Discrete-mathematics-quick-guide

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離散数学-はじめに

数学は大きく2つのカテゴリに分類することができます-

  • 連続数学-それは連続した数直線または実数に基づいています。 これは、任意の2つの数字の間に、ほぼ常に無限の数字のセットがあるという事実によって特徴付けられます。 たとえば、連続数学の関数は、切れ目なく滑らかな曲線でプロットできます。
  • 離散数学-個別の値が含まれます。つまり 任意の2つのポイントの間には、カウント可能な数のポイントがあります。 たとえば、オブジェクトの有限セットがある場合、関数はこれらのオブジェクトを持つ順序付きペアのリストとして定義でき、それらのペアの完全なリストとして提示できます。

離散数学のトピック

離散数学の枝の明確な数があることはできませんが、次のトピックは、この問題に関する研究でほとんど常にカバーされています-

  • セット、関係、関数
  • 数理論理学
  • 群論
  • 計数理論
  • 確率
  • 数学的帰納と再発の関係
  • グラフ理論
  • ブール代数

これらの各概念については、このチュートリアルの後続の章で説明します。

離散数学-セット

ドイツの数学者 G。 Cantor はセットの概念を導入しました。 彼はセットを、特定のルールまたは説明によって選択された明確で区別可能なオブジェクトのコレクションとして定義していました。

セット*理論は、数え上げ理論、関係、グラフ理論、有限状態機械のような他のいくつかの研究分野の基礎を形成します。 この章では、 *Set Theory のさまざまな側面について説明します。

セット-定義

セットは、さまざまな要素の順不同のコレクションです。 セットは、セットブラケットを使用して要素をリストすることで明示的に記述できます。 要素の順序が変更されるか、セットの要素が繰り返される場合、セット内の変更は行われません。

セットの例

  • すべての正の整数のセット
  • 太陽系のすべての惑星のセット
  • インドのすべての州のセット
  • アルファベットのすべての小文字のセット

セットの表現

セットは2つの方法で表すことができます-

  • 名簿または表形式
  • ビルダー表記の設定

名簿または表形式

セットは、それを構成するすべての要素をリストすることで表されます。 要素は中括弧で囲まれ、コンマで区切られます。

  • 例1 *-英語のアルファベットの母音のセット、$ A = \ lbrace a、e、i、o、u \ rbrace $
  • 例2 *-10未満の奇数のセット、$ B = \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $

ビルダー表記の設定

セットは、セットの要素に共通のプロパティを指定することで定義されます。 セットは$ A = \ lbrace xとして記述されます:p(x)\ rbrace $

  • 例1 *-セット$ \ lbrace a、e、i、o、u \ rbrace $は次のように記述されます-

$ A = \ lbrace x:\ text \ {xは英語のアルファベットの母音} \ rbrace $

  • 例2 *-セット$ \ lbrace 1,3,5,7,9 \ rbrace $は次のように記述されます-

$ B = \ lbrace x:1 \ le x \ lt 10 \ and \(x \%2)\ ne 0 \ rbrace $

要素xが集合Sのメンバーである場合、それは$ x \ in S $で示され、要素yが集合Sのメンバーでない場合、それは$ y \ notin S $で示されます。

-$ S = \ lbrace1、1.2、1.7、2 \ rbraceの場合、1 \ S $で$ 1.5 \ notin S $

いくつかの重要なセット

*N* -すべての自然数のセット= $ \ lbrace1、2、3、4、..... \ rbrace $
*Z* -すべての整数のセット= $ \ lbrace .....、-3、-2、-1、0、1、2、3、..... \ rbrace $
*Z ^ [。small]#+#^* -すべての正の整数のセット
*Q* -すべての有理数のセット
*R* -すべての実数のセット
*W* -すべての整数のセット

セットのカーディナリティ

$ | S | $で表されるセットSの基数は、セットの要素の数です。 この番号は、基数とも呼ばれます。 セットに無限の数の要素がある場合、そのカーディナリティは$ \ infty $です。

-$ | \ lbrace 1、4、3、5 \ rbrace | = 4、| \ lbrace 1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace | = \ infty $

