離散数学-セット

ドイツの数学者 G。 Cantor はセットの概念を導入しました。彼はセットを、特定のルールまたは説明によって選択された明確で区別可能なオブジェクトのコレクションとして定義していました。

セット*理論は、数え上げ理論、関係、グラフ理論、有限状態機械のような他のいくつかの研究分野の基礎を形成します。この章では、 *Set Theory のさまざまな側面について説明します。

セット-定義

セットは、さまざまな要素の順不同のコレクションです。セットは、セットブラケットを使用して要素をリストすることで明示的に記述できます。要素の順序が変更されるか、セットの要素が繰り返される場合、セット内の変更は行われません。

セットの例

すべての正の整数のセット
太陽系のすべての惑星のセット
インドのすべての州のセット
アルファベットのすべての小文字のセット

セットの表現

セットは2つの方法で表すことができます-

名簿または表形式
ビルダー表記の設定

名簿または表形式

セットは、それを構成するすべての要素をリストすることで表されます。要素は中括弧で囲まれ、コンマで区切られます。

例1 *-英語のアルファベットの母音のセット、$ A = \ lbrace a、e、i、o、u \ rbrace $

例2 *-10未満の奇数のセット、$ B = \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $

ビルダー表記の設定

セットは、セットの要素に共通のプロパティを指定することで定義されます。セットは$ A = \ lbrace xとして記述されます：p（x）\ rbrace $

例1 *-セット$ \ lbrace a、e、i、o、u \ rbrace $は次のように記述されます-

$ A = \ lbrace x：\ text \ {xは英語のアルファベットの母音} \ rbrace $

例2 *-セット$ \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $は次のように記述されます-

$ B = \ lbrace x：1 \ le x \ lt 10 \ and \（x \％2）\ ne 0 \ rbrace $

要素xが集合Sのメンバーである場合、それは$ x \ in S $で示され、要素yが集合Sのメンバーでない場合、それは$ y \ notin S $で示されます。

例-$ S = \ lbrace1、1.2、1.7、2 \ rbraceの場合、1 \ S $で$ 1.5 \ notin S $

いくつかの重要なセット

*N* -すべての自然数のセット= $ \ lbrace1、2、3、4、..... \ rbrace $

*Z* -すべての整数のセット= $ \ lbrace .....、-3、-2、-1、0、1、2、3、..... \ rbrace $

*Z ^ [。small]＃＆plus;＃^* -すべての正の整数のセット

*Q* -すべての有理数のセット

*R* -すべての実数のセット

*W* -すべての整数のセット

セットのカーディナリティ

$ | S | $で表されるセットSの基数は、セットの要素の数です。この番号は、基数とも呼ばれます。セットに無限の数の要素がある場合、そのカーディナリティは$ \ infty $です。

例-$ | \ lbrace 1、4、3、5 \ rbrace | = 4、| \ lbrace 1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace | = \ infty $

XとYの2つのセットがある場合、

$ | X | = | Y | $は、同じカーディナリティを持つ2つのセットXとYを示します。 Xの要素数がYの要素数と正確に等しい場合に発生します。この場合、XからYまでの全単射関数「f」が存在します。
$ | X | \ le | Y | $は、セットXのカーディナリティがセットYのカーディナリティ以下であることを示します。 Xの要素数がYの要素数以下の場合に発生します。ここには、XからYへの単射関数「f」が存在します。
$ | X | \ lt | Y | $は、セットXのカーディナリティがセットYのカーディナリティより小さいことを示します。 Xの要素数がYの要素数より少ない場合に発生します。ここで、XからYまでの関数「f」は単射関数ですが、全単射ではありません。
$ If \ | X | \ le | Y | $および$ | X | \ ge | Y | $次に$ | X | = | Y | $。セットXとYは、一般に同等のセットと呼ばれます。

