Signals-and-systems-signals-sampling-techniques
信号サンプリング技術
サンプリング手法には3つのタイプがあります。
- インパルスサンプリング。
- 自然なサンプリング。
- フラットトップサンプリング。
インパルスサンプリング
インパルスサンプリングは、入力信号x（t）に周期 'T’のインパルス列$ \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} \ delta（t-nT）$を掛けることで実行できます。 ここで、インパルスの振幅は、入力信号x（t）の振幅に対して変化します。 サンプラーの出力は次のとおりです。
$ y（t）= x（t）×$インパルストレイン
$ = x（t）×\ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} \ delta（t-nT）$
$ y（t）= y _ \ {\ delta}（t）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（nt）\ delta（t-nT）\、… \、 … 1 $
サンプリングされた信号のスペクトルを取得するには、両側で式1のフーリエ変換を検討します
$ Y（\ omega）= \ {1 \ over T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} X（\ omega-n \ omega_s）$
これは、理想的なサンプリングまたはインパルスサンプリングと呼ばれます。 パルス幅をゼロにすることはできず、インパルス列を実際に生成できないため、これを実際に使用することはできません。
ナチュラルサンプリング
自然サンプリングは、インパルスサンプリングが周期Tのパルストレインに置き換えられることを除いて、インパルスサンプリングに似ています。 i.e. 以下に示すように、入力信号x（t）を乗算して、パルス列$ \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（t-nT）$にします
サンプラーの出力は
$ y（t）= x（t）\ times \ text \ {パルス列} $
$ = x（t）\ times p（t）$
$ = x（t）\ times \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（t-nT）\、… \、…（1）$
p（t）の指数フーリエ級数表現は、次のように指定できます。
$ p（t）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} F_n e ^ \ {j n \ omega_s t} \、… \、…（2）$
$ = \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} F_n e ^ \ {j 2 \ pi nf_s t} $
ここで、$ F_n = \ {1 \ over T} \ int _ \ {-T \ over 2} ^ \ {T \ over 2} p（t）e ^ \ {-j n \ omega_s t} dt $
$ = \ {1 \ over TP}（n \ omega_s）$
式2のF〜n〜値を代入
$ \ theforefore p（t）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} \ {1 \ over T} P（n \ omega_s）e ^ \ {j n \ omega_s t} $
$ = \ {1 \ T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（n \ omega_s）e ^ \ {j n \ omega_s t} $
式1のp（t）を代入します
$ y（t）= x（t）\ times p（t）$
$ = x（t）\ times \ {1 \ over T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（n \ omega_s）\、e ^ \ {j n \ omega_s t} $
$ y（t）= \ {1 \ over T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（n \ omega_s）\、x（t）\、e ^ \ {jn \ omega_s t} $
サンプリングされた信号のスペクトルを取得するには、両側のフーリエ変換を検討します。
$ FT \、[y（t）] = FT [\ {1 \ over T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（n \ omega_s）\、x（t）\、 e ^ \ {jn \ omega_s t}] $
$ = \ {1 \ over T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（n \ omega_s）\、FT \、[x（t）\、e ^ \ {jn \ omega_s t}] $
周波数シフト特性による
$ F.T \、[x（t）\、e ^ \ {j n \ omega_s t}] = X [\ omega-n \ omega_s] $
$ \ therefore \、Y [\ omega] = \ {1 \ over T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} P（n \ omega_s）\、X [\ omega-n \ omega_s ] $
フラットトップサンプリング
送信中、ノイズが送信パルスの上部に導入され、パルスがフラットトップの場合は簡単に除去できます。 ここで、サンプルの上部は平らです。 それらは一定の振幅を持っています。 したがって、フラットトップサンプリングまたは実用的なサンプリングと呼ばれます。 フラットトップサンプリングでは、サンプルアンドホールド回路を使用します。
理論的には、サンプリングされた信号は、図に示すように、矩形パルスp（t）と理想的にサンプリングされた信号、たとえばy〜δ〜（t）との畳み込みによって取得できます。
i.e. $ y（t）= p（t）\ times y_ \ delta（t）\、… \、…（1）$
サンプリングされたスペクトルを取得するには、式1の両側のフーリエ変換を検討します
$ Y [\ omega] = F.T \、[P（t）\ times y_ \ delta（t）] $
畳み込み特性の知識により、
$ Y [\ omega] = P（\ omega）\、Y_ \ delta（\ omega）$
ここで、$ P（\ omega）= T Sa（\ {\ omega T \ over 2}）= 2 \ sin \ omega T/\ omega $
ナイキスト率
これは、信号をサンプルに変換し、歪みなく復元できる最小サンプリングレートです。
ナイキストレートf〜N〜= 2f〜m〜hz
ナイキスト間隔= $ \ {1 \ over fN} $ = $ \ {1 \ over 2fm} $秒。
バンドパス信号のサンプリング
バンドパス信号の場合、f〜1〜≤f≤f〜2〜の範囲外の周波数のバンドパス信号X [ω] = 0のスペクトル。 周波数f〜1〜は常にゼロより大きくなります。 さらに、f〜s〜> 2f〜2〜の場合、エイリアシング効果はありません。 ただし、次の2つの欠点があります。
- サンプリングレートはf〜2〜に比例して大きくなります。 これには実際的な制限があります。
- サンプリングされた信号スペクトルにはスペクトルギャップがあります。
これを克服するために、帯域通過定理は、入力信号x（t）をサンプルに変換し、サンプリング周波数f〜s〜<2f〜2〜のときに歪みなしで復元できると述べています。
また、
f_s = \ {1 \ over T} = \ {2f_2 \ over m}
ここで、mは最大の整数<$ \ {f_2 \ over B} $です
また、Bは信号の帯域幅です。 f〜2〜= KBの場合、
f_s = \ {1 \ over T} = \ {2KB \ over m}
帯域幅2f〜m〜および最小サンプリングレートf〜s〜= 2 B = 4f〜m〜の帯域通過信号の場合、
サンプリングされた信号のスペクトルは、次の式で与えられます。$ Y [\ omega] = \ {1 \ over T} \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} \、X [\ omega-2nB] $
