ラプラス変換（LT）

複素フーリエ変換は、バイラテラルラプラス変換とも呼ばれます。これは微分方程式を解くために使用されます。 x（t）= Ge ^ st ^の形式の複素指数信号によって終了するLTIシステムを考えます。

ここで、s =任意の複素数= $ \ sigma + j \ omega $、

σ= sの実数

ω= sの虚数

LTIの応答は、入力とそのインパルス応答の畳み込みによって取得できます。

$ y（t）= x（t）\ times h（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、h（\ tau）\、x（t- \ tau）d \ tau $

$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、h（\ tau）\、Ge ^ \ {s（t- \ tau）} d \ tau $

$ = Ge ^ \ {st}。 \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、h（\ tau）\、e ^ \ {（-s \ tau）} d \ tau $

$ y（t）= Ge ^ \ {st} .H（S）= x（t）.H（S）$

ここで、H（S）= $ h（\ tau）のラプラス変換= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} h（\ tau）e ^ \ {-s \ tau} d \ tau $

同様に、$ x（t）= X（S）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t）e ^ \ {-st} dt \、… \、のラプラス変換。 ..（1）$

ラプラス変換とフーリエ変換の関係

$ x（t）= X（S）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t）e ^ \ {-st} dt $のラプラス変換

上記の式でs =σ+jωを代入します。

$→X（\ sigma + j \ omega）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、x（t）e ^ \ {-（\ sigma + j \ omega）t} dt $

$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} [x（t）e ^ \ {-\ sigma t}] e ^ \ {-j \ omega t} dt $

$ \ therefore X（S）= F.T [x（t）e ^ \ {-\ sigma t}] \、… \、…（2）$

$ X（S）= X（\ omega）\ quad \ quad for \、\、s = j \ omega $

$ X（S）= F.T [x（t）e ^ \ {-\ sigma t}] $

$ \ to x（t）e ^ \ {-\ sigma t} = F.T ^ \ {-1} [X（S）] = F.T ^ \ {-1} [X（\ sigma + j \ omega）] $

$ = \ {1 \ over 2} \ pi \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} X（\ sigma + j \ omega）e ^ \ {j \ omega t} d \ omega $

$ x（t）= e ^ \ {\ sigma t} \ {1 \ over 2 \ pi} \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} X（\ sigma + j \ omega）e ^ \ { j \ omega t} d \ omega $

$ = \ {1 \ over 2 \ pi} \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} X（\ sigma + j \ omega）e ^ \ {（\ sigma + j \ omega）t} d \オメガ\、… \、…（3）$

ここで、$ \ sigma + j \ omega = s $

$jdω= ds→dω= ds/j $

$ \ therefore x（t）= \ {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} X（s）e ^ \ {st} ds \、… \、 …（4）$

方程式1と4は、信号x（t）のラプラスおよび逆ラプラス変換を表します。

ディリクレの条件は、ラプラス変換の存在を定義するために使用されます。 i.e.

関数f（t）には、有限数の最大値と最小値があります。
信号f（t）には、指定された時間間隔で有限数の不連続性がなければなりません。
指定された時間間隔で完全に統合可能でなければなりません。 i.e. + $ \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} | \、f（t）| \、dt \ lt \ infty $

未知の関数x（t）のラプラス変換が既知の場合、その未知の信号の初期値と最終値を決定することが可能です。 t = 0 ^ + ^およびt =∞でのx（t）。

x（0 ^ +）= \ lim _ \ {s \ to \ infty}⁡SX（S）

x（\ infty）= \ lim _ \ {s \ to \ infty}⁡SX（S）