セットの種類

セットは多くのタイプに分類できます。そのうちのいくつかは、有限、無限、サブセット、ユニバーサル、固有、シングルトンセットなどです。

有限集合

有限数の要素を含むセットは、有限セットと呼ばれます。

例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ N $および$ 70 \ gt x \ gt 50 \ rbrace $

無限集合

無限数の要素を含むセットは、無限セットと呼ばれます。

例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ in N $および$ x \ gt 10 \ rbrace $

サブセット

Xのすべての要素がセットYの要素である場合、セットXはセットYのサブセット（$ X \ subseteq Y $として記述）です。

例1 *-$ X = \ lbrace 1、2、3、4、5、6 \ rbrace $および$ Y = \ lbrace 1、2 \ rbrace $とします。ここで、セットYのすべての要素がセットXにあるため、セットYはセットXのサブセットです。したがって、$ Y \ subseteq X $と書くことができます。

例2 *-Let、$ X = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $および$ Y = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $。ここで、セットYのすべての要素はセットXにあるため、セットYはセットXのサブセット（適切なサブセットではありません）です。したがって、$ Y \ subseteq X $と書くことができます。

適切なサブセット

「適切なサブセット」という用語は、「サブセットではあるが等しくない」と定義できます。 Xのすべての要素がセットYおよび$ | X |の要素である場合、セットXはセットYの適切なサブセットです（$ X \ subset Y $として記述）。 \ lt | Y | $。

例-Let、$ X = \ lbrace 1、2、3、4、5、6 \ rbrace $ and $ Y = \ lbrace 1、2 \ rbrace $ ここでは、$ Y $のすべての要素も$ X $に含まれており、$ X $には少なくとも1つの要素が設定されているため、$ Y \ subset X $を設定します。

ユニバーサルセット

これは、特定のコンテキストまたはアプリケーションのすべての要素のコレクションです。そのコンテキストまたはアプリケーション内のすべてのセットは、本質的にこのユニバーサルセットのサブセットです。ユニバーサルセットは$ U $として表されます。

例-地球上のすべての動物のセットとして$ U $を定義できます。この場合、すべての哺乳類のセットは$ U $のサブセット、すべての魚のセットは$ U $のサブセット、すべての昆虫のセットは$ U $のサブセットなどです。

空のセットまたはNullセット

空のセットには要素が含まれていません。 $ \ emptyset $で示されます。空のセットの要素の数は有限なので、空のセットは有限のセットです。空のセットまたは空のセットのカーディナリティはゼロです。

例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ in N $および$ 7 \ lt x \ lt 8 \ rbrace = \ emptyset $

シングルトンセットまたはユニットセット

シングルトンセットまたはユニットセットに含まれる要素は1つだけです。シングルトンセットは、$ \ lbrace s \ rbrace $で示されます。

例-$ S = \ lbrace x \：| \：x \ in N、\ 7 \ lt x \ lt 9 \ rbrace $ = $ \ lbrace 8 \ rbrace $

等しいセット

2つのセットに同じ要素が含まれている場合、それらは等しいと言われます。

例-$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 6、1、2 \ rbrace $の場合、セットAのすべての要素はセットBの要素であり、セットBの要素は、セットAの要素です。

等価セット

2つのセットのカーディナリティが同じ場合、それらは同等のセットと呼ばれます。

例-$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 16、17、22 \ rbrace $の場合、AのカーディナリティはBのカーディナリティと等しいため、同等です。 i.e. $ | A | = | B | = 3 $

重複セット

少なくとも1つの共通要素を持つ2つのセットは、重複セットと呼ばれます。

セットが重複している場合-

$ n（A \ cup B）= n（A）+ n（B）-n（A \ cap B）$
$ n（A \ cup B）= n（A-B）+ n（B-A）+ n（A \ cap B）$
$ n（A）= n（A-B）+ n（A \ cap B）$
$ n（B）= n（B-A）+ n（A \ cap B）$

