Signals-and-systems-region-of-convergence

収束地域（ROC）

ラプラス変換が収束するσの範囲変動は、収束領域と呼ばれます。

ラプラス変換のROCのプロパティ

• ROCには、s平面のjω軸に平行なストリップラインが含まれています。 + ストリップライン
• x（t）が完全に整数であり、有限の期間である場合、ROCはs平面全体です。
• x（t）が右側のシーケンスの場合、ROC：Re \ {s}>σ〜o〜。
• x（t）が左側のシーケンスの場合、ROC：Re \ {s} <σ〜o〜。
• x（t）が両面シーケンスの場合、ROCは2つの領域の組み合わせです。

ROCは、次の例を使用して説明できます。

• 例1：$ x（t）= e-^ \ {at} u（t）$ *のラプラス変換とROCを見つける

$ L.T [x（t）] = L.T [e-^ \ {at} u（t）] = \ {1 \ over S + a} $

$ Re \ {} \ gt -a $

$ ROC：Re \ {s} \ gt> -a $

ストリップライン

• 例2：ラプラス変換と$ x（t）= e ^ \ {at} u（-t）$ *のROCを見つける

$ L.T [x（t）] = L.T [e ^ \ {at} u（t）] = \ {1 \ over S-a} $

$ Re \ {s} <a $

$ ROC：Re \ {s} <a $

ストリップライン

• 例3：$ x（t）= e ^ \ {-at} u（t）+ e ^ \ {at} u（-t）$ *のラプラス変換とROCを見つける

$ LT [x（t）] = LT [e ^ \ {-at} u（t）+ e ^ \ {at} u（-t）] = \ {1 \ over S + a} + \ {1 \ Sa} $以上

$ \ {1 \ over S + a} Re \\ {s \} \ gt -a $

$ \ {1 \ over S-a} Re \\ {s \} \ lt a $

ストリップライン

上の図を参照すると、結合領域は-aからaにあります。 したがって、

$ ROC：-a <Re \ {s} <a $

因果関係と安定性

• システムが原因となるためには、伝達関数のすべての極がs平面の右半分でなければなりません。 + カジュアルシステム
• 伝達関数のすべての極がs平面の左半分にある場合、システムは安定していると言われます。 + 安定システム
• 伝達関数の少なくとも1つの極がs平面の右半分にシフトすると、システムは不安定であると言われます。 + 不安定なシステム
• 伝達関数の少なくとも1つの極がs平面のjω軸上にある場合、システムはわずかに安定していると言われます。 + 限界安定システム

基本機能のROC

f(t)	F(s)	ROC
$u(t)$	\{1\over s}	ROC: Re{s} > 0
$ t\, u(t) $	\{1\over s^2}	ROC:Re{s} > 0
$ t^n\, u(t) $	\{n! \over s^\{n+1}}	ROC:Re{s} > 0
$ e^{at}\, u(t) $	\{1\over s-a}	ROC:Re{s} > a
$ e^\{-at}\, u(t) $	\{1\over s+a}	ROC:Re{s} > -a
$ e^{at}\, u(t) $	- \{1\over s-a}	ROC:Re{s} < a
$ e^\{-at}\, u(-t) $	- \{1\over s+a}	ROC:Re{s} < -a
$ t\, e^{at}\, u(t) $	\{1 \over (s-a)^2}	ROC:Re{s} > a
$ t^{n} e^{at}\, u(t) $	\{n! \over (s-a)^\{n+1}}	ROC:Re{s} > a
$ t\, e^\{-at}\, u(t) $	\{1 \over (s+a)^2}	ROC:Re{s} > -a
$ t^n\, e^\{-at}\, u(t) $	\{n! \over (s+a)^\{n+1}}	ROC:Re{s} > -a
$ t\, e^{at}\, u(-t) $	- \{1 \over (s-a)^2}	ROC:Re{s} < a
$ t^n\, e^{at}\, u(-t) $	- \{n! \over (s-a)^\{n+1}}	ROC:Re{s} < a
$ t\, e^\{-at}\,u(-t) $	- \{1 \over (s+a)^2}	ROC:Re{s} < -a
$ t^n\, e^\{-at}\, u(-t) $	- \{n! \over (s+a)^\{n+1}}	ROC:Re{s} < -a
$ e^\{-at} \cos \, bt $	\{s+a \over (s+a)^2 + b^2 }
$ e^\{-at} \sin\, bt $	\{b \over (s+a)^2 + b^2 }