XとYの2つのセットがある場合、

  • $ | X | = | Y | $は、同じカーディナリティを持つ2つのセットXとYを示します。 Xの要素数がYの要素数と正確に等しい場合に発生します。 この場合、XからYまでの全単射関数「f」が存在します。
  • $ | X | \ le | Y | $は、セットXのカーディナリティがセットYのカーディナリティ以下であることを示します。 Xの要素数がYの要素数以下の場合に発生します。 ここには、XからYへの単射関数「f」が存在します。
  • $ | X | \ lt | Y | $は、セットXのカーディナリティがセットYのカーディナリティより小さいことを示します。 Xの要素数がYの要素数より少ない場合に発生します。 ここで、XからYまでの関数「f」は単射関数ですが、全単射ではありません。
  • $ If \ | X | \ le | Y | $および$ | X | \ ge | Y | $次に$ | X | = | Y | $。 セットXとYは、一般に同等のセットと呼ばれます。

セットの種類

セットは多くのタイプに分類できます。 そのうちのいくつかは、有限、無限、サブセット、ユニバーサル、固有、シングルトンセットなどです。

有限集合

有限数の要素を含むセットは、有限セットと呼ばれます。

-$ S = \ lbrace x \:| \:x \ N $および$ 70 \ gt x \ gt 50 \ rbrace $

無限集合

無限数の要素を含むセットは、無限セットと呼ばれます。

-$ S = \ lbrace x \:| \:x \ in N $および$ x \ gt 10 \ rbrace $

サブセット

Xのすべての要素がセットYの要素である場合、セットXはセットYのサブセット($ X \ subseteq Y $として記述)です。

  • 例1 *-$ X = \ lbrace 1、2、3、4、5、6 \ rbrace $および$ Y = \ lbrace 1、2 \ rbrace $とします。 ここで、セットYのすべての要素がセットXにあるため、セットYはセットXのサブセットです。 したがって、$ Y \ subseteq X $と書くことができます。
  • 例2 *-Let、$ X = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $および$ Y = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $。 ここで、セットYのすべての要素はセットXにあるため、セットYはセットXのサブセット(適切なサブセットではありません)です。 したがって、$ Y \ subseteq X $と書くことができます。

適切なサブセット

「適切なサブセット」という用語は、「サブセットではあるが等しくない」と定義できます。 Xのすべての要素がセットYおよび$ | X |の要素である場合、セットXはセットYの適切なサブセットです($ X \ subset Y $として記述)。 \ lt | Y | $。

-Let、$ X = \ lbrace 1、2、3、4、5、6 \ rbrace $ and $ Y = \ lbrace 1、2 \ rbrace $ ここでは、$ Y $のすべての要素も$ X $に含まれており、$ X $には少なくとも1つの要素が設定されているため、$ Y \ subset X $を設定します。

ユニバーサルセット

これは、特定のコンテキストまたはアプリケーションのすべての要素のコレクションです。 そのコンテキストまたはアプリケーション内のすべてのセットは、本質的にこのユニバーサルセットのサブセットです。 ユニバーサルセットは$ U $として表されます。

-地球上のすべての動物のセットとして$ U $を定義できます。 この場合、すべての哺乳類のセットは$ U $のサブセット、すべての魚のセットは$ U $のサブセット、すべての昆虫のセットは$ U $のサブセットなどです。

空のセットまたはNullセット

空のセットには要素が含まれていません。 $ \ emptyset $で示されます。 空のセットの要素の数は有限なので、空のセットは有限のセットです。 空のセットまたは空のセットのカーディナリティはゼロです。

-$ S = \ lbrace x \:| \:x \ in N $および$ 7 \ lt x \ lt 8 \ rbrace = \ emptyset $

シングルトンセットまたはユニットセット

シングルトンセットまたはユニットセットに含まれる要素は1つだけです。 シングルトンセットは、$ \ lbrace s \ rbrace $で示されます。

-$ S = \ lbrace x \:| \:x \ in N、\ 7 \ lt x \ lt 9 \ rbrace $ = $ \ lbrace 8 \ rbrace $

等しいセット

2つのセットに同じ要素が含まれている場合、それらは等しいと言われます。

-$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 6、1、2 \ rbrace $の場合、セットAのすべての要素はセットBの要素であり、セットBの要素は、セットAの要素です。

等価セット

2つのセットのカーディナリティが同じ場合、それらは同等のセットと呼ばれます。

-$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 16、17、22 \ rbrace $の場合、AのカーディナリティはBのカーディナリティと等しいため、同等です。 i.e. $ | A | = | B | = 3 $

