Graph-theory-coverings
グラフ理論-カバー
カバーグラフは、他のグラフに対応するすべての頂点またはすべてのエッジのいずれかを含むサブグラフです。 すべての頂点を含むサブグラフは、*ライン/エッジカバー*と呼ばれます。 すべてのエッジを含むサブグラフは、*頂点カバー*と呼ばれます。
回線カバー
G =（V、E）をグラフにします。 サブセットC（E）は、Gのすべての頂点がCの少なくとも1つのエッジに入射する場合、Gをカバーするラインと呼ばれます。
deg（V）≥1∀V∈G
各頂点は別の頂点とエッジで接続されているためです。 したがって、最小次数は1です。
例
次のグラフを見てください-
線をカバーするそのサブグラフは次のとおりです-
C1 = {{a, b}, {c, d}}
C2 = {{a, d}, {b, c}}
C3 = {{a, b}, {b, c}, {b, d}}
C4 = {{a, b}, {b, c}, {c, d}}「G」のラインカバーは、「G」に孤立した頂点がある場合にのみ存在します。 「n」個の頂点を持つグラフの線カバーには、少なくとも⌊[.fraction]＃ n / 2 ＃⌋エッジ。
最小限の回線カバー
グラフGのCを覆う線は、Cからエッジを削除できない場合*最小であると言われます。
例
上記のグラフでは、線をカバーするサブグラフは次のとおりです-
C1 = {{a, b}, {c, d}}
C2 = {{a, d}, {b, c}}
C3 = {{a, b}, {b, c}, {b, d}}
C4 = {{a, b}, {b, c}, {c, d}}ここでは、C〜1〜、C〜2〜、C〜3〜は最小限の行カバーですが、C〜4〜は\ {b、c}を削除できるためではありません。
最小回線カバー
また、 Smallest Minimal Line Covering としても知られています。 最小数のエッジでカバーする最小ラインは、「G」の最小ラインカバーと呼ばれます。 「G」でカバーする最小ライン内のエッジの数は、「G」（α〜1〜）の「*ラインカバーナンバー」と呼ばれます。
例
上記の例では、C〜1〜とC〜2〜はGとα〜1〜= 2の最小の線カバーです。
- すべての回線カバーには、最小限の回線カバーが含まれています。
- すべての回線カバーには最小回線カバーが含まれていません（C〜3〜には最小回線カバーは含まれていません。
- サイクルを含む最小限のラインカバーはありません。
- 「C」をカバーするラインに長さ3以上のパスが含まれていない場合、「C」はすべてのコンポーネントがスターグラフであり、スターグラフからは削除できないため、「C」は最小ラインカバーです。
頂点カバー
「G」=（V、E）をグラフにします。 VのサブセットKは、「G」のすべてのエッジが「K」の頂点に入射または覆われている場合、「G」の頂点カバーと呼ばれます。
例
次のグラフを見てください-
上記のグラフから派生できるサブグラフは次のとおりです-
K1 = {b, c}
K2 = {a, b, c}
K3 = {b, c, d}
K4 = {a, d}ここで、K〜1〜、K〜2〜、およびK〜3〜は頂点をカバーしていますが、K〜4〜はエッジ\ {bc}をカバーしていないため、頂点をカバーしていません。
最小限の頂点被覆
グラフ「G」の頂点「K」は、「K」から頂点を削除できない場合、最小の頂点をカバーすると言われます。
例
上記のグラフでは、頂点をカバーするサブグラフは次のとおりです-
K〜1〜= \ {b、c}
K〜2〜= \ {a、b、c}
K〜3〜= \ {b、c、d}
ここで、K〜1〜とK〜2〜は最小の頂点カバーですが、K〜3〜では頂点「d」を削除できます。
最小頂点被覆
また、最小の最小頂点被覆としても知られています。 最小数の頂点を持つグラフ「G」の最小頂点被覆は、最小頂点被覆と呼ばれます。
「G」の最小頂点カバー内の頂点の数は、Gの頂点カバー数（α〜2〜）と呼ばれます。
例
次のグラフでは、頂点をカバーしているサブグラフは次のとおりです-
K〜1〜= \ {b、c}
K〜2〜= \ {a、b、c}
K〜3〜= \ {b、c、d}
ここで、K〜1〜は、頂点が2つしかないため、Gの最小頂点カバーです。 α〜2〜= 2。
