ネットワーク理論-AC回路の応答

前の章では、DC回路の過渡応答と定常状態応答について説明しました。この章では、* AC回路の応答*について説明します。前の章で説明した過渡応答と定常状態応答の両方の概念は、ここでも役立ちます。

直列RL回路の応答を見つける

次の*シリーズRL回路*図を考えてください。

上記の回路では、スイッチ*は_t = 0_まで *open に保たれ、_t = 0_で閉じられました。したがって、ピーク電圧が_V〜m〜_ボルトのAC電圧源は、この時点まで直列RL回路に接続されていません。したがって、インダクタには*初期電流*が流れません。

スイッチ*が*閉*位置にある場合の回路図を次の図に示します。

Closed Series RL Circuit

ここで、電流_i（t）_は回路全体に流れます。ピーク電圧が_V〜m〜_ボルトのAC電圧源が直列RL回路に接続されているためです。

上記の回路を流れる電流_i（t）_には2つの項があります。1つは過渡部を表し、もう1つは定常状態を表します。

数学的には、次のように表すことができます

$ i（t）= i _ \ {Tr}（t）+ i _ \ {ss}（t）$ *方程式1 *

どこで、

$ i _ \ {Tr}（t）$は、回路を流れる電流の過渡応答です。 *$ i _ \ {ss}（t）$は、回路を流れる電流の定常応答です。

前の章では、直列RL回路を流れる電流の過渡応答を得ました。 $ Ke ^ \ {-\ lgroup \ frac \ {t} \ {\ tau} \ rgroup} $の形式です。

式1の$ i _ \ {Tr}（t）= Ke ^ \ {-\ lgroup \ frac \ {t} \ {\ tau} \ rgroup} $を代入します。

$ i（t）= Ke ^ \ {-\ lgroup \ frac \ {t} \ {\ tau} \ rgroup} + i _ \ {ss}（t）$* 方程式2 *

定常電流の計算

正弦波信号が線形電気回路への入力として適用される場合、定常状態の出力を生成します。これは*正弦波信号*でもあります。入力と出力の両方の正弦波信号の周波数は同じですが、振幅と位相角が異なります。

ラプラス変換アプローチ*を使用して、正弦波電圧源によって励起された電気回路の定常状態応答を計算できます。

*switch* が *closed* の位置にあるときのsドメイン回路図を次の図に示します。

Open Series RL Circuit

上記の回路では、すべての数量とパラメーターが s-domain で表されています。これらは、時間領域の量とパラメーターのラプラス変換です。

上記の回路の*伝達関数*は

H（s）= \ frac \ {I（s）} \ {V（s）}

\右矢印H（s）= \ frac \ {1} \ {Z（s）}

\右矢印H（s）= \ frac \ {1} \ {R + sL}

上記の式で$ s = j \ omega $を代入します。

H（j \ omega）= \ frac \ {1} \ {R + j \ omega L}

$ \ mathbf \ {\ mathit \ {H（j \ omega）}} $の大きさは

| H（j \ omega）| = \ frac \ {1} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2} L ^ 2}

位相角 $ \ mathbf \ {\ mathit \ {H（j \ omega）}} $は

\ angle H（j \ omega）= -tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup

次の2つのステップを実行して、定常状態電流 $ i _ \ {ss}（t）$を取得します-

入力正弦波電圧のピーク電圧と$ H（j \ omega）$の大きさを乗算します。
入力正弦波電圧の位相角と$ H（j \ omega）$を追加します。

定常状態電流 *$ i _ \ {ss}（t）$は

i _ \ {ss}（t）= \ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup

式2の$ i _ \ {ss}（t）$の値を代入します。

$ i（t）= Ke ^ \ {-\ lgroup \ frac \ {t} \ {\ tau} \ rgroup} + \ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup $* 方程式3 *

回路には初期電流がないことがわかっています。したがって、定数Kの値を見つけるには、式3の_t = 0_＆_i（t）= 0_を代入します。

0 = Ke ^ \ {-\ lgroup \ frac \ {0} \ {\ tau} \ rgroup} + \ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega（0）+ \ varphi-tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup

\ Rightarrow 0 = K + \ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup

\ Rightarrow K =-\ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup

式3の_K_の値を代入します。

$ i（t）=-\ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi-tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup e ^ \ {-\ lgroup \ frac \ {t} \ {\ tau} \ rgroup} + \ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ { R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ \ {-1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup $* 方程式4 *

式4は、直列RL回路が正弦波電圧源によって励起されたときに流れる電流を表しています。 2つの用語があります。最初の項と2番目の項は、それぞれ電流の過渡応答と定常状態応答を表します。

式4の値は1よりも非常に小さいため、式4の最初の項を無視できます。したがって、回路を流れる合成電流は

i（t）= \ frac \ {V_m} \ {\ sqrt \ {R ^ 2 + \ {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi-tan ^ \ {- 1} \ lgroup \ frac \ {\ omega L} \ {R} \ rgroup \ rgroup

定常状態項*のみが含まれます。したがって、AC回路の定常状態応答のみを検出し、過渡応答を無視できます。

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