Signals-and-systems-signals-analysis
シグナル分析
ベクトルと信号の類似
ベクトルと信号の間には完全な類似性があります。
ベクター
ベクトルには大きさと方向が含まれます。 ベクトルの名前は太字で表され、その大きさは明るい面で表されます。
- 例： *Vは、大きさがVのベクトルです。 次の図に示すように、2つのベクトルV〜1〜およびV〜2〜を考えます。 V〜1〜のコンポーネントは、V〜2〜とともにC〜12〜V〜2〜によって与えられます。 ベクトルV〜1〜のコンポーネントは、ベクトルV〜2〜とともに、図に示すようにV〜1〜の端からベクトルV〜2〜に垂線をとることによって取得できます。
ベクトルV〜1〜は、ベクトルV〜2〜で表すことができます。
しかし、これはベクトルV〜1〜をV〜2〜で表現する唯一の方法ではありません。 別の可能性は次のとおりです。
V〜1〜= C〜1〜V〜2〜+ V〜e1〜
V〜2〜= C〜2〜V〜2〜+ V〜e2〜
コンポーネントの値が大きい場合、エラー信号は最小になります。 C〜12〜= 0の場合、2つの信号は直交していると言われます。
2つのベクトルのドット積
V〜1〜。 V〜2〜= V〜1〜.V〜2〜cosθ
V〜1〜。 V〜2〜= V〜2〜.V〜1〜
V〜1〜alog〜n〜V〜2〜= V〜1〜Cosθ= $ V1.V2 \ over V2 $のコンポーネント
図から、V〜1〜alog〜n〜V〜2〜= C〜12〜V〜2〜のコンポーネント
V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \、V_2
\ Rightarrow C _ \ {12} = \ {V_1.V_2 \ over V_2}
信号
直交性の概念は信号に適用できます。 2つの信号f〜1〜（t）とf〜2〜（t）を考えてみましょう。 ベクトルと同様に、f〜1〜（t）をf〜2〜（t）で近似できます。
エラーを最小化する1つの可能な方法は、t〜1〜からt〜2〜の間隔で積分することです。
\ {1 \ over \ {t_2-t_1}} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_e（t）] dt
\ {1 \ over \ {t_2-t_1}} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_1（t）-C _ \ {12} f_2（t）] dt
ただし、この手順では、エラーが大幅に減少することもありません。 これは、誤差関数の二乗を取ることで修正できます。
$ \ varepsilon = \ {1 \ over \ {t_2-t_1}} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_e（t）] ^ 2 dt $
$ \ Rightarrow \ {1 \ over \ {t_2-t_1}} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_e（t）-C _ \ {12} f_2] ^ 2 dt $
ここで、εはエラー信号の平均二乗値です。 エラーを最小化するC〜12〜の値は、$ \ {d \ varepsilon \ over dC _ \ {12}} = 0 $を計算する必要があります。
$ \ Rightarrow \ {d \ over dC _ \ {12}} [\ {1 \ over t_2-t_1} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_1（t）-C _ \ {12} f_2（t） ] ^ 2 dt] = 0 $
$ \ Rightarrow \ {1 \ over \ {t_2-t_1}} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [\ {d \ over dC _ \ {12}} f _ \ {1} ^ 2（t）-\ {d \ over dC _ \ {12}} 2f_1（t）C _ \ {12} f_2（t）+ \ {d \ over dC _ \ {12}} f _ \ {2} ^ \ {2}（t）C_ \ {12} ^ 2] dt = 0 $
C12項を持たない項の導関数はゼロです。
$ \ Rightarrow \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2}-2f_1（t）f_2（t）dt + 2C _ \ {12} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f _ \ {2} ^ \ { 2}（t）] dt = 0 $
$ C _ \ {12} = \ {\ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f_1（t）f_2（t）dt} \ over \ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f_ \の場合{2} ^ \ {2}（t）dt}} $コンポーネントはゼロであり、2つの信号は直交していると言われます。
C〜12〜= 0を入力して、直交性の条件を取得します。
0 = $ \ {\ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f_1（t）f_2（t）dt} \ over \ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f _ \ {2} ^ \ {2}（t）dt}} $
\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f_1（t）f_2（t）dt = 0
