Signals-and-systems-fourier-transforms
フーリエ変換
フーリエ級数の主な欠点は、周期信号にのみ適用できることです。 フーリエ級数を使用して表すことができない、非周期的または非周期的などの自然に生成される信号がいくつかあります。 この欠点を克服するために、フーリエは時間（または空間）ドメインから周波数ドメイン、またはその逆の間で信号を変換する数学モデルを開発しました。これは「フーリエ変換」と呼ばれます。
フーリエ変換は、LTIシステム、レーダー、天文学、信号処理などの分析など、物理学および工学で多くの用途があります。
フーリエ級数からフーリエ変換を導出する
周期Tの周期信号f（t）を考えます。 f（t）の複素フーリエ級数表現は次のように与えられます
f（t）= \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {jk \ omega_0 t}
\ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {j \ {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ... （1）
$ \ {1 \ over T_0} = \ Delta f $とすると、方程式1は
$ f（t）= \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {j2 \ pi k \ Delta ft} … … （2）$
しかし、あなたはそれを知っています
式2を代入します。
（2）$ \ Rightarrow f（t）= \ Sigma _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} \ {1 \ over T_0} \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} f（t）e ^ \ {-jk \ omega_0 t} dt \、e ^ \ {j2 \ pi k \ Delta ft} $
$ t_0 = \ {T \ over2} $にする
$ = \ Sigma _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} [\ int _ \ {-T \ over2} ^ \ {T \ over2} f（t）e ^ \ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \、e ^ \ {j2 \ pi k \ Delta ft}。\ Delta f $
$ T \ to \ inftyの制限では、\ Delta f $は微分$ dfに近づき、k \ Delta f $は連続変数$ f $になり、合計は積分になります
f（t）= lim _ \ {T \ to \ infty}\ left \\ {\ Sigma _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} [\ int _ \ {-T \ over2} ^ \ {T \ over2} f（t）e ^ \ {-j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \、e ^ \ {j2 \ pi k \ Delta ft}。\ Delta f \ right \}
= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} [\ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、f（t）e ^ \ {-j2 \ pi ft} dt] e ^ \ {j2 \ pi ft} df
f（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、F [\ omega] e ^ \ {j \ omega t} d \ omega
$ \ text \ {Where} \、F [\ omega] = [\ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、f（t）e ^ \ {-j2 \ pi ft} dt] $
信号のフーリエ変換 f（t）= F [\ omega] = [\ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、f（t）e ^ \ {-j \ omega t} dt ]
逆フーリエ変換は f（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、F [\ omega] e ^ \ {j \ omega t} d \ omega
基本関数のフーリエ変換
基本関数のフーリエ変換を見てみましょう。
ゲート関数のFT
F [\ omega] = AT Sa（\ {\ omega T \ over 2}）
インパルス関数のFT
$ FT [\ omega（t）] = [\ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \ delta（t）e ^ \ {-j \ omega t} dt] $
$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ \ {-j \ omega t} \、| \、t = 0 $
$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ \ {0} = 1 $
$ \ quad \ theforefore \ delta（\ omega）= 1 $
単位ステップ関数のFT：
$ U（\ omega）= \ pi \ delta（\ omega）+ 1/j \ omega $
指数のFT
$ e ^ \ {-at} u（t）\ stackrel \ {\ mathrm \ {F.T}} \ {\ longleftrightarrow} 1/（a +jω）$
$ e ^ \ {-at} u（t）\ stackrel \ {\ mathrm \ {F.T}} \ {\ longleftrightarrow} 1/（a + j \ omega）$
$ e ^ \ {-a \、| \、t \、|} \ stackrel \ {\ mathrm \ {F.T}} \ {\ longleftrightarrow} \ {2a \ over \ {a ^ 2 +ω^ 2}} $
$ e ^ \ {j \ omega_0 t} \ stackrel \ {\ mathrm \ {F.T}} \ {\ longleftrightarrow} \ delta（\ omega-\ omega_0）$
Signum関数のFT
$ sgn（t）\ stackrel \ {\ mathrm \ {F.T}} \ {\ longleftrightarrow} \ {2 \ over j \ omega} $
フーリエ変換の存在条件
関数がディリクレの条件を満たす場合にのみ、フーリエ変換を使用して関数f（t）を表すことができます。 i.e.
- 関数f（t）には、有限数の最大値と最小値があります。
- 信号f（t）には、指定された時間間隔で有限数の不連続性がなければなりません。
- 指定された時間間隔で絶対に積分可能でなければなりません。 + $ \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、| \、f（t）| \、dt <\ infty $
離散時間フーリエ変換（DTFT）
離散時間フーリエ変換（DTFT）または離散時間シーケンスx [n]のフーリエ変換は、複素指数列$ e ^ \ {j \ omega n} $によるシーケンスの表現です。
DTFTシーケンスx [n]は次の式で与えられます
X（\ omega）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n）e ^ \ {-j \ omega n} \、\、... \、... （1）
ここで、X（ω）は実周波数変数ωの複素関数であり、次のように記述できます。
X（\ omega）= X _ \ {re}（\ omega）+ jX _ \ {img}（\ omega）
X〜re〜（ω）、X〜img〜（ω）はそれぞれX（ω）の実部と虚部です。
X _ \ {re}（\ omega）= | \、X（\ omega）| \ cos \ theta（\ omega）
X _ \ {img}（\ omega）= | \、X（\ omega）| \ sin \ theta（\ omega）
| X（\ omega）| ^ 2 = | \、X _ \ {re}（\ omega）| ^ 2 + | \、X _ \ {im}（\ omega）| ^ 2
また、X（ω）は、$ X（\ omega）= | \、X（\ omega）| e ^ \ {j \ theta（ω）} $
ここで、$ \ theta（\ omega）= arg \ {X（\ omega）} $
$ | \、X（\ omega）|、\ theta（\ omega）$は、X（ω）の振幅および位相スペクトルと呼ばれます。
逆離散時間フーリエ変換
x（n）= \ {1 \ over 2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} X（\ omega）e ^ \ {j \ omega n} d \ omega \、\ 、... \、... （2）
収束条件：
式1の無限級数は収束する場合と収束しない場合があります。 x（n）は絶対に加算可能です。
\ text \ {when} \、\、\ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} | \、x（n）| \、<\ infty
絶対に加算可能なシーケンスは常に有限のエネルギーを持ちますが、有限のエネルギーシーケンスは必ずしも絶対に加算可能である必要はありません。
