Network-theory-topology-matrices
ネットワークトポロジマトリックス
前の章では、電気回路を同等のグラフに変換する方法について説明しました。 次に、同等のグラフを使用して電気回路またはネットワークの問題を解決するのに役立つネットワークトポロジマトリックスについて説明します。
ネットワークグラフに関連付けられた行列
以下は、グラフ理論で使用される3つのマトリックスです。
- 発生率マトリックス
- 基本ループ行列
- ファンダメンタルカットセットマトリックス
発生率マトリックス
発生率マトリックスは、特定の電気回路またはネットワークのグラフを表します。 したがって、その同じ電気回路またはネットワークのグラフを*入射行列*から描くことができます。
グラフはノードのセットで構成され、それらはいくつかのブランチで接続されていることを知っています。 したがって、ブランチをノードに接続することをインシデントと呼びます。 発生率マトリックスは、文字Aで表されます。 また、ノードからブランチへの発生マトリックスまたは*ノード発生マトリックス*とも呼ばれます。
「有向グラフ」に「n」個のノードがあり、「b」分岐が存在する場合、発生率マトリックスには「n」行と「b」列があります。 ここで、行と列は有向グラフのノードとブランチに対応しています。 したがって、入射行列の order は n×b になります。
- 入射行列の要素*は、これらの3つの値のうちの1つ、+ 1、-1、0を持ちます。
- 分岐電流が選択されたノードから出る場合、要素の値は+1になります。
- 分岐電流が選択したノードに向かっている場合、要素の値は-1になります。
- 分岐電流が選択したノードに入らず、選択したノードからも出ない場合、要素の値は0になります。
発生率マトリックスを見つける手順
有向グラフの発生行列を見つけるには、次の手順に従います。
- 指定された有向グラフの時点でノードを選択し、そのノードに対応する入射行列の要素の値を連続して入力します。
- 指定された有向グラフのすべてのノードに対して上記の手順を繰り返します。
例
次の*有向グラフ*を考えてください。
上記の有向グラフに対応する*入射行列*は、
A = \ begin \ {bmatrix} -1＆1＆0＆-1＆0＆0 \\ 0＆-1＆1＆0＆1＆0 \\ 1＆0＆-1＆0＆0＆ 1 \\ 0＆0＆0＆1＆-1＆-1 \ end \ {bmatrix}
上記のマトリックスの行と列は、指定された有向グラフのノードとブランチを表します。 この入射行列の次数は4×6です。
上記の入射行列を観察することにより、入射行列の列要素の summation はゼロに等しいと結論付けることができます。 つまり、分岐電流は1つのノードから出て、別の単一のノードのみから入ります。
注意-与えられたグラフが無向タイプの場合、その各分岐の矢印を表すことにより、有向グラフに変換します。 各分岐における電流の任意の方向を考慮することができます。
基本ループ行列
基本ループまたは f-loop は、1つのリンクと1つ以上の小枝のみを含むループです。 したがって、fループの数はリンクの数に等しくなります。 基本ループ行列は文字Bで表されます。 また、*基本回路行列*およびタイセット行列とも呼ばれます。 このマトリックスは、分岐電流とリンク電流の関係を示します。
「有向グラフ」に「n」個のノードがあり、「b」分岐が存在する場合、特定のグラフの選択されたツリーに対応するコツリーに存在するリンクの数はb-n + 1になります。 。
そのため、基本ループマトリックスには「b-n + 1」行と「b」列があります。 ここで、行と列は、特定のグラフのコツリーとブランチのリンクに対応しています。 したがって、基本ループ行列の次数は*（b-n + 1）×b *になります。
- 基本ループ行列の要素*は、これらの3つの値のうちの1つ、+ 1、-1、0を持ちます。
- 要素の値は、選択したfループのリンクに対して+1になります。
- 要素の値は、選択したfループの一部ではない残りのリンクと小枝では0になります。
- 選択したfループの小枝電流の方向がfループリンク電流の方向と同じ場合、要素の値は+1になります。
- 選択したfループの小枝電流の方向がfループリンク電流の方向と反対の場合、要素の値は-1になります。
基本ループマトリックスを見つける手順
特定の有向グラフの基本ループマトリックスを見つけるには、次の手順に従います。
- 特定の有向グラフのツリーを選択します。
- 一度に1つのリンクを含めることにより、1つのfループを取得します。 基本ループ行列の行に、このfループに対応する要素の値を入力します。