例-Let、$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 6、12、42 \ rbrace $。共通の要素「6」があるため、これらのセットは重複セットです。

素集合

2つのセットAとBが共通要素を1つも持たない場合、それらは互いに素なセットと呼ばれます。したがって、ばらばらのセットには次のプロパティがあります-

$ n（A \ cap B）= \ emptyset $
$ n（A \ cup B）= n（A）+ n（B）$

例-Let、$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 7、9、14 \ rbrace $、単一の共通要素はないため、これらのセットは重複セットです。

ベン図

ジョンベンが1880年に発明したベン図は、さまざまな数学セット間のすべての可能な論理関係を示す概略図です。

例

ベン図

セット操作

集合演算には、集合和集合、集合交差点、集合差分、集合の補数、デカルト積が含まれます。

ユニオンを設定

セットAとBの和集合（$ A \ cup B $で示される）は、A、B、またはAとBの両方にある要素のセットです。したがって、$ A \ cup B = \ lbrace x \：| \：x \ in A \ OR \ x \ in B \ rbrace $。

例-$ A = \ lbrace 10、11、12、13 \ rbrace $およびB = $ \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $の場合、$ A \ cup B = \ lbrace 10、11、12、 13、14、15 \ rbrace $。（共通要素は1回だけ発生します）

Set Union

交差点を設定

セットAとBの交差点（$ A \ cap B $で示される）は、AとBの両方にある要素のセットです。したがって、$ A \ cap B = \ lbrace x \：| \：x \ in A \ AND \ x \ in B \ rbrace $。

例-$ A = \ lbrace 11、12、13 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $の場合、$ A \ cap B = \ lbrace 13 \ rbrace $。

交差点の設定

差/相対補数の設定

セットAとセットBのセットの違い（$ A – B $で示される）は、AにのみありBにはない要素のセットです。したがって、$ A-B = \ lbrace x \：| \：x \ in A \ AND \ x \ notin B \ rbrace $。

例-$ A = \ lbrace 10、11、12、13 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $の場合、$（A-B）= \ lbrace 10、11、12 \ rbrace $および$（B-A）= \ lbrace 14、15 \ rbrace $。ここでは、$（A-B）\ ne（B-A）$を見ることができます

差を設定

セットの補数

セットAの補集合（$ A ’$と表示）は、セットAにない要素のセットです。したがって、$ A '= \ lbrace x | x \ notin A \ rbrace $。

より具体的には、$ A '=（U-A）$で、$ U $はすべてのオブジェクトを含むユニバーサルセットです。

例-$ A = \ lbrace x \：|の場合\：x \ \：\ {belongs \：to \：set \：of \：odd \：integers} \ rbrace $ then $ A '= \ lbrace y \：| \：y \ \：\ {does \：not \：belongs \：to \：set \：of \：odd \：integers} \ rbrace $

補集合

デカルト積/クロス積

n個のセット$ A_1、A_2、\ dots A_n $のデカルト積は、$ A_1 \ times A_2 \ dots \ times A_n $として示され、すべての可能な順序付きペアとして定義できます$（x_1、x_2、\ dots x_n）$ $ x_1 \ in A_1、x_2 \ in A_2、\ dots x_n \ in A_n $

例-2つのセット$ A = \ lbrace a、b \ rbrace $および$ B = \ lbrace 1、2 \ rbrace $を取得した場合、

AとBのデカルト積は、次のように記述されます-$ A \ times B = \ lbrace（a、1）、（a、2）、（b、1）、（b、2）\ rbrace $

BとAのデカルト積は次のように記述されます-$ B \ times A = \ lbrace（1、a）、（1、b）、（2、a）、（2、b）\ rbrace $

パワーセット

セットSのべき集合は、空のセットを含むSのすべてのサブセットのセットです。カーディナリティnのセットSのパワーセットのカーディナリティは$ 2 ^ n $です。パワーセットは、$ P（S）$として示されます。

