Matlab-integration

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MATLAB-統合

統合では、本質的に異なる2つのタイプの問題を扱います。

  • 最初のタイプでは、関数の導関数が与えられ、関数を見つけたいです。 したがって、基本的に差別化のプロセスを逆にします。 この逆プロセスは、反微分、または原始関数の検出、または*不定積分*の検出として知られています。
  • 2番目のタイプの問題は、非常に多数の非常に小さな数量を加算し、数量のサイズがゼロに近づき、項の数が無限になる傾向があるときに制限を取ることです。 このプロセスは、*定積分*の定義につながります。

面積、体積、重心、慣性モーメント、力によって行われた仕事、および他の多くのアプリケーションを見つけるために、定積分が使用されます。

MATLABを使用して不定積分を見つける

定義により、関数f（x）の導関数がf '（x）である場合、xに関するf'（x）の不定積分はf（x）です。 たとえば、x ^ 2 ^の微分（xに対する）は2xであるため、2xの不定積分はx ^ 2 ^であると言えます。

記号で- 

*f '（x ^ 2 ^）= 2x* 、したがって、

∫2xdx = x ^ 2 ^。

定数cの値に対するx ^ 2 ^ + cの導関数も2xになるため、不定積分は一意ではありません。

これは次のように記号で表されます-

  • ∫2xdx = x ^ 2 ^ + c *。

ここで、cは「任意の定数」と呼ばれます。

MATLABは、式の積分を計算する int コマンドを提供します。 関数の不定積分の式を導出するには、次のように書きます- 

int(f);

たとえば、前の例から- 

syms x
int(2*x)

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   x^2

例1

この例では、一般的に使用されるいくつかの式の積分を見つけましょう。 スクリプトファイルを作成し、その中に次のコードを入力します- 

syms x n

int(sym(x^n))
f = 'sin(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

ans =
   piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f =
sin(n*t)
ans =
   -cos(n*t)/n
   ans =
   (a*sin(pi*t))/pi
   ans =
   a^x/log(a)

例2

スクリプトファイルを作成し、その中に次のコードを入力します- 

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))

int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2))

int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))
*pretty* 関数は、より読みやすい形式で式を返すことに注意してください。

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

ans =
   sin(x)

ans =
   exp(x)

ans =
   x*(log(x) - 1)

ans =
   log(x)

ans =
(24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5
                                    2             4
   24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x)
   ----------- + ------------- - -------------- + ------------
      3125            625             125              5

        3             5

   4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x)
   ------------- + -----------
         25              5

ans =
-1/(4*x^4)

ans =
tan(x)
        2
  x (3 x  - 5 x + 1)

ans =
- (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2

      6      5      4    3
    7 x    3 x    5 x    x
  - ---- - ---- + ---- + --
     12     5      8     2

MATLABを使用した定積分の検索

定義により、定積分は基本的に合計の限界です。 定積分を使用して、曲線とx軸の間の領域や2つの曲線の間の領域などの領域を見つけます。 必要な量を合計の限界として表すことができる他の状況でも、定積分を使用できます。 

*int* 関数は、積分を計算する範囲を渡すことにより、明確な積分に使用できます。

計算する

定積分

私たちは書く、 

int(x, a, b)

たとえば、Exampleの値を計算するには、次のように記述します- 

int(x, 4, 9)

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   65/2

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x;
c = [1, 0];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4);
display('Area: '), disp(double(a));

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

Area:

   32.500

代替ソリューションは、次のようにオクターブが提供するquad（）関数を使用して与えることができます- 

pkg load symbolic
symbols

f = inline("x");
[a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9);

display('Area: '), disp(double(a));

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

Area:
   32.500

例1

x軸と曲線y = x ^ 3 ^ −2x + 5と縦座標x = 1およびx = 2で囲まれた面積を計算してみましょう。

必要な領域は次のように与えられます-

面積計算

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

f = x^3 - 2*x +5;
a = int(f, 1, 2)
display('Area: '), disp(double(a));

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

a =
23/4
Area:
   5.7500

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x^3 - 2*x +5;
c = [1, 0, -2, 5];
integral = polyint(c);

a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1);
display('Area: '), disp(double(a));

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

Area:

   5.7500

代替ソリューションは、次のようにオクターブが提供するquad（）関数を使用して与えることができます- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^3 - 2*x +5");

[a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2);
display('Area: '), disp(double(a));

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

Area:
   5.7500

例2

曲線下の領域を見つけます。f（x）= x ^ 2 ^ cos（x）for -4≤x≤9

スクリプトファイルを作成し、次のコードを記述します- 

f = x^2*cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(f, -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));

あなたがファイルを実行すると、MATLABはグラフをプロットします-

定積分

出力は以下のとおりです- 

a =
8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9)

Area:
   0.3326

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = inline("x^2*cos(x)");

ezplot(f, [-4,9])
print -deps graph.eps

[a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9);
display('Area: '), disp(double(a));
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