Signals-and-systems-fourier-series

フーリエ級数

ジャンバプティストジョセフフーリエ、フランスの数学者および物理学者。フランスのオーセールで生まれました。 彼はフーリエ級数、フーリエ変換、および熱伝達と振動の問題への応用を初期化しました。 フーリエ級数、フーリエ変換、およびフーリエの法則は、彼の名誉にちなんで命名されています。

Jean Baptiste Joseph Fourier（1768年3月21日-1830年5月16日）

フーリエ級数

周期信号x（t）を表すために、フーリエはフーリエ級数と呼ばれる式を開発しました。 これは、サインとコサインまたは指数の無限の合計の観点からです。 フーリエ級数は直交性条件を使用します。

連続時間周期信号のフーリエ級数表現

信号は、条件x（t）= x（t + T）またはx（n）= x（n + N）を満たす場合、周期的であると言われます。

ここで、T =基本期間

2つの基本的な周期信号があります。

$ x（t）= \ cos \ omega_0t $（正弦波）＆

$ x（t）= e ^ \ {j \ omega_0 t} $（複素指数）

これら2つの信号は周期$ T = 2 \ pi/\ omega_0 $で周期的です。

調和的に関連する複素指数のセットは、\ {$ \ phi_k（t）$}として表すことができます

\ {\ phi_k（t）} = \\ {e ^ \ {jk \ omega_0t} \} = \\ {e ^ \ {jk（\ {2 \ pi \ over T}）t} \} \ text \ {where} \、k = 0 \ pm 1、\ pm 2 ..n \、\、\、.....（1）

これらの信号はすべて周期Tで周期的です

関数x（t）とnの直交信号空間近似によれば、相互に直交する関数は

x（t）= \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {jk \ omega_0t} ..... （2）

= \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_kk e ^ \ {jk \ omega_0t}

ここで、$ a_k $ =フーリエ係数=近似係数。

この信号x（t）も周期Tで周期的です。

式2は、周期信号x（t）のフーリエ級数表現を表しています。

k = 0という項は定数です。

基本周波数$ \ omega_0 $を持つ項$ k = \ pm1 $は、1 ^ st ^高調波と呼ばれます。

用語$ k = \ pm2 $は基本周波数$ 2 \ omega_0 $を持ち、2 ^ nd ^高調波などと呼ばれます…​

基本周波数$ n \ omega0 $を持つ項$ k =±n $は、n ^ th ^高調波と呼ばれます。

フーリエ係数の導出

$ x（t）= \ Sigma _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {jk \ omega_0 t} …​…​ (1)$

両側で$ e ^ \ {-jn \ omega_0 t} $を掛けます。 Then

x（t）e ^ \ {-jn \ omega_0 t} = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {jk \ omega_0 t} e ^ \ {-jn \ omega_0 t}

両側で積分を考慮してください。

\ int _ \ {0} ^ \ {T} x（t）e ^ \ {jk \ omega_0 t} dt = \ int _ \ {0} ^ \ {T} \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {jk \ omega_0 t}。 e ^ \ {-jn \ omega_0 t} dt

\ quad \ quad \ quad \ quad \、\、= \ int _ \ {0} ^ \ {T} \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {j（kn ）\ omega_0 t}。 dt

\ int _ \ {0} ^ \ {T} x（t）e ^ \ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k \ int _ \ {0 } ^ \ {T} e ^ \ {j（kn）\ omega_0 t} dt。 \、\、..... （2）

オイラーの公式により、

\ int _ \ {0} ^ \ {T} e ^ \ {j（k-n）\ omega_0 t} dt。 = \ int _ \ {0} ^ \ {T} \ cos（k-n）\ omega_0 dt + j \ int _ \ {0} ^ \ {T} \ sin（k-n）\ omega_0t \、dt

\ int _ \ {0} ^ \ {T} e ^ \ {j（k-n）\ omega_0 t} dt。 = \ left \\ {\ begin \ {array} \ {l l} T＆\ quad k = n \\ 0＆\ quad k \ neq n \ end \ {array} \ right。

したがって、式2では、k = nを除き、kのすべての値の積分はゼロです。 式2にk = nを入れます。

\ Rightarrow \ int _ \ {0} ^ \ {T} x（t）e ^ \ {-jn \ omega_0 t} dt = a_n T

\ Rightarrow a_n = \ {1 \ over T} \ int _ \ {0} ^ \ {T} e ^ \ {-jn \ omega_0 t} dt

nをkに置き換えます。

\ Rightarrow a_k = \ {1 \ T} \ int _ \ {0} ^ \ {T} e ^ \ {-jk \ omega_0 t} dt

\ theforefore x（t）= \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} a_k e ^ \ {j（k-n）\ omega_0 t}

\ text \ {where} a_k = \ {1 \ over T} \ int _ \ {0} ^ \ {T} e ^ \ {-jk \ omega_0 t} dt