Fuzzy-logic-classical-set-theory
ファジーロジック-古典集合論
*set* は、さまざまな要素の順不同のコレクションです。 set括弧を使用して要素をリストすることにより、明示的に記述することができます。 要素の順序が変更されるか、セットの要素が繰り返される場合、セット内の変更は行われません。例
- すべての正の整数のセット。
- 太陽系内のすべての惑星のセット。
- インドのすべての州のセット。
- アルファベットのすべての小文字のセット。
セットの数学的表現
セットは2つの方法で表すことができます-
名簿または表形式
このフォームでは、セットは、それを構成するすべての要素をリストすることで表されます。 要素は中括弧で囲まれ、コンマで区切られます。
以下は、名簿または表形式のセットの例です-
- 英語のアルファベットの母音のセット、A = \ {a、e、i、o、u}
- 10未満の奇数のセット、B = \ {1,3,5,7,9}
ビルダー表記の設定
このフォームでは、セットの要素が共通に持つプロパティを指定することにより、セットが定義されます。 セットはA = \ {x：p（x）}として記述されます
- 例1 *-セット\ {a、e、i、o、u}は次のように記述されます。
A = \ {x：xは英語のアルファベットの母音です}
- 例2 *-セット\ {1,3,5,7,9}は次のように記述されます。
B = \ {x：1≤x <10および（x％2）≠0}
要素xが集合Sのメンバーである場合、それはx∈Sで示され、要素yが集合Sのメンバーでない場合、y∉Sで示されます。
例-S = \ {1,1.2,1.7,2}、1∈Sが1.5 1.5 Sの場合
セットのカーディナリティ
セットSのカーディナリティは、| S || S |で示され、セットの要素数です。 この番号は、基数とも呼ばれます。 セットの要素の数が無限である場合、そのカーディナリティは∞∞です。
例-| \ {1,4,3,5} | = 4、| \ {1,2,3,4,5、…} | =∞
XとYの2つのセットがある場合、_ | X | = | Y | _は、同じカーディナリティを持つ2つのセットXとYを示します。 Xの要素数がYの要素数と正確に等しい場合に発生します。 この場合、XからYまでの全単射関数「f」が存在します。
_ | X | ≤| Y | _は、セットXのカーディナリティがセットYのカーディナリティ以下であることを示します。 Xの要素数がYの要素数以下の場合に発生します。 ここには、XからYへの単射関数「f」が存在します。
_ | X | <| Y | _は、セットXのカーディナリティがセットYのカーディナリティより小さいことを示します。 Xの要素数がYの要素数より少ない場合に発生します。 ここで、XからYまでの関数「f」は単射関数ですが、全単射ではありません。
_ | X |の場合≤| Y | および | X | ≤| Y | その後 | X | = | Y | _。 セットXとYは、一般に*同等のセット*と呼ばれます。
セットの種類
セットは多くのタイプに分類できます。そのうちのいくつかは、有限、無限、サブセット、ユニバーサル、固有、シングルトンセットなどです。
有限集合
有限数の要素を含むセットは、有限セットと呼ばれます。
例-S = \ {x | x∈Nおよび70> x> 50}
無限集合
無限数の要素を含むセットは、無限セットと呼ばれます。
例-S = \ {x | x∈Nおよびx> 10}
サブセット
Xのすべての要素がセットYの要素である場合、セットXはセットYのサブセット（X⊆Yとして記述）です。
- 例1 *-X = \ {1,2,3,4,5,6}およびY = \ {1,2}とします。 ここで、セットYのすべての要素がセットXにあるため、セットYはセットXのサブセットです。 したがって、Y⊆Xと書くことができます。
- 例2 *-X = \ {1,2,3}およびY = \ {1,2,3}とします。 ここで、セットYのすべての要素はセットXにあるため、セットYはセットXのサブセット（適切なサブセットではありません）です。 したがって、Y⊆Xと書くことができます。
適切なサブセット
「適切なサブセット」という用語は、「サブセットではあるが等しくない」と定義できます。 Xのすべての要素がセットYの要素であり、| X |である場合、セットXはセットYの適切なサブセットです（X⊂Yとして記述）。 <| Y |。
例-Let、X = \ {1,2,3,4,5,6}およびY = \ {1,2}。 ここで、Y⊂Xを設定します。これは、Yのすべての要素がXにも含まれており、XにはセットYを超える要素が少なくとも1つあるためです。
ユニバーサルセット
これは、特定のコンテキストまたはアプリケーションのすべての要素のコレクションです。 そのコンテキストまたはアプリケーション内のすべてのセットは、本質的にこのユニバーサルセットのサブセットです。 ユニバーサルセットはUとして表されます。
例-地球上のすべての動物の集合としてUを定義することができます。 この場合、すべての哺乳類のセットはUのサブセットであり、すべての魚のセットはUのサブセットであり、すべての昆虫のセットはUのサブセットです。
空のセットまたはNullセット
空のセットには要素が含まれていません。 Φで示されます。 空のセットの要素の数は有限なので、空のセットは有限のセットです。 空のセットまたは空のセットのカーディナリティはゼロです。
例 – S = \ {x | x∈Nおよび7 <x <8} =Φ
シングルトンセットまたはユニットセット
シングルトンセットまたはユニットセットには、1つの要素のみが含まれます。 シングルトンセットは\ {s}で示されます。
例-S = \ {x | x∈N、7 <x <9} = \ {8}
等しいセット
2つのセットに同じ要素が含まれている場合、それらは等しいと言われます。
例-A = \ {1,2,6}およびB = \ {6,1,2}の場合、セットAのすべての要素はセットBの要素であり、セットBのすべての要素はセットAの要素
等価セット
2つのセットのカーディナリティが同じ場合、それらは同等のセットと呼ばれます。
例-A = \ {1,2,6}およびB = \ {16,17,22}の場合、AのカーディナリティはBのカーディナリティに等しいため、これらは同等です。 i.e. | A | = | B | = 3
重複セット
