Z変換（ZT）

連続時間LTIシステムの分析は、z変換を使用して実行できます。微分方程式を代数方程式に変換する強力な数学ツールです。

離散時間信号x（n）の両側（両側）z変換は、次のように与えられます。

$ Z.T [x（n）] = X（Z）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n）z ^ \ {-n} $

離散時間信号x（n）の片側（片側）z変換は、次のように与えられます。

$ Z.T [x（n）] = X（Z）= \ Sigma _ \ {n = 0} ^ \ {\ infty} x（n）z ^ \ {-n} $

離散時間フーリエ変換（DTFT）が存在しない一部の信号では、Z変換が存在する場合があります。

Z変換および逆Z変換の概念

離散時間信号x（n）のZ変換はX（Z）で表すことができ、次のように定義されます。

$ X（Z）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n）z ^ \ {-n} \、… \、… \、（1）$

$ Z = re ^ \ {j \ omega} $の場合、式1は

$ X（re ^ \ {j \ omega}）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n）[re ^ \ {j \ omega}] ^ \ {-n} $

$ = \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n）[r ^ \ {-n}] e ^ \ {-j \ omega n} $

$ X（re ^ \ {j \ omega}）= X（Z）= F.T [x（n）r ^ \ {-n}] \、… \、… \、（2）$

上記の式は、フーリエ変換とZ変換の関係を表しています。

$ X（Z）| _ \ {z = e ^ \ {j \ omega}} = F.T [x（n）]。 $

$ X（re ^ \ {j \ omega}）= F.T [x（n）r ^ \ {-n}] $

$ x（n）r ^ \ {-n} = F.T ^ \ {-1} [X（re ^ \ {j \ omega}] $

$ x（n）= r ^ n \、F.T ^ \ {-1} [X（re ^ \ {j \ omega}）] $

$ = r ^ n \ {1 \ over 2 \ pi} \ int X（re \ {^ j \ omega}）e ^ \ {j \ omega n} d \ omega $

$ = \ {1 \ over 2 \ pi} \ int X（re \ {^ j \ omega}）[re ^ \ {j \ omega}] ^ nd \ omega \、… \、… \、（3）$

置換$ re ^ \ {j \ omega} = z $。

$ dz = jre ^ \ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = \ {1 \ over j} z ^ \ {-1} dz $

式3に代入します。

$ 3 \、\ to \、x（n）= \ {1 \ over 2 \ pi} \ int \、X（z）z ^ n \ {1 \ over j} z ^ \ {-1} dz = \ {1 \ over 2 \ pi j} \ int \、X（z）z ^ \ {n-1} dz $

X（Z）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} \、x（n）z ^ \ {-n} x（n）= \ {1 \ over 2 \ pi j} \ int \、X（z）z ^ \ {n-1} dz