畳み込みと相関

畳み込み

畳み込みは、LTIシステムの入力と出力の間の関係を表すために使用される数学演算です。 LTIシステムの入力、出力、およびインパルス応答を次のように関連付けます。

y（t）= x（t）* h（t）

ここで、y（t）= LTIの出力

x（t）= LTIの入力

h（t）= LTIのインパルス応答

畳み込みには2つのタイプがあります。

連続畳み込み
離散畳み込み

連続畳み込み

$ y（t）\、\、= x（t）* h（t）$

$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau $

(or)

$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t-\ tau）h（\ tau）d \ tau $

離散畳み込み

$ y（n）\、\、= x（n）* h（n）$

$ = \ Sigma _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（k）h（n-k）$

(or)

$ = \ Sigma _ \ {k =-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n-k）h（k）$

畳み込みを使用することにより、システムのゼロ状態応答を見つけることができます。

デコンボリューション

デコンボリューションは、信号および画像処理で広く使用されているコンボリューションの逆プロセスです。

畳み込みの特性

可換性

$ x_1（t）* x_2（t）= x_2（t）* x_1（t）$

分配財産

$ x_1（t）* [x_2（t）+ x_3（t）] = [x_1（t）* x_2（t）] + [x_1（t）* x_3（t）] $

連想プロパティ

$ x_1（t）* [x_2（t）* x_3（t）] = [x_1（t） x_2（t）] x_3（t）$

シフト特性

$ x_1（t）* x_2（t）= y（t）$

$ x_1（t）* x_2（t-t_0）= y（t-t_0）$

$ x_1（t-t_0）* x_2（t）= y（t-t_0）$

$ x_1（t-t_0）* x_2（t-t_1）= y（t-t_0-t_1）$

インパルスによる畳み込み

$ x_1（t）* \ delta（t）= x（t）$

$ x_1（t）* \ delta（t- t_0）= x（t-t_0）$

単位ステップの畳み込み

$ u（t）* u（t）= r（t）$

$ u（t-T_1）* u（t-T_2）= r（t-T_1-T_2）$

$ u（n）* u（n）= [n + 1] u（n）$

スケーリングプロパティ

$ x（t）* h（t）= y（t）$の場合

次に$ x（a t）* h（a t）= \ {1 \ over | a |} y（a t）$

出力の差別化

if $ y（t）= x（t） *h（t）$

次に$ \ {dy（t）\ over dt} = \ {dx（t）\ over dt}* h（t）$

or

$ \ {dy（t）\ over dt} = x（t）* \ {dh（t）\ over dt} $

注意：

2つの因果シーケンスの畳み込みは因果関係です。
2つの反因果シーケンスの畳み込みは反因果です。
2つの異なる長さの長方形の畳み込みは、台形になります。
2つの等しい長さの長方形の畳み込みにより、三角形が生成されます。
畳み込まれた関数は、その関数の積分と同等です。

例： $ u（t）* u（t）= r（t）$

上記の注意によると、$ u（t）* u（t）= \ int u（t）dt = \ int 1dt = t = r（t）$

ここでは、$ u（t）$を統合するだけで結果が得られます。

畳み込み信号の限界

2つの信号が畳み込まれている場合、結果として得られる畳み込み信号の範囲は次のとおりです。

下限の合計<t <上限の合計

例：以下に示す信号の畳み込み範囲を見つける

畳み込み信号の制限

ここでは、コンボリュートの長さが等しくない2つの長方形があり、台形になります。

畳み込み信号の範囲は次のとおりです。

下限の合計<t <上限の合計

$ -1 + -2 <t <2 + 2 $

$ -3 <t <4 $

したがって、結果は周期7の台形です。

畳み込み信号の領域

畳み込み信号下の面積は、$ A_y = A_x A_h $で与えられます

ここで、A〜x〜=入力信号下の面積

A〜h〜=インパルス応答下の面積

A〜y〜=出力信号の下の領域

証明： $ y（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau $

両側で統合する

$ \ int y（t）dt \、\、\、= \ int \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau dt $

$ = \ int x（\ tau）d \ tau \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、h（t- \ tau）dt $

信号の領域は、その信号自体の積分であることを知っています。

$ \したがって、A_y = A_x \、A_h $

DCコンポーネント

信号のDC成分は

$ \ text \ {DC component} = \ {\ text \ {信号の領域} \ over \ text \ {信号の周期}} $

例：結果として得られる畳み込み信号のDC成分は次のとおりですか？

得られた畳み込み信号のDCコンポーネント

ここで、x〜1〜（t）の面積=長さ×幅= 1×3 = 3

x〜2〜（t）の面積=長さ×幅= 1×4 = 4

畳み込み信号の面積= x〜1〜（t）の面積x x〜2〜（t）の面積

3×4 = 12

畳み込み信号の持続時間=下限の合計<t <上限の合計

-1 + -2 <t <2 + 2

-3 <t <4

期間= 7 *

畳み込み信号の$ \ therefore $ Dcコンポーネント= $ \ text \ {信号の面積} \ over \ text \ {信号の周期} $

DCコンポーネント= $ \ {12 \ over 7} $

離散畳み込み

離散畳み込みの計算方法を見てみましょう。

i. 離散線形たたみ込みを計算するには：

2つのシーケンスを畳み込むx [n] = \ {a、b、c}＆h [n] = [e、f、g]

