。

離散時間LTIシステムの安定条件

離散時間LTIシステムは、次の場合に安定しています。

• そのシステム関数H [Z]には単位円| z | = 1が含まれます。
• 伝達関数のすべての極は、単位円| z | = 1の内側にあります。

基本信号のZ変換

x(t)	X[Z]
$\delta$	1
$u(n)$	$\{Z\over Z-1}$
$u(-n-1)$	$ -\{Z\over Z-1}$
$\delta(n-m)$	$z^\{-m}$
$a^n u[n]$	$\{Z \over Z-a}$
$a^n u[-n-1]$	$- \{Z \over Z-a}$
$n\,a^n u[n]$	$\{aZ \over
Z-a	^2}$
$n\,a^n u[-n-1] $	$- \{aZ \over
Z-a	^2}$
$a^n \cos \omega n u[n] $	$\{Z^2-aZ \cos \omega \over Z^2-2aZ \cos \omega +a^2}$
$a^n \sin \omega n u[n] $	$ \{aZ \sin \omega \over Z^2 -2aZ \cos \omega +a^2 } $