Graph-theory-independent-sets

グラフ理論-独立集合

独立したセットはセットで表されます。

• *互いに隣接するエッジ*があってはなりません。 2つのエッジ間に共通の頂点があってはなりません。
• 互いに隣接する頂点があってはなりません。 2つの頂点間に共通のエッジがあってはなりません。

独立ラインセット

「G」=（V、E）をグラフにします。 EのサブセットLは、Lの2つのエッジが隣接していない場合、「G」の独立したラインセットと呼ばれます。 このようなセットは、独立回線セットと呼ばれます。

例

独立ラインセット

私たちは次のサブセットを考えてみましょう-

L1 = {a,b}
L2 = {a,b} {c,e}
L3 = {a,d} {b,c}

この例では、サブセットL〜2〜とL〜3〜は明らかに、与えられたグラフの隣接するエッジではありません。 これらは独立したラインセットです。 ただし、L〜1〜は独立したラインセットではありません。独立したラインセットを作成するには、少なくとも2つのエッジが必要です。

最大独立線セット

「G」の他のエッジを「L」に追加できない場合、独立線セットはグラフ「G」の最大独立線セットと呼ばれます。

例

最大独立線セット

私たちは次のサブセットを考えてみましょう-

L1 = {a, b}
L2 = {{b, e}, {c, f}}
L3 = {{a, e}, {b, c}, {d, f}}
L4 = {{a, b}, {c, f}}

L〜2〜およびL〜3〜は、最大独立ラインセット/最大マッチングです。 これら2つのサブセットのみに関しては、隣接していない他のエッジを追加する可能性はありません。 したがって、これらの2つのサブセットは、最大独立ラインセットと見なされます。

最大独立線セット

エッジの最大数を持つ「G」の最大独立線セットは、「G」の最大独立線セットと呼ばれます。

Number of edges in a maximum independent line set of G (β1)
   = Line independent number of G
   = Matching number of G

例

最大独立線セット

私たちは次のサブセットを考えてみましょう-

L1 = {a, b}
L2 = {{b, e}, {c, f}}
L3 = {{a, e}, {b, c}, {d, f}}
L4 = {{a, b}, {c, f}}

L〜3〜は、グラフの隣接エッジではない最大エッジを持つGの最大独立線セットで、β〜1〜 = 3で示されます。

注-孤立した頂点のないグラフGの場合、

α〜1〜+β〜1〜=グラフ内の頂点の数= | V |

例

K〜n〜/C〜n〜/w〜n〜の行カバー数

独立した最大ラインセットの例

行に依存しない番号（マッチング番号）= *β〜1〜=⌊[.fraction]＃ n / 2 ＃⌋α〜1〜＆plus; β〜1〜= n *

独立頂点セット

「G」=（V、E）をグラフにします。 「S」内の2つの頂点が隣接していない場合、「V」のサブセットは「G」の独立セットと呼ばれます。

例

独立頂点セットの例

上記のグラフから次のサブセットを考慮してください-

S1 = {e}
S2 = {e, f}
S3 = {a, g, c}
S4 = {e, d}

明らかに、S〜1〜は独立した頂点セットではありません。独立した頂点セットを取得するには、グラフから少なくとも2つの頂点が必要であるためです。 しかし、ここではそうではありません。 サブセットS〜2〜、S〜3〜、およびS〜4〜は、サブセットのいずれかの頂点に隣接する頂点がないため、独立した頂点セットです。

最大独立頂点セット

「G」をグラフとし、「G」の頂点を「S」に追加できない場合、「G」の独立した頂点セットは最大であると言われます。

例

最大独立頂点セットの例

上記のグラフの次のサブセットを検討してください。

S1 = {e}
S2 = {e, f}
S3 = {a, g, c}
S4 = {e, d}

S〜2〜およびS〜3〜は、「G」の最大独立頂点セットです。 S〜1〜およびS〜4〜では、他の頂点を追加できます。ただし、S〜2〜およびS〜3〜では、他の頂点を追加できません

最大独立頂点セット

最大数の頂点を持つ「G」の最大独立頂点セットは、最大独立頂点セットと呼ばれます。

例

最大独立頂点セットの例

上記のグラフから次のサブセットを考慮してください-

S1 = {e}
S2 = {e, f}
S3 = {a, g, c}
S4 = {e, d}

最大数の頂点をカバーするため、S〜3〜のみが最大独立頂点セットです。 「G」の最大独立頂点セット内の頂点の数は、Gの独立頂点数（β〜2〜）と呼ばれます。

例

For the complete graph Kn,
      Vertex covering number = α2 = n−1
      Vertex independent number = β2 = 1
You have α2 + β2 = n
In a complete graph, each vertex is adjacent to its remaining (n − 1) vertices. Therefore, a maximum independent set of Kn contains only one vertex.
Therefore,   β2=1
and          α2=|v| − β2 = n-1

注-任意のグラフ「G」=（V、E）

• α〜2〜＆plus; β〜2〜= | v |
• 「S」が「G」の独立した頂点セットである場合、（V – S）はGの頂点カバーです。