凸最適化-Polar Cone
Sを$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でないセットとすると、$ S ^ $で表されるSの極円錐は、$ S ^ = \ left \\ {p \ in \ mathbbで与えられます。 \ {R} ^ n、p ^ Tx \ leq 0 \:\ forall x \ in S \ right \} $。
リマーク
- Sが凸でない場合でも、極円錐は常に凸です。 Sが空のセットの場合、$ S ^ = \ mathbb \ {R} ^ n $。
- 極性は、直交性の一般化と見なされる場合があります。
$ C \ subseteq \ mathbb \ {R} ^ n $とし、Cの直交空間を$ C ^ \ perp = \ left \\ {y \ in \ mathbb \ {R} ^ n:\ left \ langleで示すx、y \ right \ rangle = 0 \ forall x \ in C \ right \} $。
補題
$ S、S_1 $と$ S_2 $を$ \ mathbb \ {R} ^ n $の空でないセットとすると、次のステートメントが真になります-
証明
- ステップ1 *-$ S ^ * = \ left \\ {p \ in \ mathbb \ {R} ^ n、p ^ Tx \ leq 0 \:\ forall \:x \ in S \ right \} $
ステップ2 *-$ S ^ \ {*} = \ left \\ {q \ in \ mathbb \ {R} ^ n:q ^ T p \ leq 0、\ forall p \ in S ^ *\ right \ } $
$ x \ in S $、次に$ \ forall p \ in S ^* 、p ^ T x \ leq 0 \ Rightarrow x ^ Tp \ leq 0 \ Rightarrow x \ in S ^ \ {**} $とする
したがって、$ S \ subseteq S ^ \ {**} $
- ステップ3 *-$ S_2 ^ *= \ left \\ {p \ in \ mathbb \ {R} ^ n:p ^ Tx \ leq 0、\ forall x \ in S_2 \ right \} $
$ S_1 \ subseteq S_2 \ Rightarrow \ forall x \ in S_2 \ Rightarrow \ forall x \ in S_1 $以降
したがって、$ \ hat \ {p} \ in S_2 ^* の場合、$ then $ \ hat \ {p} ^ Tx \ leq 0、\ forall x \ in S_2 $
$ \ Rightarrow \ hat \ {p} ^ Tx \ leq 0、\ forall x \ in S_1 $
$ \ Rightarrow \ hat \ {p} ^ T \ in S_1 ^ *$
$ \ Rightarrow S_2 ^* \ subseteq S_1 ^ *$
定理
Cを空でない閉じた凸コーンとし、$ C = C ^* * $とする
証明
$ C = C ^ \ {**} $前の補題による。
証明するには:$ x \ in C ^ \ {**} \ subseteq C $
$ x \ in C ^ \ {**} $とし、$ x \ notin C $とします
次に、基本的な分離定理により、ベクトル$ p \ neq 0 $とスカラー$ \ alpha $が存在し、$ p ^ Ty \ leq \ alpha、\ forall y \ in C $
したがって、$ p ^ Tx> \ alpha $
しかし、$ \ left(y = 0 \ right)\ in C $および$ p ^ Ty \ leq \ alphaなので、\ forall y \ in C \ Rightarrow \ alpha \ geq 0 $および$ p ^ Tx> 0 $
$ p \ notin C ^ *$の場合、$ p ^ T \ bar \ {y}> 0 $および$ p ^ T \ left(\ lambdaのような$ \ bar \ {y} \ in C $が存在します。 \ bar \ {y} \ right)$は、$ \ lambda $を十分に大きくすることにより、任意に大きくすることができます。
これは、$ p ^ Ty \ leq \ alpha、\ forall y \ in C $
したがって、$ p \ in C ^* $
$ x \ in C ^ = \ left \\ {q:q ^ Tp \ leq 0なので、\ forall p \ in C ^ \ right \} $
したがって、$ x ^ Tp \ leq 0 \ Rightarrow p ^ Tx \ leq 0 $
しかし、$ p ^ Tx> \ alpha $
したがって、矛盾です。
したがって、$ x \ in C $
したがって、$ C = C ^ \ {**} $です。