Matlab-differential

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MATLAB-差分

MATLABは、シンボリック導関数を計算するための diff コマンドを提供します。 最も単純な形式では、微分する関数を引数としてdiffコマンドに渡します。

たとえば、関数f（t）= 3t ^ 2 ^ + 2t ^ -2 ^の導関数を計算してみましょう

例

スクリプトファイルを作成し、それに次のコードを入力します- 

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

上記のコードをコンパイルして実行すると、次の結果が生成されます- 

ans =
6*t - 4/t^3

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

差別化の基本ルールの検証

関数を区別するためのさまざまな方程式または規則を簡単に説明し、これらの規則を検証しましょう。 この目的のために、一次導関数に対してf '（x）を、二次導関数に対してf "（x）を記述します。

差別化のルールは次のとおりです-

ルール1

関数fとgおよび実数aとbについては、関数の導関数です-

  • h（x）= af（x）+ bg（x）*はxに関して-
  • h '（x）= af'（x）+ bg '（x）*

ルール2

*sum* および *subtraction* ルールは、fとgが2つの関数である場合、f 'とg'はそれぞれそれらの導関数であると述べています。

（* f + g） '= f' + g '*

（f-g） '= f'-g '

ルール3

*product* ルールは、fとgが2つの関数である場合、f 'とg'はそれぞれそれらの導関数であると述べています。
  • （f.g） '= f'.g + g'.f *

ルール4

*quotient* ルールは、fとgが2つの関数である場合、f 'とg'はそれぞれそれらの導関数であると述べています。
  • （f/g） '=（f'.g-g'.f）/g ^ 2 ^ *

ルール5

多項式*または初等指数では、 *y = f（x）= x ^ n ^ の場合、 f '= nであると規定されています。 x （n-1）

この規則の直接的な結果は、任意の定数の導関数がゼロになることです。つまり、 y = k 、任意の定数、 

*f '= 0*

ルール6

*chain* ルールは、xに関する関数* h（x）= f（g（x））*の関数の微分は、
  • h '（x）= f'（g（x））。g '（x）*

例

スクリプトファイルを作成し、それに次のコードを入力します- 

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

あなたがファイルを実行すると、MATLABは次の結果を表示します- 

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)

   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3

f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)

   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)

f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)

der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)

f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)

der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2

f =
   (x^2 + 1)^17

der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16

f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6

der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = differentiate(f,x)

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3)
der2 = differentiate(f,t)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = differentiate(f,x)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = differentiate(f,x)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = differentiate(f,x)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = differentiate(f,t)

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指数関数、対数関数、および三角関数の微分

次の表は、一般的に使用される指数関数、対数関数、三角関数の導関数を提供します-

Function Derivative
ca.x ca.x.ln c.a (ln is natural logarithm)
ex ex
ln x 1/x
lncx 1/x.ln c
xx xx.(1 + ln x)
sin(x) cos(x)
cos(x) -sin(x)
tan(x) sec2(x), or 1/cos2(x), or 1 + tan2(x)
cot(x) -csc2(x), or -1/sin2(x), or -(1 + cot2(x))
sec(x) sec(x).tan(x)
csc(x) -csc(x).cot(x)

例

スクリプトファイルを作成し、それに次のコードを入力します- 

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

あなたがファイルを実行すると、MATLABは次の結果を表示します- 

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8

y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)

y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1

y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)

y =
   log(x)
   ans =
   1/x

y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))

y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)

y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)

y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

高階微分の計算

関数fの高階微分を計算するには、構文* diff（f、n）*を使用します。

関数y = f（x）= x .e ^ -3x ^の2次導関数を計算しましょう 

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLABはコードを実行し、次の結果を返します- 

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

例

この例では、問題を解決しましょう。 関数* y = f（x）= 3 sin（x）+ 7 cos（5x）の場合。 方程式 f "+ f = -5cos（2x）*が成り立つかどうかを調べる必要があります。

スクリプトファイルを作成し、それに次のコードを入力します- 

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

No, the equation does not hold true
Value of LHS is:
-168*cos(5*x)

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

No, the equation does not hold true
Value of LHS is:
-(168.0)*cos((5.0)*x)

曲線の最大値と最小値を見つける

グラフの極大値と極小値を検索する場合、基本的には特定の局所性での関数のグラフ上の最高点または最低点、または記号変数の特定の範囲の値を探しています。

関数y = f（x）の場合、グラフの勾配がゼロであるグラフ上の点は*静止点*と呼ばれます。 言い換えれば、静止点はf '（x）= 0の場所です。

微分する関数の静止点を見つけるには、導関数をゼロに設定して方程式を解く必要があります。

例

関数f（x）= 2x ^ 3 ^ + 3x ^ 2 ^ − 12x + 17の静止点を見つけましょう

次の手順を実行します-

まず関数を入力して、グラフをプロットしましょう。 

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLABはコードを実行し、次のプロットを返します-

マキシマとミニマを見つける

ここに上記の例のオクターブ同等のコードがあります- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

私たちの目的は、グラフ上のいくつかの局所的な最大値と最小値を見つけることです。そのため、グラフ上の区間[-2、2]の局所的な最大値と最小値を見つけましょう。 

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLABはコードを実行し、次のプロットを返します-

マキシマとミニマを見つける

ここに上記の例のオクターブ同等のコードがあります- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

次に、導関数を計算しましょう。 

g = diff(y)

MATLABはコードを実行し、次の結果を返します- 

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

上記の計算と同等のオクターブがあります- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

微分関数gを解いて、ゼロになる値を取得しましょう。 

s = solve(g)

MATLABはコードを実行し、次の結果を返します- 

s =
   1
   -2

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octaveはコードを実行し、次の結果を返します- 

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

これはプロットと一致します。 したがって、臨界点x = 1、-2で関数fを評価しましょう。 *subs コマンドを使用して、シンボリック関数の値を置き換えることができます。 

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLABはコードを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   10
ans =
   37

以下は、上記の計算と同等のオクターブです- 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)
ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

したがって、区間[-2,2]での関数f（x）= 2x ^ 3 ^ + 3x ^ 2 ^ − 12x + 17の最小値と最大値は10と37です。

微分方程式を解く

MATLABは、微分方程式を記号的に解くための dsolve コマンドを提供します。

単一の方程式の解を見つけるための dsolve コマンドの最も基本的な形式は次のとおりです。 

dsolve('eqn')

ここで、_eqn_は方程式の入力に使用されるテキスト文字列です。

MATLABがC1、C2などにラベル付けする任意の定数のセットを含むシンボリックソリューションを返します。

また、問題の初期条件と境界条件を指定することができます。カンマ区切りのリストとして、次の方程式に従ってください- 

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

dsolveコマンドを使用するために、*デリバティブはD *で示されます。 たとえば、f '（t）= -2 * f + cost（t）のような方程式は次のように入力されます- 

*'Df = -2* f + cos（t）' *

より高い導関数は、導関数の順序でDを続けることによって示されます。

たとえば、式f "（x）+ 2f '（x）= 5sin3xは次のように入力する必要があります- 

*'D2y + 2Dy = 5* sin（3 *x）'*

一階微分方程式の簡単な例を取り上げましょう：y '= 5y。 

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLABはコードを実行し、次の結果を返します- 

s =
   C2*exp(5*t)

二階微分方程式の別の例を取り上げましょう：y "-y = 0、y（0）= -1、y '（0）= 2。 

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLABはコードを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2
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