重複セット

少なくとも1つの共通要素を持つ2つのセットは、重複セットと呼ばれます。

セットが重複している場合-

  • $ n(A \ cup B)= n(A)+ n(B)-n(A \ cap B)$
  • $ n(A \ cup B)= n(A-B)+ n(B-A)+ n(A \ cap B)$
  • $ n(A)= n(A-B)+ n(A \ cap B)$
  • $ n(B)= n(B-A)+ n(A \ cap B)$

-Let、$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 6、12、42 \ rbrace $。 共通の要素「6」があるため、これらのセットは重複セットです。

素集合

2つのセットAとBが共通要素を1つも持たない場合、それらは互いに素なセットと呼ばれます。 したがって、ばらばらのセットには次のプロパティがあります-

  • $ n(A \ cap B)= \ emptyset $
  • $ n(A \ cup B)= n(A)+ n(B)$

-Let、$ A = \ lbrace 1、2、6 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 7、9、14 \ rbrace $、単一の共通要素はないため、これらのセットは重複セットです。

ベン図

ジョンベンが1880年に発明したベン図は、さまざまな数学セット間のすべての可能な論理関係を示す概略図です。

ベン図

セット操作

集合演算には、集合和集合、集合交差点、集合差分、集合の補数、デカルト積が含まれます。

ユニオンを設定

セットAとBの和集合($ A \ cup B $で示される)は、A、B、またはAとBの両方にある要素のセットです。 したがって、$ A \ cup B = \ lbrace x \:| \:x \ in A \ OR \ x \ in B \ rbrace $。

-$ A = \ lbrace 10、11、12、13 \ rbrace $およびB = $ \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $の場合、$ A \ cup B = \ lbrace 10、11、12、 13、14、15 \ rbrace $。 (共通要素は1回だけ発生します)

Set Union

交差点を設定

セットAとBの交差点($ A \ cap B $で示される)は、AとBの両方にある要素のセットです。 したがって、$ A \ cap B = \ lbrace x \:| \:x \ in A \ AND \ x \ in B \ rbrace $。

-$ A = \ lbrace 11、12、13 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $の場合、$ A \ cap B = \ lbrace 13 \ rbrace $。

交差点の設定

差/相対補数の設定

セットAとセットBのセットの違い($ A – B $で示される)は、AにのみありBにはない要素のセットです。 したがって、$ A-B = \ lbrace x \:| \:x \ in A \ AND \ x \ notin B \ rbrace $。

-$ A = \ lbrace 10、11、12、13 \ rbrace $および$ B = \ lbrace 13、14、15 \ rbrace $の場合、$(A-B)= \ lbrace 10、11、12 \ rbrace $および$(B-A)= \ lbrace 14、15 \ rbrace $。 ここでは、$(A-B)\ ne(B-A)$を見ることができます

差を設定

セットの補数

セットAの補集合($ A ’$と表示)は、セットAにない要素のセットです。 したがって、$ A '= \ lbrace x | x \ notin A \ rbrace $。

より具体的には、$ A '=(U-A)$で、$ U $はすべてのオブジェクトを含むユニバーサルセットです。

-$ A = \ lbrace x \:|の場合\:x \ \:\ {belongs \:to \:set \:of \:odd \:integers} \ rbrace $ then $ A '= \ lbrace y \:| \:y \ \:\ {does \:not \:belongs \:to \:set \:of \:odd \:integers} \ rbrace $

補集合

デカルト積/クロス積

n個のセット$ A_1、A_2、\ dots A_n $のデカルト積は、$ A_1 \ times A_2 \ dots \ times A_n $として示され、すべての可能な順序付きペアとして定義できます$(x_1、x_2、\ dots x_n)$ $ x_1 \ in A_1、x_2 \ in A_2、\ dots x_n \ in A_n $

-2つのセット$ A = \ lbrace a、b \ rbrace $および$ B = \ lbrace 1、2 \ rbrace $を取得した場合、

AとBのデカルト積は、次のように記述されます-$ A \ times B = \ lbrace(a、1)、(a、2)、(b、1)、(b、2)\ rbrace $

BとAのデカルト積は次のように記述されます-$ B \ times A = \ lbrace(1、a)、(1、b)、(2、a)、(2、b)\ rbrace $

パワーセット

セットSのべき集合は、空のセットを含むSのすべてのサブセットのセットです。 カーディナリティnのセットSのパワーセットのカーディナリティは$ 2 ^ n $です。 パワーセットは、$ P(S)$として示されます。