少なくとも1つの共通要素を持つ2つのセットは、重複セットと呼ばれます。 セットが重複している場合-
n \ left（A \ cup B \ right）= n \ left（A \ right）+ n \ left（B \ right）-n \ left（A \ cap B \ right）
n \ left（A \ cup B \ right）= n \ left（A-B \ right）+ n \ left（B-A \ right）+ n \ left（A \ cap B \ right）
n \ left（A \ right）= n \ left（A-B \ right）+ n \ left（A \ cap B \ right）
n \ left（B \ right）= n \ left（B-A \ right）+ n \ left（A \ cap B \ right）
例-Let、A = \ {1,2,6}およびB = \ {6,12,42}。 共通の要素「6」があるため、これらのセットは重複セットです。
素集合
2つのセットAとBが共通要素を1つも持たない場合、それらは互いに素なセットと呼ばれます。 したがって、ばらばらのセットには次のプロパティがあります-
n \ left（A \ cap B \ right）= \ phi
n \ left（A \ cup B \ right）= n \ left（A \ right）+ n \ left（B \ right）
例-Let、A = \ {1,2,6}およびB = \ {7,9,14}、単一の共通要素はないため、これらのセットは重複セットです。
古典集合の操作
集合演算には、集合和集合、集合交差点、集合差分、集合の補数、デカルト積が含まれます。
連合
セットAとBの和集合（A∪BA∪Bで表される）は、A、B、またはAとBの両方にある要素のセットです。 したがって、A∪B = \ {x | x∈A OR x∈B}。
例-A = \ {10,11,12,13}およびB = \ {13,14,15}の場合、A∪B = \ {10,11,12,13,14,15} –共通要素は1回だけ発生します。
交差点
セットAとBの交差点（A∩Bで示される）は、AとBの両方にある要素のセットです。 したがって、A∩B = \ {x | x∈A AND x∈B}。
差/相対補数
セットAとセットBのセットの違い（A–Bで示される）は、AのみにありBにはない要素のセットです。 したがって、A − B = \ {x | x∈A AND x∉B}。
例-A = \ {10,11,12,13}およびB = \ {13,14,15}の場合、（A-B）= \ {10,11,12}および（B-A） = \ {14,15}。 ここでは、（A − B）≠（B − A）を見ることができます
セットの補数
セットAの補数（A 'で示される）は、セットAにない要素のセットです。 したがって、A '= \ {x | x∉A}です。
より具体的には、A '=（U-A）ここで、Uはすべてのオブジェクトを含むユニバーサルセットです。
例-A = \ {x | xが整数のセットに属している場合} A ′= \ {y | yは奇数の整数のセットに属していない}
デカルト積/クロス積
A1×A2 …×Anとして示されるn個のセットA1、A2、…Anのデカルト積は、すべての可能な順序付きペア（x1、x2、…xn）として定義できます。ここで、x1∈A1、x2∈A2、… xn∈An
例-A = \ {a、b}とB = \ {1,2}の2つのセットを取る場合、
AとBのデカルト積は− A×B = \ {（a、1）、（a、2）、（b、1）、（b、2）}のように記述されます
また、BとAのデカルト積は− B×A = \ {（1、a）、（1、b）、（2、a）、（2、b）}のように記述されます。
古典的集合の性質
セットのプロパティは、ソリューションを取得するために重要な役割を果たします。 以下は、古典的なセットのさまざまな特性です-
可換性
2つのセット A と B を持っている、このプロパティは述べています-
A \ cup B = B \ cup A
A \ cap B = B \ cap A
連想プロパティ
3つのセット A 、 B および C を持っている、このプロパティは述べています-
A \ cup \ left（B \ cup C \ right）= \ left（A \ cup B \ right）\ cup C
A \ cap \ left（B \ cap C \ right）= \ left（A \ cap B \ right）\ cap C
分配財産
3つのセット A 、 B および C を持っている、このプロパティは述べています-
A \ cup \ left（B \ cap C \ right）= \ left（A \ cup B \ right）\ cap \ left（A \ cup C \ right）
A \ cap \ left（B \ cup C \ right）= \ left（A \ cap B \ right）\ cup \ left（A \ cap C \ right）
べき等性プロパティ
任意のセット A の場合、このプロパティの状態-
A \ cup A = A
A \ cap A = A
アイデンティティプロパティ
セット A およびユニバーサルセット X の場合、このプロパティの状態-
A \ cup \ varphi = A
A \ cap X = A
A \ cap \ varphi = \ varphi
A \ cup X = X
推移的特性
3つのセット A 、 B および C を持っている、プロパティの状態-
$ A \ subseteq B \ subseteq C $の場合、$ A \ subseteq C $
インボリューションプロパティ
任意のセット A の場合、このプロパティの状態-
\ overline \ {\ {\ overline \ {A}}} = A
ド・モーガンの法則
これは非常に重要な法律であり、トートロジーと矛盾を証明するのに役立ちます。 この法律は述べています-
\ overline \ {A \ cap B} = \ overline \ {A} \ cup \ overline \ {B}
\ overline \ {A \ cup B} = \ overline \ {A} \ cap \ overline \ {B}
