Matlab-algebra

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MATLAB-代数

これまでのところ、すべての例がMATLABとGNU（別名Octave）で動作することを確認しました。 しかし、基本的な代数方程式を解くために、MATLABとOctaveの両方が少し異なるため、MATLABとOctaveを別々のセクションでカバーするようにします。

また、代数的表現の因数分解と単純化についても説明します。

MATLABで基本的な代数方程式を解く

*solve* 関数は代数方程式を解くために使用されます。 最も簡単な形式では、solve関数は引数として引用符で囲まれた方程式を取ります。

たとえば、方程式x-5 = 0でxを解こう 

solve('x-5=0')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   5

また、として解決関数を呼び出すことができます- 

y = solve('x-5 = 0')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

y =
   5

あなたは式の右辺を含めることさえできません- 

solve('x-5')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   5

方程式が複数の記号を含む場合、MATLABはデフォルトでxを解いていると仮定しますが、解関数は別の形式を持っています- 

solve(equation, variable)

ここで、変数に言及することもできます。

たとえば、vについて方程式v – u – 3t ^ 2 ^ = 0を解きましょう。 この場合、私たちは書く必要があります- 

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   3*t^2 + u

オクターブで基本的な代数方程式を解く

  • 根*関数は、オクターブで代数方程式を解くために使用され、次のように上記の例を書くことができます-

たとえば、方程式x-5 = 0でxを解こう 

roots([1, -5])

Octaveは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

ans = 5

また、として解決関数を呼び出すことができます- 

y = roots([1, -5])

Octaveは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

y = 5

MATLABで2次方程式を解く

*solve* 関数は、高次方程式も解くことができます。 二次方程式を解くためによく使用されます。 この関数は、配列の方程式の根を返します。

次の例では、二次方程式x ^ 2 ^ -7x +12 = 0を解きます。 スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

The first root is:
   3
The second root is:
   4

オクターブで二次方程式を解く

次の例では、オクターブで2次方程式x ^ 2 ^ -7x +12 = 0を解きます。 スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

The first root is:
   4
The second root is:
   3

MATLABで高次方程式を解く

*solve* 関数は、高次方程式も解くことができます。 たとえば、（x-3）^ 2 ^（x-7）= 0のように3次方程式を解こう
solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLABは上記のステートメントを実行し、次の結果を返します- 

ans =
   3
   3
   7

高次方程式の場合、根は多くの項を含む長いです。 そのような根の数値を取得するには、それらをdoubleに変換します。 次の例は、4次方程式x ^ 4 ^ − 7x ^ 3 ^ + 3x ^ 2 ^ − 5x + 9 = 0を解きます。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

あなたがファイルを実行すると、次の結果が返されます- 

The first root is:
6.630396332390718431485053218985
 The second root is:
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is:
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is:
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

最後の2つのルートは複素数であることに注意してください。

Octaveで高次方程式を解く

次の例は、4次方程式x ^ 4 ^ − 7x ^ 3 ^ + 3x ^ 2 ^ − 5x + 9 = 0を解きます。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

v = [1, -7,  3, -5, 9];
s = roots(v);

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

あなたがファイルを実行すると、次の結果が返されます- 

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

MATLABで方程式系を解く

*solve* 関数を使用して、複数の変数を含む連立方程式の解を生成することもできます。 この使用法を示すために簡単な例を取り上げましょう。

方程式を解きましょう-

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

ans =
   22/19
ans =
   -5/57

同様に、より大きな線形システムを解くことができます。 次の方程式のセットを考慮してください-

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

オクターブの方程式の解法

「n」個の未知数の「n」個の線形方程式を解くには、少し異なるアプローチがあります。 この使用法を示すために簡単な例を取り上げましょう。

方程式を解きましょう-

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

このような線形方程式系は、単一行列方程式Ax = bとして記述できます。ここで、Aは係数行列、bは線形方程式の右辺を含む列ベクトル、xは解を表す列ベクトルです。以下のプログラムに示されています-

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

ans =

   1.157895
  -0.087719

同様に、以下のように大きな線形システムを解くことができます-

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

MATLABでの方程式の展開と収集

*expand* および *collect* 関数は、それぞれ方程式を展開および収集します。 次の例は、概念を示しています-

多くのシンボリック関数を使用する場合、変数がシンボリックであることを宣言する必要があります。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

syms x   %symbolic variable x
syms y   %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

Octaveでの方程式の展開と収集

方程式を展開および収集する expand および collect 関数をそれぞれ提供する symbolic パッケージが必要です。 次の例は、概念を示しています-

多くのシンボリック関数を使用する場合、変数はシンボリックであると宣言する必要がありますが、Octaveにはシンボリック変数を定義するための異なるアプローチがあります。 シンボリックパッケージでも定義されている Sin および Cos の使用に注意してください。

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))

% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数的表現の因数分解と単純化

*factor* 関数は式を因数分解し、 *simplify* 関数は式を単純化します。 次の例は、概念を示しています-

例

スクリプトファイルを作成し、次のコードを入力します- 

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

あなたがファイルを実行すると、次の結果が表示されます- 

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4
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