例-

セット$ S = \ lbrace a、b、c、d \ rbrace $の場合、サブセットを計算します-

0個の要素を持つサブセット-$ \ lbrace \ emptyset \ rbrace $（空のセット）
1要素のサブセット-$ \ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b \ rbrace、\ lbrace c \ rbrace、\ lbrace d \ rbrace $
2つの要素を持つサブセット-$ \ lbrace a、b \ rbrace、\ lbrace a、c \ rbrace、\ lbrace a、d \ rbrace、\ lbrace b、c \ rbrace、\ lbrace b、d \ rbrace、\ lbrace c、 d \ rbrace $
3つの要素を持つサブセット-$ \ lbrace a、b、c \ rbrace、\ lbrace a、b、d \ rbrace、\ lbrace a、c、d \ rbrace、\ lbrace b、c、d \ rbrace $
4つの要素を持つサブセット-$ \ lbrace a、b、c、d \ rbrace $

したがって、$ P（S）= $

$ \ lbrace \ quad \ lbrace \ emptyset \ rbrace、\ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b \ rbrace、\ lbrace c \ rbrace、\ lbrace d \ rbrace、\ lbrace a、b \ rbrace、\ lbrace a、c \ rbrace、\ lbrace a、d \ rbrace、\ lbrace b、c \ rbrace、\ lbrace b、d \ rbrace、\ lbrace c、d \ rbrace、\ lbrace a、b、c \ rbrace、\ lbrace a、b、 d \ rbrace、\ lbrace a、c、d \ rbrace、\ lbrace b、c、d \ rbrace、\ lbrace a、b、c、d \ rbrace \ quad \ rbrace $

$ | P（S）| = 2 ^ 4 = 16 $

注意-空集合のべき集合も空集合です。

$ | P（\ lbrace \ emptyset \ rbrace）| = 2 ^ 0 = 1 $

セットの分割

セットのパーティション、たとえば_S_は、次の3つの条件を満たす_n_互いに素なサブセットのコレクション、たとえば$ P_1、P_2、\ dots P_n $です-

$ P_i $には空のセットは含まれません。 + $ \ lbrack P_i \ ne \ lbrace \ emptyset \ rbrace \ for \ all \ 0 \ lt i \ le n \ rbrack $
サブセットの結合は、元のセット全体と等しくなければなりません。 + $ \ lbrack P_1 \ cup P_2 \ cup \ dots \ cup P_n = S \ rbrack $
2つの異なるセットの共通部分は空です。 + $ \ lbrack P_a \ cap P_b = \ lbrace \ emptyset \ rbrace、\ for \ a \ ne b \ where \ n \ ge a、\：b \ ge 0 \ rbrack $

例

$ S = \ lbrace a、b、c、d、e、f、g、h \ rbrace $とする

考えられるパーティションの1つは、$ \ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b、c、d \ rbrace、\ lbrace e、f、g、h \ rbrace $です。

別の可能性のあるパーティション分割は、$ \ lbrace a、b \ rbrace、\ lbrace c、d \ rbrace、\ lbrace e、f、g、h \ rbrace $です。

ベル番号

ベル番号は、セットを分割する方法の数をカウントします。これらは$ B_n $で示されます。nはセットのカーディナリティです。

例-

$ S = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $、$ n = | S |とする= 3 $

代替パーティションは-

{空} 1 $ \ emptyset、\ lbrace 1、2、3 \ rbrace $

{空} 2。 $ \ lbrace 1 \ rbrace、\ lbrace 2、3 \ rbrace $

{空} 3。 $ \ lbrace 1、2 \ rbrace、\ lbrace 3 \ rbrace $

{空} 4。 $ \ lbrace 1、3 \ rbrace、\ lbrace 2 \ rbrace $

{空} 5。 $ \ lbrace 1 \ rbrace、\ lbrace 2 \ rbrace、\ lbrace 3 \ rbrace $

したがって、$ B_3 = 5 $

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