- すべてのリンクについて上記の手順を繰り返します。
例
以下の*有向グラフ*のツリーを見てください。これは、発生率行列として考慮されています。
上記のツリーには、3つのブランチd、e＆fが含まれています。 したがって、ブランチa、b＆cは、上記のツリーに対応するCo-Treeのリンクになります。 上記のツリーへのリンクを一度に1つ含めることで、* fループ*が1つ得られます。 したがって、3つのリンクがあるため、3つの* fループ*があります。 これらの3つのfループを次の図に示します。
上の図では、色付きの線で表されている分岐がfループを形成しています。 各fループからタイセット行列の行ごとの要素値を取得します。 したがって、上記のツリーの*ティーセットマトリックス*は次のようになります。
B = \ begin \ {bmatrix} 1＆0＆0＆-1＆0＆-1 \\ 0＆1＆0＆1＆1＆0 \\ 0＆0＆1＆0＆-1＆1 \ end \ {bmatrix}
上記のマトリックスの行と列は、指定された有向グラフのリンクとブランチを表します。 この入射行列の次数は3×6です。
有向グラフの「基本ループ行列の数」は、その有向グラフのツリーの数に等しくなります。 なぜなら、すべてのツリーには1つの基本ループマトリックスがあるからです。
基本的なカットセットマトリックス
基本カットセットまたは* fカットセット*は、元のグラフが2つの独立したサブグラフになるようにグラフから削除されるブランチの最小数です。 fカットセットには、* 1つの小枝*と1つ以上のリンクのみが含まれます。 したがって、fカットセットの数は小枝の数に等しくなります。
- 基本的なカットセットマトリックス*は、文字Cで表されます。 このマトリックスは、分岐電圧と小枝電圧の関係を示します。
「有向グラフ」に「n」個のノードがあり、「b」分岐が存在する場合、指定されたグラフの選択されたツリーに存在する小枝の数はn-1です。 したがって、基本カットセットマトリックスには、「n-1」行と「b」列があります。 ここで、行と列は、選択したツリーの小枝と特定のグラフの枝に対応しています。 したがって、基本カットセット行列の order は*（n-1）×b *になります。
- 基本カットセットマトリックスの要素*は、これら3つの値、+ 1、-1、0のいずれかを持ちます。
- 要素の値は、選択したfカットセットの小枝に対して+1になります。
- 選択したf-cutsetの一部ではない残りの小枝とリンクの要素の値は0になります。
- 選択したfカットセットのリンク電流の方向がfカットセット小枝電流の方向と同じ場合、要素の値は+1になります。
- 選択したfカットセットのリンク電流の方向がfカットセット小枝電流の方向と反対の場合、要素の値は-1になります。
基本カットセットマトリックスを見つける手順
与えられた有向グラフの基本的なカットセットマトリックスを見つけるには、次の手順に従います。
- 特定の有向グラフのツリーを選択し、リンクを点線で表します。
- 一度に1つの小枝と必要なリンクを削除することにより、1つのfカットセットを取得します。 基本カットセット行列の行に、このfカットセットに対応する要素の値を入力します。
- すべての小枝について上記の手順を繰り返します。
例
入射行列のセクションで説明した同じ*有向グラフ*を考えてください。 この有向グラフの枝d、e＆fを小枝として選択します。 したがって、この有向グラフの残りのブランチa、bおよびcはリンクになります。
次の図では、小枝 d、e＆fは実線で、リンク a、b＆cは点線で表されています。
一度に1つの小枝と必要なリンクを削除することにより、1つのfカットセットを取得します。 したがって、3つの小枝があるため、3つのfカットセットがあります。 これらの3つの* fカットセット*を次の図に示します。
C〜1〜、C〜2〜、C〜3〜の小枝とリンクのセットを削除して、3つのfカットセットを作成します。 各fカットセットから基本カットセット行列の行ごとの要素値を取得します。 したがって、上記のツリーの*基本カットセットマトリックス*は次のようになります。
C = \ begin \ {bmatrix} 1＆-1＆0＆1＆0＆0 \\ 0＆-1＆1＆0＆1＆0 \\ 1＆0＆-1＆0＆0＆1 \ end \ {bmatrix}
上記の行列の行と列は、指定された有向グラフの小枝と枝を表します。 この基本カットセットマトリックスの次数は3×6です。
有向グラフの*基本カットセットマトリックスの数*は、その有向グラフのツリーの数に等しくなります。 なぜなら、すべてのツリーには1つの基本カットセットマトリックスがあるからです。