離散線形畳み込み

畳み込み出力= [ea、eb + fa、ec + fb + ga、fc + gb、gc]

注意： 2つのシーケンスにそれぞれm、n個のサンプルがある場合、結果の畳み込みシーケンスには[m + n-1]個のサンプルがあります。

例： 2つのシーケンスの畳み込みx [n] = \ {1,2,3}＆h [n] = \ {-1,2,2}

離散線形畳み込み

畳み込み出力y [n] = [-1、-2 + 2、-3 + 4 + 2、6 + 4、6]

[-1、0、3、10、6]

ここで、x [n]には3つのサンプルが含まれ、h [n]にも3つのサンプルがあるため、結果のシーケンスは3 + 3-1 = 5サンプルになります。

ii. 周期的または循環畳み込みを計算するには：

周期的な畳み込みは、離散フーリエ変換に有効です。周期的な畳み込みを計算するには、すべてのサンプルが実数でなければなりません。周期的または循環畳み込みは、高速畳み込みとも呼ばれます。

長さm、nの2つのシーケンスがそれぞれ循環畳み込みを使用して畳み込まれている場合、結果のシーケンスは最大[m、n]サンプルを持ちます。

例：畳み込みを使用した2つのシーケンスx [n] = \ {1,2,3}およびh [n] = \ {-1,2,2}の畳み込み

離散線形畳み込み

通常の畳み込み出力y [n] = [-1、-2 + 2、-3 + 4 + 2、6 + 4、6]。

[-1、0、3、10、6]

ここで、x [n]には3つのサンプルが含まれ、h [n]にも3つのサンプルがあります。したがって、循環たたみ込みによって得られる結果のシーケンスは、max [3,3] = 3サンプルでなければなりません。

周期的な畳み込み結果を取得するために、通常の畳み込みの最初の3サンプル[周期は3]は同じです。次に示すように、次の2つのサンプルが最初のサンプルに追加されます。

循環たたみ込み結果

$ \ therefore $循環たたみ込みの結果$ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $

相関

相関は、2つの信号間の類似性の尺度です。相関の一般式は

\ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_1（t）x_2（t- \ tau）dt

相関には2つのタイプがあります。

自動相関 *クロス相関

自己相関機能

信号とそれ自体の相関として定義されます。自己相関関数は、信号とその時間遅延バージョン間の類似性の尺度です。 R（$ \ tau $）で表されます。

信号x（t）を考えます。時間遅延バージョンを使用したx（t）の自己相関関数は、

R _ \ {11}（\ tau）= R（\ tau）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t）x（t- \ tau）dt \ quad \ quad \ text \ {[+ ve shift]}

\ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t）x（t + \ tau）dt \ quad \ quad \ text \ {[-ve shift]}

ここで、$ \ tau $ =検索またはスキャンまたは遅延パラメーター。

信号が複雑な場合、自動相関関数は

R _ \ {11}（\ tau）= R（\ tau）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t）x* （t- \ tau）dt \ quad \ quad \テキスト\ {[+ ve shift]}

\ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t + \ tau）x *（t）dt \ quad \ quad \ text \ {[- ve shift]}

エネルギー信号の自己相関関数の特性

 *自己相関は共役対称性を示します。 R（$ \ tau $）= R* （-$ \ tau $）
* 原点でのエネルギー信号の自己相関関数、すなわち $ \ tau $ = 0で、その信号の総エネルギーに等しくなります。
+ R（0）= E = $ \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} \、| \、x（t）\、| ^ 2 \、dt $
* 自動相関関数$ \ infty \ {1 \ over \ tau} $、
* 自動相関関数は、$ \ tau $ = 0で最大です。つまり、| R（$ \ tau $）| ≤R（0）∀$ \ tau $
* 自動相関関数とエネルギースペクトル密度は、フーリエ変換ペアです。 i.e.
+ $ FT \、[R（\ tau）] = \ Psi（\ omega）$ + $ \ Psi（\ omega）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} R（\ tau）e ^ \ {-j \ omega \ tau} d \ tau $
* $ R（\ tau）= x（\ tau） *x（-\ tau）$

電源信号の自動相関機能

周期Tの周期的電力信号の自己相関関数は、

R（\ tau）= \ lim _ \ {T \ to \ infty} \ {1 \ over T} \ int _ \ {\ {-T \ over 2}} ^ \ {\ {T \ over 2}} \ 、x（t）x* （t- \ tau）dt

