Signals-and-systems-fourier-series-types

フーリエ級数型

三角フーリエ級数（TFS）

$ \ sin n \ omega_0 t $および$ \ sin m \ omega_0 t $は、区間$（t_0、t_0 + \ {2 \ pi \ over \ omega_0}）$で直交します。 したがって、$ \ sin \ omega_0 t、\、\ sin 2 \ omega_0 t $は直交集合を形成します。 このコサインセットはサインセットにも直交するため、このセットは\ {$ \ cos n \ omega_0 t $}なしでは完全ではありません。 したがって、このセットを完了するには、コサイン項とサイン項の両方を含める必要があります。 これで、完全な直交セットには、すべてのコサインおよびサインの項が含まれます。 \ {$ \ sin n \ omega_0 t、\、\ cos n \ omega_0 t $}ここで、n = 0、1、2 …​

$ \ therefore $区間$（t_0、t_0 + \ {2 \ pi \ over \ omega_0}）$内の関数x（t）は、次のように表すことができます。

x（t）= a_0 \ cos0 \ omega_0 t + a_1 \cos⁡1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2⁡\ omega_0 t + ... + a_n \cos⁡n \ omega_0 t + ...

+ b_0 \sin⁡0 \ omega_0 t + b_1 \sin⁡1 \ omega_0 t + ... + b_n \sin⁡n \ omega_0 t + ...

= a_0 + a_1 \cos⁡1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2⁡\ omega_0 t + ... + a_n \cos⁡n \ omega_0 t + ...

+ b_1 \sin⁡1 \ omega_0 t + ... + b_n \sin⁡n \ omega_0 t + ...

\ theforefore x（t）= a_0 + \ sum _ \ {n = 1} ^ \ {\ infty}（a_n \cos⁡n \ omega_0 t + b_n \sin⁡n \ omega_0 t）\ quad（t_0 <t <t_0 + T）

上記の方程式は、x（t）の三角フーリエ級数表現を表します。

\ text \ {Where} \、a_0 = \ {\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} x（t）・1 dt \ over \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} 1 ^ 2 dt} = \ {1 \ over T}・\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} x（t）dt

a_n = \ {\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} x（t）・\cos⁡n \ omega_0 t \、dt \ over \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \、dt}

b_n = \ {\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} x（t）・\ sin n \ omega_0 t \、dt \ over \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \、dt}

\ text \ {Here} \、\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \、dt = \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \、dt = \ {T \ over 2}

\ theforefore a_n = \ {2 \ over T}・\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} x（t）・\cos⁡n \ omega_0 t \、dt

b_n = \ {2 \ over T}・\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} x（t）・\ sin n \ omega_0 t \、dt

指数フーリエ級数（EFS）

一連の複素指数関数$ \ left \\ {e ^ \ {jn \ omega_0 t} \ right \}（n = 0、\ pm1、\ pm2 …​）$を考えます。これは区間$（t_0で直交します、t_0 + T）$。 ここで、$ T = \ {2 \ pi \ over \ omega_0} $。 これは完全なセットであるため、以下に示すように任意の関数f（t）を表すことができます。

$ f（t）= F_0 + F_1e ^ \ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ \ {j 2 \ omega_0 t} + …​ + F_n e ^ \ {j n \ omega_0 t} + …​ $

$ \ quad \ quad \、\、F _ \ {-1} e ^ \ {-j \ omega_0 t} + F _ \ {-2} e ^ \ {-j 2 \ omega_0 t} + …​ + F_ \ {-n} e ^ \ {-jn \ omega_0 t} + …​ $

\ therefore f（t）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} F_n e ^ \ {jn \ omega_0 t} \ quad \ quad（t_0 <t <t_0 + T）.. ..... （1）

式1は、区間（t〜0〜、t〜0〜+ T）にわたる信号f（t）の指数フーリエ級数表現を表します。 フーリエ係数は

F_n = \ {\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} f（t）（e ^ \ {jn \ omega_0 t}）^ *dt \ over \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} e ^ \ {jn \ omega_0 t}（e ^ \ {jn \ omega_0 t}）^* dt}

\ quad = \ {\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} f（t）e ^ \ {-jn \ omega_0 t} dt \ over \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} e ^ \ {-jn \ omega_0 t} e ^ \ {jn \ omega_0 t} dt}

\ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \、\、= \ {\ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} f（t）e ^ \ {-jn \ omega_0 t} dt \ over \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} 1 \、dt} = \ {1 \ over T} \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} f（t） e ^ \ {-jn \ omega_0 t} dt

\そのためF_n = \ {1 \ over T} \ int _ \ {t_0} ^ \ {t_0 + T} f（t）e ^ \ {-j n \ omega_0 t} dt

三角関数と指数フーリエ級数の関係

周期的な信号x（t）を考えて、TFSとEFSの表現をそれぞれ以下に示します

$ x（t）= a_0 + \ Sigma _ \ {n = 1} ^ \ {\ infty}（a_n \cos⁡n \ omega_0 t + b_n \sin⁡n \ omega_0 t）…​ …​ (1)$

$ x（t）= \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} F_n e ^ \ {j n \ omega_0 t} $

$ \ quad \、\、\、= F_0 + F_1e ^ \ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ \ {j 2 \ omega_0 t} + …​ + F_n e ^ \ {j n \ omega_0 t} + …​ $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad F _ \ {-1} e ^ \ {-j \ omega_0 t} + F _ \ {-2} e ^ \ {-j 2 \ omega_0 t} + …​ + F _ \ {-n} e ^ \ {-j n \ omega_0 t} + …​ $

$ = F_0 + F_1（\ cos \ omega_0 t + j \ sin \ omega_0 t）+ F_2（cos 2 \ omega_0 t + j \ sin 2 \ omega_0 t）+ …​ + F_n（\ cos n \ omega_0 t + j \ sin n \ omega_0 t）+ …​ + F _ \ {-1}（\ cos \ omega_0 t-j \ sin \ omega_0 t）+ F _ \ {-2}（\ cos 2 \ omega_0 t-j \ sin 2 \ omega_0 t）+ …​ + F _ \ {-n}（\ cos n \ omega_0 t-j \ sin n \ omega_0 t）+ …​ $

$ = F_0 +（F_1 + F _ \ {-1}）\ cos \ omega_0 t +（F_2 + F _ \ {-2}）\ cos2 \ omega_0 t + …​ + j（F_1-F _ \ {-1}）\ sin \ omega_0 t + j（F_2-F _ \ {-2}）\ sin2 \ omega_0 t + …​ $

$ \ theforefore x（t）= F_0 + \ Sigma _ \ {n = 1} ^ \ {\ infty}（（F_n + F _ \ {-n}）\ cos n \ omega_0 t + j（F_n-F _ \ {- n}）\ sin n \ omega_0 t）…​ …​ （2）$

式1と2を比較します。

$ a_0 = F_0 $

$ a_n = F_n + F _ \ {-n} $

$ b_n = j（F_n-F _ \ {-n}）$

同様に

$ F_n = \ frac12（a_n-jb_n）$

$ F _ \ {-n} = \ frac12（a_n + jb_n）$