Network-theory-maximum-power-transfer-theorem
最大電力伝達定理
負荷が受け取る電力量は、電気および電子アプリケーションの重要なパラメーターです。 DC回路では、抵抗をR〜L〜オームの抵抗で表すことができます。 同様に、AC回路では、インピーダンスがZ〜L〜オームの複雑な負荷で表すことができます。
- 最大電力伝達定理*では、負荷抵抗がソース抵抗と等しい場合にのみ、DC電圧源が可変負荷抵抗器に最大電力を供給します。
同様に、 Maximum power transfer theorem は、負荷インピーダンスが電源インピーダンスの複素共役に等しい場合にのみ、AC電圧源が可変複素負荷に最大電力を供給することを示しています。
この章では、DC回路の最大電力伝達定理について説明します。
最大電力伝達定理の証明
R〜L〜オームの抵抗を持つ可変負荷抵抗器の左側にある2端子線形ネットワークまたは回路をテブナンの等価回路に置き換えます。 テブナンの等価回路は実用的な電圧源に似ていることがわかっています。
この概念を次の図に示します。
負荷抵抗器で消費される電力量は
P_L = I ^ 2 R_L
上記の式で$ I = \ frac \ {V _ \ {Th}} \ {R _ \ {Th} + R_L} $を代入します。
P_L = \ lgroup \ frac \ {V _ \ {Th}} \ {（R _ \ {Th} + R_L）} \ rgroup ^ 2 R_L
$ \ Rightarrow P_L = \ {V _ \ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac \ {R_L} \ {（R _ \ {Th} + R_L）^ 2} \ rbrace $ *式1 *
最大電力伝送の条件
最大または最小の場合、1次導関数はゼロになります。 したがって、式1を_R〜L〜_に関して微分し、ゼロに等しくします。
\ frac \ {dP_L} \ {dR_L} = \ {V _ \ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac \ {（R _ \ {Th} + R_L）^ 2 \ times 1-R_L \ times 2（R_ \ {Th} + R_L）} \ {（R _ \ {Th} + R_L）^ 4} \ rbrace = 0
\右矢印（R _ \ {Th} + R_L）^ 2 -2R_L（R _ \ {Th} + R_L）= 0
\右矢印（R _ \ {Th} + R_L）（R _ \ {Th} + R_L-2R_L）= 0
\右矢印（R _ \ {Th}-R_L）= 0
\ Rightarrow R _ \ {Th} = R_L \：or \：R_L = R _ \ {Th}
したがって、負荷全体の*最大電力消費の条件は$ R_L = R _ \ {Th} $です。 つまり、負荷抵抗の値がソース抵抗の値、つまりテブナンの抵抗に等しい場合、負荷で消費される電力は最大値になります。
最大電力伝達の値
式1の$ R_L = R _ \ {Th} \：\＆\：P_L = P _ \ {L、Max} $を代入します。
P _ \ {L、Max} = \ {V _ \ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac \ {R _ \ {Th}} \ {（R _ \ {Th} + R _ \ {Th}）^ 2} \ rbrace
P _ \ {L、Max} = \ {V _ \ {Th}} ^ 2 \ lbrace \ frac \ {R _ \ {Th}} \ {4 \ {R _ \ {Th}} ^ 2} \ rbrace
\ Rightarrow P _ \ {L、Max} = \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {4 R _ \ {Th}}
\ Rightarrow P _ \ {L、Max} = \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {4 R _ \ {L}}、\：以来\：R _ \ {L} = R_ \ {Th}
したがって、負荷に転送される*最大電力*は
P _ \ {L、Max} = \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {4R _ \ {L}} = \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {4R _ \ {Th}}
最大電力伝送の効率
次の式を使用して、最大電力伝送の効率$ \ eta _ \ {Max} $を計算できます。
$ \ eta _ \ {Max} = \ frac \ {P _ \ {L、Max}} \ {P_S} $ *式2 *
どこで、
- $ P _ \ {L、Max} $は、負荷に転送される電力の最大量です。
- $ P_S $は、ソースが生成する電力量です。
ソースによって生成される*電力の量は
P_S = 2 I ^ 2 R _ \ {Th} + I ^ 2 R_L
\ Rightarrow P_S = 2 I ^ 2 R _ \ {Th}、\：since \：R _ \ {L} = R _ \ {Th}
- 上記の式で$ I = \ frac \ {V _ \ {Th}} \ {2 R _ \ {Th}} $を代入します。
P_S = 2 \ lgroup \ frac \ {V _ \ {Th}} \ {2 R _ \ {Th}} \ rgroup ^ 2 R _ \ {Th}
\ Rightarrow P_S = 2 \ lgroup \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {4 \ {R _ \ {Th}} ^ 2} \ rgroup R _ \ {Th}
\ Rightarrow P_S = \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {2 R _ \ {Th}}
- 式2の$ P _ \ {L、Max} $および$ P_S $の値を代入します。
\ eta _ \ {Max} = \ frac \ {\ lgroup \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {4R _ \ {Th}} \ rgroup} \ {\ lgroup \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {2R _ \ {Th}} \ rgroup}
\ Rightarrow \ eta _ \ {Max} = \ frac \ {1} \ {2}
私たちは次のように*パーセント*の観点から最大電力伝送の効率を表すことができます-
\％\ eta _ \ {Max} = \ eta _ \ {Max} \ times 100 \％
\ Rightarrow \％\ eta _ \ {Max} = \ lgroup \ frac \ {1} \ {2} \ rgroup \ times 100 \％
\右矢印\％\ eta _ \ {Max} = 50 \％
したがって、最大電力伝送の効率は* 50％*です。
例
次の図に示す回路の負荷抵抗R〜L〜に供給できる*最大電力*を見つけます。
- ステップ1 *-テブナンの定理の章で、端末AとBの左側のテブナンの等価回路を計算しました。 これでこの回路を使用できます。 次の図に示します。
ここで、テブナンの電圧$ V _ \ {Th} = \ frac \ {200} \ {3} V $とテブナンの抵抗$ R _ \ {Th} = \ frac \ {40} \ {3} \ Omega $
- ステップ2 *-所定の回路の端子AとBの左側にある回路の部分を、上記のテブナンの等価回路に置き換えます。 結果の回路図を次の図に示します。
- ステップ3 *-次の式を使用して、負荷抵抗に供給される最大電力R〜L〜を見つけることができます。
P _ \ {L、Max} = \ frac \ {\ {V _ \ {Th}} ^ 2} \ {4 R _ \ {Th}}
上記の式で$ V _ \ {Th} = \ frac \ {200} \ {3} V $と$ R _ \ {Th} = \ frac \ {40} \ {3} \ Omega $を代入します。
$$ P _ \ {L、Max} = \ frac \ {\ lgroup \ frac \ {200} \ {3} \ rgroup ^ 2} \ {4 \ lgroup \ frac \ {40} \ {3} \ rgroup} $ $
P _ \ {L、Max} = \ frac \ {250} \ {3} W
したがって、特定の回路の負荷抵抗RLに供給される*最大電力*は$ \ mathbf \ {\ frac \ {250} \ {3}} $ W です。
