Matlab-integration
MATLAB-統合
統合では、本質的に異なる2つのタイプの問題を扱います。
- 最初のタイプでは、関数の導関数が与えられ、関数を見つけたいです。 したがって、基本的に差別化のプロセスを逆にします。 この逆プロセスは、反微分、または原始関数の検出、または*不定積分*の検出として知られています。
- 2番目のタイプの問題は、非常に多数の非常に小さな数量を加算し、数量のサイズがゼロに近づき、項の数が無限になる傾向があるときに制限を取ることです。 このプロセスは、*定積分*の定義につながります。
面積、体積、重心、慣性モーメント、力によって行われた仕事、および他の多くのアプリケーションを見つけるために、定積分が使用されます。
MATLABを使用して不定積分を見つける
定義により、関数f（x）の導関数がf '（x）である場合、xに関するf'（x）の不定積分はf（x）です。 たとえば、x ^ 2 ^の微分（xに対する）は2xであるため、2xの不定積分はx ^ 2 ^であると言えます。
記号で-
*f '（x ^ 2 ^）= 2x* 、したがって、∫2xdx = x ^ 2 ^。
定数cの値に対するx ^ 2 ^ + cの導関数も2xになるため、不定積分は一意ではありません。
これは次のように記号で表されます-
- ∫2xdx = x ^ 2 ^ + c *。
ここで、cは「任意の定数」と呼ばれます。
MATLABは、式の積分を計算する int コマンドを提供します。 関数の不定積分の式を導出するには、次のように書きます-
int(f);たとえば、前の例から-
syms x
int(2*x)MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-
ans =
x^2例1
この例では、一般的に使用されるいくつかの式の積分を見つけましょう。 スクリプトファイルを作成し、その中に次のコードを入力します-
syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます-
ans =
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
-cos(n*t)/n
ans =
(a*sin(pi*t))/pi
ans =
a^x/log(a)例2
スクリプトファイルを作成し、その中に次のコードを入力します-
syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))
int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))*pretty* 関数は、より読みやすい形式で式を返すことに注意してください。あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます-
ans =
sin(x)
ans =
exp(x)
ans =
x*(log(x) - 1)
ans =
log(x)
ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
2 4
24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x)
----------- + ------------- - -------------- + ------------
3125 625 125 5
3 5
4 x sin(5 x) x sin(5 x)
------------- + -----------
25 5
ans =
-1/(4*x^4)
ans =
tan(x)
2
x (3 x - 5 x + 1)
ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2
6 5 4 3
7 x 3 x 5 x x
- ---- - ---- + ---- + --
12 5 8 2MATLABを使用した定積分の検索
定義により、定積分は基本的に合計の限界です。 定積分を使用して、曲線とx軸の間の領域や2つの曲線の間の領域などの領域を見つけます。 必要な量を合計の限界として表すことができる他の状況でも、定積分を使用できます。
*int* 関数は、積分を計算する範囲を渡すことにより、明確な積分に使用できます。計算する
私たちは書く、
int(x, a, b)たとえば、Exampleの値を計算するには、次のように記述します-
int(x, 4, 9)MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します-
ans =
65/2以下は、上記の計算と同等のオクターブです-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));Octaveはコードを実行し、次の結果を返します-
Area:
32.500代替ソリューションは、次のようにオクターブが提供するquad（）関数を使用して与えることができます-
pkg load symbolic
symbols
f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));Octaveはコードを実行し、次の結果を返します-
Area:
32.500例1
x軸と曲線y = x ^ 3 ^ −2x + 5と縦座標x = 1およびx = 2で囲まれた面積を計算してみましょう。
必要な領域は次のように与えられます-
スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します-
f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます-
a =
23/4
Area:
5.7500以下は、上記の計算と同等のオクターブです-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);
a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));Octaveはコードを実行し、次の結果を返します-
Area:
5.7500代替ソリューションは、次のようにオクターブが提供するquad（）関数を使用して与えることができます-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));Octaveはコードを実行し、次の結果を返します-
Area:
5.7500例2
曲線下の領域を見つけます。f（x）= x ^ 2 ^ cos（x）for -4≤x≤9
スクリプトファイルを作成し、次のコードを記述します-
f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));あなたがファイルを実行すると、MATLABはグラフをプロットします-
出力は以下のとおりです-
a =
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)
Area:
0.3326以下は、上記の計算と同等のオクターブです-
pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps
[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
