Discrete-mathematics-relations
離散数学-関係
セットが議論されているときはいつでも、セットの要素間の関係が次に現れるものです。 *関係*は、同じセットのオブジェクト間、または2つ以上のセットのオブジェクト間に存在する場合があります。
定義とプロパティ
セットxからyへのバイナリ関係R（$ xRy $または$ R（x、y）$として記述）は、デカルト積$ x \ times y $のサブセットです。 Gの順序付けられたペアが逆になると、関係も変わります。
通常、セット$ A_1、\ dots、\、\ A_n $間のn項関係Rは、n項積$ A_1 \ times \ dots \ times A_n $のサブセットです。 この場合、関係Rの最小カーディナリティはゼロで、最大は$ n ^ 2 $です。
単一のセットAのバイナリ関係Rは、$ A \ times A $のサブセットです。
カーディナリティ_m_および_n_をそれぞれ持つ2つの異なるセットAおよびBの場合、AからBへの関係Rの最大カーディナリティは_mn_です。
ドメインと範囲
2つのセットAとBがあり、関係Rに順序ペア（x、y）がある場合、-
- Rの domain Dom（R）は、セット$ \ lbrace x \：|です。 \：（x、y）\ in R \：for \：some \：y \：in \：B \ rbrace $
- Rの*範囲* Ran（R）は、セット$ \ lbrace y \：| \：（x、y）\ in R \：for \：some \：x \：in \：A \ rbrace $
例
みましょう、$ A = \ lbrace 1、2、9 \ rbrace $ and $ B = \ lbrace 1、3、7 \ rbrace $
- ケース1-リレーションRが「等しい」場合、$ R = \ lbrace（1、1）、（3、3）\ rbrace $ + Dom（R）= $ \ lbrace 1、3 \ rbrace、Ran（R）= \ lbrace 1、3 \ rbrace $
- ケース2-リレーションRが「より小さい」場合、$ R = \ lbrace（1、3）、（1、7）、（2、3）、（2、7）\ rbrace $ + Dom（R）= $ \ lbrace 1、2 \ rbrace、Ran（R）= \ lbrace 3、7 \ rbrace $
- ケース3-リレーションRが「より大きい」場合、$ R = \ lbrace（2、1）、（9、1）、（9、3）、（9、7）\ rbrace $ + Dom（R）= $ \ lbrace 2、9 \ rbrace、Ran（R）= \ lbrace 1、3、7 \ rbrace $
グラフを使用した関係の表現
関係は、有向グラフを使用して表すことができます。
グラフ内の頂点の数は、リレーションが定義されているセット内の要素の数に等しくなります。 リレーションRの各順序ペア（x、y）には、頂点「x」から頂点「y」への有向エッジがあります。 順序付けられたペア（x、x）がある場合、頂点「x」でセルフループが発生します。
リレーション$ R = \ lbrace（1、1）、（1,2）、（3、2）\ rbrace $がセット$ S = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $にあるとします。次のグラフで表されます-
関係の種類
- セットXとYの間、またはE上の*空の関係*は、空のセット$ \ emptyset $です。
- セットXとYの間の*完全な関係*は、セット$ X \ times Y $です
- セットXの Identity Relation は、セット$ \ lbrace（x、x）です。 x \ in X \ rbrace $ 関係Rの逆関係R 'は、次のように定義されます-$ R' = \ lbrace（b、a）| （a、b）\ in R \ rbrace $ + 例*-$ R = \ lbrace（1、2）、（2、3）\ rbrace $の場合、$ R '$は$ \ lbrace（2、1）、（3、2）\ rbrace $になります
- セットAのリレーションRは、$ \ forall a \ in A $がa（aRaが保持する）に関連している場合、 Reflexive と呼ばれます。 + 例-リレーション$ R = \ lbrace（a、a）、（b、b）\ rbrace $ on set $ X = \ lbrace a、b \ rbrace $は再帰的です。
- セットAのリレーションRは、aに関連する$ a \ in A $がない場合（* aRreは保持されません） Irreflexive と呼ばれます。 + 例-リレーション$ R = \ lbrace（a、b）、（b、a）\ rbrace $ on set $ X = \ lbrace a、b \ rbrace $は非再帰的です。
- $ xRy $が$ yRx $、$ \ forall x \ in A $、および$ \ forall y \ in A $を意味する場合、セットAの関係Rは*対称*と呼ばれます。 + 例-リレーション$ R = \ lbrace（1、2）、（2、1）、（3、2）、（2、3）\ rbrace $ on set $ A = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $は対称です。
- セットAの関係Rは、$ xRy $と$ yRx $が$ x = yを意味する場合、 Anti-Symmetric と呼ばれます。\：\ forall x \ in A $および$ \ forall y \ in A $。 + 例-$ R = \ lbrace（x、y）\ to N | \：x \ leq y \ rbrace $は、$ x \ leq y $および$ y \ leq x $が含意するため、非対称です。 x = y $。
- $ xRy $と$ yRz $が$ xRz、\ forall x、y、z \ in A $を意味する場合、セットAの関係Rは*推移的*と呼ばれます。 + 例-関係$ R = \ lbrace（1、2）、（2、3）、（1、3）セット$ A = \ lbrace 1、2、3の\ rbrace $は推移的です。
- 関係が再帰的、対称的、推移的である場合、関係は*等価関係*です。 + 例-リレーション$ R = \ lbrace（1、1）、（2、2）、（3、3）、（1、2）、（2,1）、（2,3）、（3 、2）、（1,3）、（3,1）セット$ A = \ lbrace 1、2、3の\ rbrace $は、再帰的、対称的、推移的であるため、同値関係です。
