Signals-and-systems-signals-sampling-theorem

信号のサンプリング定理

• ステートメント：*連続時間信号は、サンプルで表すことができ、サンプリング周波数f〜s〜がメッセージ信号の最高周波数成分の2倍以上の場合に復元できます。 i. e.

f_s \ geq 2 f_m。

• 証明：*連続時間信号x（t）を考えます。 x（t）のスペクトルはf〜m〜Hzに制限された帯域です。 x（t）のスペクトルは、|ω|>ω〜m〜に対してゼロです。

入力信号x（t）のサンプリングは、x（t）に周期T〜s〜のインパルス列δ（t）を掛けることで得られます。 乗算器の出力は、次の図でy（t）で表されるサンプル信号と呼ばれる離散信号です。

信号サンプリング

ここで、サンプリングされた信号がインパルスの期間をとることを確認できます。 サンプリングのプロセスは、次の数式で説明できます。

$ \ text \ {Sampled signal} \、y（t）= x（t）。 \ delta（t）\、\、…​ \、…​（1）$

$ \ delta $（t）の三角フーリエ級数表現は、

$ \ delta（t）= a_0 + \ Sigma _ \ {n = 1} ^ \ {\ infty}（a_n \cos⁡n \ omega_s t + b_n \sin⁡n \ omega_s t）\、\、…​ \ 、…​（2）$

ここで$ a_0 = \ {1 \ over T_s} \ int _ \ {-T \ over 2} ^ \ {T \ over 2} \ delta（t）dt = \ {1 \ over T_s} \ delta（0）= \ {1 \ T_s以上} $

$ a_n = \ {2 \ over T_s} \ int _ \ {-T \ over 2} ^ \ {T \ over 2} \ delta（t）\ cos n \ omega_s \、dt = \ {2 \ over T_2} \ delta（0）\ cos n \ omega_s 0 = \ {2 \ over T} $

$ b_n = \ {2 \ over T_s} \ int _ \ {-T \ over 2} ^ \ {T \ over 2} \ delta（t）\sin⁡n \ omega_s t \、dt = \ {2 \ over T_s } \ delta（0）\sin⁡n \ omega_s 0 = 0 $

式2で上記の値を代入します。

$ \ therefore \、\ delta（t）= \ {1 \ over T_s} + \ Sigma _ \ {n = 1} ^ \ {\ infty}（\ {2 \ over T_s} \ cos⁡n \ omega_s t + 0 ）$

式1のδ（t）を代入します。

$ \ to y（t）= x（t）。 \ delta（t）$

$ = x（t）[\ {1 \ over T_s} + \ Sigma _ \ {n = 1} ^ \ {\ infty}（\ {2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t）] $

$ = \ {1 \ over T_s} [x（t）+ 2 \ Sigma _ \ {n = 1} ^ \ {\ infty}（\ cos n \ omega_s t）x（t）] $

$ y（t）= \ {1 \ over T_s} [x（t）+ 2 \ cos \ omega_s tx（t）+ 2 \ cos 2 \ omega_st.x（t）+ 2 \ cos 3 \ omega_s tx（t ）\、…​ \、…​ \、] $

両側でフーリエ変換を行います。

$ Y（\ omega）= \ {1 \ over T_s} [X（\ omega）+ X（\ omega- \ omega_s）+ X（\ omega + \ omega_s）+ X（\ omega-2 \ omega_s）+ X（ \ omega + 2 \ omega_s）+ \、…​] $

$ \ therefore \、\、Y（\ omega）= \ {1 \ over T_s} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} X（\ omega-n \ omega_s）\ quad \ quadここで\、\、n = 0、\ pm1、\ pm2、…​ $

x（t）を再構築するには、サンプリングされた信号スペクトルY（ω）から入力信号スペクトルX（ω）を復元する必要があります。これは、Y（ω）のサイクル間にオーバーラップがない場合に可能です。

さまざまな条件でサンプリングされた周波数スペクトルの可能性は、次の図に示されています。

サンプリング

エイリアシング効果

サンプリング不足の場合の重複領域はエイリアシング効果を表します。

• f〜s〜> 2f〜m〜を考慮
• アンチエイリアシングフィルターを使用する。