グラフ理論-同型

グラフは、同じ数の頂点、エッジ、および同じエッジ接続を持つ異なる形式で存在できます。このようなグラフは同型グラフと呼ばれます。この章のグラフにラベルを付けるのは、主にそれらを参照し、相互に認識できるようにするためです。

同型グラフ

2つのグラフG〜1〜およびG〜2〜は、次の場合に同型であると言われます-

コンポーネント（頂点とエッジ）の数は同じです。
それらのエッジ接続は保持されます。

注-要するに、2つの同形グラフのうち、1つは他の微調整されたバージョンです。ラベルのないグラフも同型グラフと考えることができます。

There exists a function ‘f’ from vertices of G1 to vertices of G2
   [f: V(G1) ⇒ V(G2)], such that
Case (i): f is a bijection (both one-one and onto)
Case (ii): f preserves adjacency of vertices, i.e., if the edge {U, V} ∈ G1, then the
   edge {f(U), f(V)} ∈ G2, then G1 ≡ G2.

注意

G〜1〜≡G〜2〜の場合-

| V（G〜1〜）| = | V（G〜2〜）|
| E（G〜1〜）| = | E（G〜2〜）|
G〜1〜とG〜2〜の次数シーケンスは同じです。
頂点\ {V〜1〜、V〜2〜、.. V〜k〜}はG〜1〜で長さKのサイクルを形成し、頂点\ {f（V〜1〜）、f（V〜2〜）、…f（V〜k〜）}はG〜2〜の長さKのサイクル。

グラフG〜1〜およびG〜2〜が同型であるためには上記のすべての条件が必要ですが、グラフが同型であることを証明するには不十分です。

（G〜1〜≡G〜2〜）if and only if（_ [。sy]＃G〜1〜[.oncapital]＃− '≡ [。sy]＃G〜2〜[.oncapital] ＃- _）ここで、G〜1〜およびG〜2〜は単純なグラフです。
（G〜1〜≡G〜2〜）G〜1〜とG〜2〜の隣接行列が同じ場合。
（G〜1〜≡G〜2〜）G〜1〜およびG〜2〜の対応するサブグラフ（G〜1〜のいくつかの頂点とグラフG〜2〜の画像を削除することにより得られる）が同型。

例

次のグラフのうち、同型のものはどれですか？

同形

グラフG〜3〜では、頂点「w」の次数は3のみですが、他のすべてのグラフ頂点の次数は2です。したがって、G〜3〜はG〜1〜またはG〜2〜と同型ではありません。

G〜1〜とG〜2〜を補完すると、次のようになります-

同形の例

ここでは、（_ [。sy]＃G〜1〜[.oncapital]＃-'≡ [。sy]＃G〜2〜[.oncapital]＃- _）、したがって（G〜1〜 ≡G〜2〜）。

平面グラフ

グラフ「G」は、2つのエッジが頂点以外の点で互いに交差しないように平面または球に描画できる場合、平面であると言われます。

例

平面グラフ

地域

すべての平面グラフは、平面と呼ばれる連結された領域に平面を分割します。

例

地域

境界領域の次数* r = deg（r）* =領域を囲むエッジの数 r 。

deg(1) = 3
deg(2) = 4
deg(3) = 4
deg(4) = 3
deg(5) = 8

地域の例

無制限領域の次数* r = deg（r）* =領域を囲むエッジの数 r 。

deg(R1) = 4
deg(R2) = 6

平面グラフでは、次の特性が良好です-

1. 「n」個の頂点を持つ平面グラフでは、すべての頂点の次数の合計は

[.intsuma]# n ∑ i=1 ＃deg（V〜i〜）= 2 | E | * 2. Sum of Degrees of Regions Theoremによると、「n」個の領域がある平面グラフでは、領域の次数の合計は-

[.intsuma]# n ∑ i=1 ＃deg（r〜i〜）= 2 | E |

上記の定理に基づいて、次の結論を引き出すことができます-

平面グラフでは、

各領域の次数がKの場合、領域の次数の合計は + K | R | = 2 | E |
各領域の次数が少なくともK（≥K）である場合、 + K | R | ≤2 | E |
各領域の次数が最大K（≤K）の場合、 + K | R | ≥2 | E |

注-すべての地域が同じ程度であると仮定します。

*3.* 平面グラフの*オイラーの公式*によると、

グラフ「G」が接続された平面の場合、 + | V | + | R | = | E | + 2
「K」コンポーネントの平面グラフの場合、 + | V | + | R | = | E | +（K + 1）

ここで、| V |は頂点の数| E |はエッジの数で、| R |リージョンの数です。

4. エッジ頂点の不等式

「G」が連結された平面グラフで、各領域の次数が少なくとも「K」の場合、

|E| ≤ [.fraction]# k / k − 2 ＃\ {| v | -2}

ご存知のように、| V | ＆プラス; | R | = | E | ＆プラス; 2

| R | ≤2 | E |

K（| E |-| V |＆plus; 2）≤2 | E |

（K-2）| E | ≤K（| V |-2）

|E| ≤ [.fraction]# k / k − 2 ＃\ {| v | -2}

5. 「G」が単純な連結平面グラフの場合、

|E| ≤ 3|V| − 6
|R| ≤ 2|V| − 4

deg（V）≤5となるような少なくとも1つの頂点V？∈Gが存在する

6. 「G」が単純な連結平面グラフ（少なくとも2つのエッジを持つ）であり、三角形がない場合、

|E| ≤ {2|V| – 4}

7. クラトフスキーの定理

グラフ「G」が非平面であるのは、「G」にK〜5〜またはK〜3,3〜に準同型のサブグラフがある場合のみです。

準同型

2つのグラフG〜1〜およびG〜2〜は、Gのいくつかのエッジをより多くの頂点で分割することにより、これらの各グラフが同じグラフ「G」から取得できる場合、準同型であると言われます。次の例を見てください-

準同型

1つの頂点を追加して、エッジ「rs」を2つのエッジに分割します。

準同型1

以下に示すグラフは、最初のグラフと準同型です。

最初のグラフを持つ準同型

G〜1〜がG〜2〜に同型である場合、GはG〜2〜に同型ですが、その逆は真である必要はありません。

頂点が4つ以下のグラフはすべて平面です。
エッジが8個以下のグラフはすべて平面です。
完全なグラフK〜n〜は、n≤4の場合にのみ平面です。
完全な2部グラフK〜m、n〜は、m≤2またはn≤2の場合にのみ平面です。
頂点の数が最小の単純な非平面グラフは、完全なグラフK〜5〜です。
エッジの最小数を持つ単純な非平面グラフはK〜3、3〜です。

多面体グラフ

単純な連結平面グラフは、各頂点の次数が3以上、つまりdeg（V）≥3？∀V？∈Gの場合、多面体グラフと呼ばれます。

3 | V | ≤2 | E |
3 | R | ≤2 | E |

Graph-theory-isomorphism

目次

グラフ理論-同型

同型グラフ

例

平面グラフ

例

地域

例

準同型

多面体グラフ