直交ベクトル空間
直交ベクトルの完全なセットは、直交ベクトル空間と呼ばれます。 以下に示すような3次元のベクトル空間を考えます。
点（X〜1〜、Y〜1〜、Z〜1〜）のベクトルAを考えます。 それぞれX、Y、Z軸の方向の3つの単位ベクトル（V〜X〜、V〜Y〜、V〜Z〜）を考えます。 これらの単位ベクトルは互いに直交しているため、
V_X。 V_X = V_Y。 V_Y = V_Z。 V_Z = 1
V_X。 V_Y = V_Y。 V_Z = V_Z。 V_X = 0
上記の条件を次のように書くことができます。
V_a。 V_b = \ left \\ {\ begin \ {array} \ {l l} 1＆\ quad a = b \\ 0＆\ quad a \ neq b \ end \ {array} \ right。
ベクトルAは、その成分と単位ベクトルに関して次のように表すことができます。
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z …………….（1）$
この3次元空間内のベクトルは、これら3つの単位ベクトルのみで表現できます。
n次元の空間を考えると、その空間のベクトルAは
$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + … + N_1V_N …..（2）$
単位ベクトルの大きさは任意のベクトルAに対して1であるため
x軸に沿ったAのコンポーネント= A.V〜X〜
Y軸に沿ったAのコンポーネント= A.V〜Y〜
Z軸に沿ったAのコンポーネント= A.V〜Z〜
同様に、n次元空間では、G軸に沿ったAの成分
$ = A.VG ……………（3）$
式3に式2を代入します。
$ \ Rightarrow CG =（X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + … + G_1 V_G … + N_1V_N）V_G $
$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + … + G_1V_G V_G … + N_1V_N V_G $
$ = G_1 \、\、\、\、\、\ text \ {以降} V_G V_G = 1 $
$ If V_G V_G \ neq 1 \、\、\ text \ {i.e。} V_G V_G = k $
$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $
$ G_1 = \ {（AV_G）\ over K} $
直交信号空間
相互に直交するn個の関数x〜1〜（t）、x〜2〜（t）… 間隔t〜1〜からt〜2〜までのx〜n〜（t）。 これらの関数は互いに直交しているため、任意の2つの信号x〜j〜（t）、x〜k〜（t）は直交性条件を満たす必要があります。 i.e.
\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} x_j（t）x_k（t）dt = 0 \、\、\、\ text \ {where} \、j \ neq k
\ text \ {Let} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} x _ \ {k} ^ \ {2}（t）dt = k_k
関数f（t）とし、相互に直交する信号に沿って成分を追加することにより、この直交信号空間で近似することができます。
平均平方誤差$ \ varepsilon = \ {1 \ over t_2-t_2} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_e（t）] ^ 2 dt $
= \ {1 \ over t_2-t_2} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f [t]-\ sum _ \ {r = 1} ^ \ {n} C_rx_r（t）] ^ 2 dt
平均二乗誤差を最小化する成分は、
\ {d \ varepsilon \ over dC_1} = \ {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = \ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0
$ \ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $
\ {d \ over dC_k} [\ {1 \ over t_2-t_1} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f（t）-\ Sigma _ \ {r = 1} ^ n C_rx_r（t） ] ^ 2 dt] = 0
C〜k〜を含まない用語はすべてゼロです。 i.e. 合計では、r = k項が残り、他のすべての項はゼロです。
\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2}-2 f（t）x_k（t）dt + 2C_k \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [x_k ^ 2（t）] dt = 0
\ Rightarrow C_k = \ {\ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f（t）x_k（t）dt} \ over \ {int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} x_k ^ 2（t ）dt}}
\ Rightarrow \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f（t）x_k（t）dt = C_kK_k
