離散数学-推論のルール

真実がすでにわかっているステートメントから新しいステートメントを推測するために、 Rules of Inference が使用されます。

推論規則とは何ですか？

数学的な論理は、論理的な証明によく使用されます。証明は、数学的ステートメントの真理値を決定する有効な引数です。

引数は一連のステートメントです。最後のステートメントは結論であり、その前のすべてのステートメントは前提（または仮説）と呼ばれます。記号「$ \ therefore $」（したがって読みます）は結論の前に置かれます。有効な引数は、前提が前提の真理値から得られるものです。

推論規則は、すでにあるステートメントから有効な引数を構築するためのテンプレートまたはガイドラインを提供します。

推論規則の表

Rule of Inference	Name	Rule of Inference	Name
\begin\{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end\{matrix}	Addition	\begin\{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end\{matrix}	Disjunctive Syllogism
\begin\{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q \end\{matrix}	Conjunction	\begin\{matrix} P \rightarrow Q \\ Q \rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R \end\{matrix}	Hypothetical Syllogism
\begin\{matrix} P \land Q\\ \hline \therefore P \end\{matrix}	Simplification	\begin\{matrix} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end\{matrix}	Constructive Dilemma
\begin\{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end\{matrix}	Modus Ponens	\begin\{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end\{matrix}	Destructive Dilemma
\begin\{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end\{matrix}	Modus Tollens

添加

Pが前提である場合、加算規則を使用して$ P \またはQ $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \\ \ hline \ theforefore P \ lor Q \ end \ {matrix}

例

Pを命題とすると、「彼は一生懸命勉強します」

したがって-「彼は非常に一生懸命勉強するか、彼は非常に悪い学生です。」ここでQは「彼は非常に悪い学生です」という命題です。

接続詞

PとQが2つの前提である場合、接続規則を使用して$ P \ land Q $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ theforefore P \ land Q \ end \ {matrix}

例

P-「彼は一生懸命勉強します」

Q-「彼はクラスで最高の男の子です」

したがって-「彼は非常に一生懸命勉強し、クラスで最高の男の子です」

単純化

$ P \ land Q $が前提である場合、単純化規則を使用してPを導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ theforefore P \ end \ {matrix}

例

「彼は一生懸命勉強し、クラスで最高の男の子です」、$ P \ land Q $

したがって-「彼は非常に一生懸命勉強します」

Modus Ponens

Pと$ P \ rightarrow Q $が2つの前提である場合、Modus Ponensを使用してQを導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ theforefore Q \ end \ {matrix}

例

「パスワードがあれば、facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $

「パスワードがあります」、P

したがって-「Facebookにログオンできます」

モーダス・トレンス

$ P \ rightarrow Q $と$ \ lnot Q $が2つの前提である場合、Modus Tollensを使用して$ \ lnot P $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ theforefore \ lnot P \ end \ {matrix}

例

「パスワードがあれば、facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $

「Facebookにログオンできません」、$ \ lQ $ではありません

したがって-「あなたはパスワードを持っていません」

選言三段論法

$ \ lnot P $と$ P \またはQ $が2つの前提である場合、選言三段論法を使用してQを導出できます。

\ begin \ {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ theforefore Q \ end \ {matrix}

例

「アイスクリームはバニラ風味ではありません」、$ \ lnot P $

「アイスクリームはバニラ味またはチョコレート味です」、$ P \またはQ $

したがって-「アイスクリームはチョコレート風味です」

仮説的三段論法

$ P \ rightarrow Q $と$ Q \ rightarrow R $が2つの前提である場合、仮説的三段論法を使用して$ P \ rightarrow R $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ theforefore P \ rightarrow R \ end \ {matrix}

例

「雨が降ったら、学校に行かない」、$ P \ rightarrow Q $

「学校に行かなければ、宿題をする必要はない」、$ Q \ rightarrow R $

したがって-「雨が降った場合、宿題をする必要はありません」

建設的ジレンマ

$（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）$と$ P \ lor R $が2つの前提である場合、建設的なジレンマを使用して$ Q \ lor S $を導出できます。

\ begin \ {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ P \ lor R \\ \ hline \ theforefore Q \ lor S \ end \ {matrix}

例

「雨が降ったら、休暇を取る」、$（P \ rightarrow Q）$

「外が暑い場合はシャワーを浴びます」、$（R \ rightarrow S）$

「雨が降るか、外が暑い」、$ P \またはR $

したがって-「休暇を取るか、シャワーを浴びます」

破壊的ジレンマ

$（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）$と$ \ lnot Q \ lor \ lnot S $が2つの前提である場合、破壊的ジレンマを使用して$ \ lnot P \ lor \ lnot R $を導出できます。

\ begin \ {matrix}（P \ rightarrow Q）\ land（R \ rightarrow S）\\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ thefore \ lnot P \ lor \ lnot R \ end \ {行列}

例