Graph-theory-basic-properties
グラフ理論-基本特性
グラフには、構造に応じてグラフの特徴付けに使用されるさまざまなプロパティがあります。 これらの特性は、グラフ理論の領域に関連する特定の用語で定義されます。 この章では、すべてのグラフに共通するいくつかの基本的なプロパティについて説明します。
2つの頂点間の距離
これは、頂点Uと頂点Vの間の最短経路にあるエッジの数です。 2つの頂点を接続する複数のパスがある場合、最短パスは2つの頂点間の距離と見なされます。
表記-d（U、V）
1つの頂点から別の頂点までのパスはいくつでも存在できます。 その中で、最も短いものだけを選択する必要があります。
例
次のグラフを見てください-
ここで、頂点「d」から頂点「e」または単に「de」までの距離は、それらの間に1つのエッジがあるため1です。 頂点「d」から頂点「e」まで多くのパスがあります-
- da、ab、be
- df、fg、ge
- de（頂点間の距離と見なされます）
- df、fc、ca、ab、be
- da、ac、cf、fg、ge
頂点の偏心
頂点から他のすべての頂点までの最大距離は、頂点の離心率と見なされます。
表記-e（V）
グラフ内の特定の頂点から他のすべての頂点までの距離が取得され、これらの距離の中で、離心率が最も高い距離です。
例
上記のグラフでは、「a」の離心率は3です。
「a」から「b」までの距離は1（「ab」）です。
「a」から「c」は1（「ac」）、
「a」から「d」は1（「ad」）であり、
「a」から「e」は2（「ab」-「be」）または（「ad」-「de」）であり、
「a」から「f」は2（「ac」-「cf」）または（「ad」-「df」）であり、
「a」から「g」は3（「ac」-「cf」-「fg」）または（「ad」-「df」-「fg」）です。
したがって、離心率は3で、これは頂点「a」からの最大値であり、「ag」間の距離は最大です。
言い換えると、
e（b）= 3
e（c）= 3
e（d）= 2
e（e）= 3
e（f）= 3
e（g）= 3
接続グラフの半径
すべての頂点からの最小離心率は、グラフGの半径と見なされます。 頂点から他のすべての頂点までのすべての最大距離の最小値は、グラフGの半径と見なされます。
表記-r（G）
グラフ内の頂点のすべての離心率から、接続されたグラフの半径は、これらすべての離心率の最小値になります。
例-上記のグラフでは、r（G）= 2であり、これは「d」の最小離心率です。
グラフの直径
すべての頂点からの最大偏心は、グラフGの直径と見なされます。 頂点から他のすべての頂点までのすべての距離の最大値は、グラフGの直径と見なされます。
表記-d（G）
グラフ内の頂点のすべての離心率から、接続されたグラフの直径は、これらすべての離心率の最大値になります。
例-上記のグラフでは、d（G）= 3;これは最大の離心率です。
セントラルポイント
グラフの離心率がその半径に等しい場合、それはグラフの中心点として知られています。 If
e（V）= r（V）、
「V」はグラフ「G」の中心点です。
例-グラフの例では、「d」はグラフの中心点です。
e（d）= r（d）= 2
センター
「G」のすべての中心点のセットは、グラフの中心と呼ばれます。
例-グラフの例では、\ {’d’}はグラフの中心です。
円周
- 「G」の最長サイクルのエッジの数*は、「G」の円周と呼ばれます。
例-グラフの例では、円周は6です。これは、最長サイクルa-c-f-g-e-b-aまたはa-c-f-d-e-b-aから導き出したものです。
胴回り
「G」の最短サイクル内のエッジの数は、ガースと呼ばれます。
表記-g（G）。
例-例のグラフでは、グラフの周囲は4であり、これは最短サイクルa-c-f-d-aまたはd-f-g-e-dまたはa-b-e-d-aから導き出したものです。
頂点の定理の合計
G =（V、E）が頂点V = \ {V〜1〜、V〜2〜、…V〜n〜}の無向グラフである場合
[.intsuma]# n ∑ i=1 ＃deg（V〜i〜）= 2 | E |
結果1
G =（V、E）が頂点Vの有向グラフである場合、V = \ {V〜1〜、V〜2〜、…V〜n〜}
[.intsuma]# n ∑ i=1 ＃deg ^＆plus; ^（V〜i〜）= | E | = [.intsuma]# n ∑ i=1 ＃deg ^ − ^（V〜i〜）
帰結2
任意の無向グラフでは、奇数次の頂点の数は偶数です。
帰結3
無向グラフでは、各頂点の次数がkの場合、
k | V | = 2 | E |
結果4
無向グラフでは、各頂点の次数が少なくともkである場合、
k | V | ≤2 | E |
結果5
無向グラフでは、各頂点の次数が最大kである場合、
k | V | ≥2 | E |