平均二乗誤差
誤差関数f〜e〜（t）の二乗の平均は、平均二乗誤差と呼ばれます。 ε（イプシロン）で示されます。
$ \ varepsilon = \ {1 \ over t_2-t_1} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_e（t）] ^ 2dt $
$ \、\、\、\、= \ {1 \ over t_2-t_1} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_e（t）-\ Sigma _ \ {r = 1} ^ n C_rx_r（t） ] ^ 2 dt $
$ \、\、\、\、= \ {1 \ over t_2-t_1} [\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f_e ^ 2（t）] dt + \ Sigma _ \ {r = 1} ^ \ {n} C_r ^ 2 \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} x_r ^ 2（t）dt-2 \ Sigma _ \ {r = 1} ^ \ {n} C_r \ int _ \ {t_1} ^ \ { t_2} x_r（t）f（t）dt $
$ C _ \ {r} ^ \ {2} \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} x_r ^ 2（t）dt = C_r \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} x_r（t）f （d）dt = C_r ^ 2 K_r $
$ \ varepsilon = \ {1 \ over t_2-t_1} [\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f ^ 2（t）] dt + \ Sigma _ \ {r = 1} ^ \ {n} C_r ^ 2 K_r-2 \ Sigma _ \ {r = 1} ^ \ {n} C_r ^ 2 K_r] $
$ \、\、\、\、= \ {1 \ over t_2-t_1} [\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f ^ 2（t）] dt-\ Sigma _ \ {r = 1} ^ \ {n} C_r ^ 2 K_r] $
$ \、\ theforefore \ varepsilon = \ {1 \ over t_2-t_1} [\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} [f ^ 2（t）] dt +（C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + … + C_n ^ 2 K_n）] $
上記の式は、平均二乗誤差を評価するために使用されます。
直交関数の閉じた完全なセット
区間t〜1〜からt〜2〜までのn個の相互直交関数x〜1〜（t）、x〜2〜（t）… x〜n〜（t）のセットを考えてみましょう。 これは、条件$ \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f（t）x_k（t）dt = 0 $を満たす関数f（t）が存在しない場合、閉じた完全なセットとして呼び出されます。
この関数が式$ \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f（t）x_k（t）dt = 0 \、\、\ text \ {for} \、k = 1,2 ,.を満たす場合。 $その後、f（t）は直交集合のすべての関数に直交すると言われます。 このセットは、f（t）がなければ不完全です。 f（t）を含めると、閉じて完全なセットになります。
f（t）は、相互に直交する信号に沿ってコンポーネントを追加することにより、この直交セットで近似できます。
f（t）= C_1 x_1（t）+ C_2 x_2（t）+ ... + C_n x_n（t）+ f_e（t）
無限級数$ C_1 x_1（t）+ C_2 x_2（t）+ … + C_n x_n（t）$はf（t）に収束し、平均二乗誤差はゼロになります。
複雑な関数の直交性
f〜1〜（t）とf〜2〜（t）が2つの複雑な関数である場合、f〜1〜（t）はf〜2〜（t）に関して次のように表現できます。
$ f_1（t）= C _ \ {12} f_2（t）\、\、\、\、\、\、\、\、$ ..わずかなエラー
ここで$ C _ \ {12} = \ {\ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f_1（t）f_2 ^* （t）dt} \ over \ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} | f_2（t）| ^ 2 dt}} $
ここで、$ f_2 ^ *（t）$ = f〜2〜（t）の複素共役。
f〜1〜（t）とf〜2〜（t）が直交する場合、C〜12〜= 0
\ {\ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f_1（t）f_2 ^ *（t）dt \ over \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} | f_2（t）| ^ 2 dt} = 0
\ Rightarrow \ int _ \ {t_1} ^ \ {t_2} f_1（t）f_2 ^ *（dt）= 0
上記の式は、複雑な関数の直交条件を表します。