プロパティ

 *電力信号の自動相関は共役対称性を示します。 $ R（\ tau）= R* （-\ tau）$
* $ \ tau = 0 $（原点）での電力信号の自動相関関数は、その信号の総電力に等しくなります。 i.e.
+ $ R（0）= \ rho $
* パワー信号$ \ infty \ {1 \ over \ tau} $の自動相関関数、
* 電力信号の自動相関関数は、$ \ tau $ = 0で最大になります。
+ $ | R（\ tau）| \ leq R（0）\、\ forall \、\ tau $
* 自動相関関数とパワースペクトル密度は、フーリエ変換ペアです。 すなわち
+ $ FT [R（\ tau）] = s（\ omega）$ + $ s（\ omega）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} R（\ tau）e ^ \ {-j \ omega \ tau} d \ tau $
* $ R（\ tau）= x（\ tau）* x（-\ tau）$

密度スペクトル

密度スペクトルを見てみましょう。

エネルギー密度スペクトル

エネルギー密度スペクトルは、次の式を使用して計算できます。

E = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} | \、x（f）\、| ^ 2 df

パワー密度スペクトル

パワー密度スペクトルは、次の式を使用して計算できます。

P = \ Sigma _ \ {n =-\ infty} ^ \ {\ infty} \、| \、C_n | ^ 2

相互相関関数

相互相関は、2つの異なる信号間の類似性の尺度です。

2つの信号x〜1〜（t）とx〜2〜（t）を考えます。これらの2つの信号$ R _ \ {12}（\ tau）$の相互相関は、

R _ \ {12}（\ tau）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_1（t）x_2（t- \ tau）\、dt \ quad \ quad \ text \ {[+ ve shift]}

\ quad \ quad = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_1（t + \ tau）x_2（t）\、dt \ quad \ quad \ text \ {[-ve shift]}

信号が複雑な場合

R _ \ {12}（\ tau）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_1（t）x_2 ^ \ {*}（t- \ tau）\、dt \ quad \ quad \テキスト\ {[+ ve shift]}

\ quad \ quad = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_1（t + \ tau）x_2 ^ \ {*}（t）\、dt \ quad \ quad \ text \ {[-veシフト]}

R _ \ {21}（\ tau）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_2（t）x_1 ^ \ {*}（t- \ tau）\、dt \ quad \ quad \テキスト\ {[+ ve shift]}

\ quad \ quad = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_2（t + \ tau）x_1 ^ \ {*}（t）\、dt \ quad \ quad \ text \ {[-veシフト]}

エネルギー信号と電力信号の相互相関関数の特性

 *自己相関は共役対称性を示します。 $ R _ \ {12}（\ tau）= R ^* _ \ {21}（-\ tau）$。
* 相互相関は、畳み込みのように可換ではありません。
+ $$ R _ \ {12}（\ tau）\ neq R _ \ {21}（-\ tau）$$
 *R〜12〜（0）= 0の場合、$ \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x_1（t）x_2 ^* （t）dt = 0 $の場合、2つの信号は直交する。
+ $ \ lim _ \ {T \ to \ infty} \ {1 \ over T} \ int _ \ {\ T-over 2}} ^ \ {\ {T \ over 2}} \、x （t）x ^ *（t）\、dt $この場合、2つの信号は直交していると言われます。
 *相互相関関数は、ある信号のスペクトルを別の信号のスペクトルの複素共役に乗算することに対応します。 i.e.
+ $$ R _ \ {12}（\ tau）\ leftarrow \ rightarrow X_1（\ omega）X_2 ^* （\ omega）$$ +これは相関定理とも呼ばれます。

パーセバルの定理

エネルギー信号のParsevalの定理は、信号の総エネルギーは信号のスペクトルから取得できると述べています。

$ E = \ {1 \ over 2 \ pi} \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} | X（\ omega）| ^ 2 d \ omega $

注意：*信号にエネルギーEがある場合、その信号の時間スケールバージョンx（at）にはエネルギーE/aがあります。

Signals-and-systems-convolution-and-correlation

目次

畳み込みと相関

畳み込み

連続畳み込み

離散畳み込み

デコンボリューション

畳み込みの特性

可換性

分配財産

連想プロパティ

シフト特性

インパルスによる畳み込み

単位ステップの畳み込み

スケーリングプロパティ

出力の差別化

畳み込み信号の限界

畳み込み信号の領域

DCコンポーネント

3×4 = 12

-1 + -2 <t <2 + 2

-3 <t <4

離散畳み込み

[-1、0、3、10、6]

[-1、0、3、10、6]

相関

自己相関機能

エネルギー信号の自己相関関数の特性

電源信号の自動相関機能

プロパティ

密度スペクトル

エネルギー密度スペクトル

パワー密度スペクトル

相互相関関数

エネルギー信号と電力信号の相互相関関数の特性

パーセバルの定理