例-

セット$ S = \ lbrace a、b、c、d \ rbrace $の場合、サブセットを計算します-

  • 0個の要素を持つサブセット-$ \ lbrace \ emptyset \ rbrace $(空のセット)
  • 1要素のサブセット-$ \ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b \ rbrace、\ lbrace c \ rbrace、\ lbrace d \ rbrace $
  • 2つの要素を持つサブセット-$ \ lbrace a、b \ rbrace、\ lbrace a、c \ rbrace、\ lbrace a、d \ rbrace、\ lbrace b、c \ rbrace、\ lbrace b、d \ rbrace、\ lbrace c、 d \ rbrace $
  • 3つの要素を持つサブセット-$ \ lbrace a、b、c \ rbrace、\ lbrace a、b、d \ rbrace、\ lbrace a、c、d \ rbrace、\ lbrace b、c、d \ rbrace $
  • 4つの要素を持つサブセット-$ \ lbrace a、b、c、d \ rbrace $

したがって、$ P(S)= $

$ \ lbrace \ quad \ lbrace \ emptyset \ rbrace、\ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b \ rbrace、\ lbrace c \ rbrace、\ lbrace d \ rbrace、\ lbrace a、b \ rbrace、\ lbrace a、c \ rbrace、\ lbrace a、d \ rbrace、\ lbrace b、c \ rbrace、\ lbrace b、d \ rbrace、\ lbrace c、d \ rbrace、\ lbrace a、b、c \ rbrace、\ lbrace a、b、 d \ rbrace、\ lbrace a、c、d \ rbrace、\ lbrace b、c、d \ rbrace、\ lbrace a、b、c、d \ rbrace \ quad \ rbrace $

$ | P(S)| = 2 ^ 4 = 16 $

注意-空集合のべき集合も空集合です。

$ | P(\ lbrace \ emptyset \ rbrace)| = 2 ^ 0 = 1 $

セットの分割

セットのパーティション、たとえば_S_は、次の3つの条件を満たす_n_互いに素なサブセットのコレクション、たとえば$ P_1、P_2、\ dots P_n $です-

  • $ P_i $には空のセットは含まれません。 + $ \ lbrack P_i \ ne \ lbrace \ emptyset \ rbrace \ for \ all \ 0 \ lt i \ le n \ rbrack $
  • サブセットの結合は、元のセット全体と等しくなければなりません。 + $ \ lbrack P_1 \ cup P_2 \ cup \ dots \ cup P_n = S \ rbrack $
  • 2つの異なるセットの共通部分は空です。 + $ \ lbrack P_a \ cap P_b = \ lbrace \ emptyset \ rbrace、\ for \ a \ ne b \ where \ n \ ge a、\:b \ ge 0 \ rbrack $

$ S = \ lbrace a、b、c、d、e、f、g、h \ rbrace $とする

考えられるパーティションの1つは、$ \ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b、c、d \ rbrace、\ lbrace e、f、g、h \ rbrace $です。

別の可能性のあるパーティション分割は、$ \ lbrace a、b \ rbrace、\ lbrace c、d \ rbrace、\ lbrace e、f、g、h \ rbrace $です。

ベル番号

ベル番号は、セットを分割する方法の数をカウントします。 これらは$ B_n $で示されます。nはセットのカーディナリティです。

-

$ S = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $、$ n = | S |とする= 3 $

代替パーティションは-

{空} 1 $ \ emptyset、\ lbrace 1、2、3 \ rbrace $

{空} 2。 $ \ lbrace 1 \ rbrace、\ lbrace 2、3 \ rbrace $

{空} 3。 $ \ lbrace 1、2 \ rbrace、\ lbrace 3 \ rbrace $

{空} 4。 $ \ lbrace 1、3 \ rbrace、\ lbrace 2 \ rbrace $

{空} 5。 $ \ lbrace 1 \ rbrace、\ lbrace 2 \ rbrace、\ lbrace 3 \ rbrace $

したがって、$ B_3 = 5 $

離散数学-関係

セットが議論されているときはいつでも、セットの要素間の関係が次に現れるものです。 *関係*は、同じセットのオブジェクト間、または2つ以上のセットのオブジェクト間に存在する場合があります。

定義とプロパティ

セットxからyへのバイナリ関係R($ xRy $または$ R(x、y)$として記述)は、デカルト積$ x \ times y $のサブセットです。 Gの順序付けられたペアが逆になると、関係も変わります。

通常、セット$ A_1、\ dots、\、\ A_n $間のn項関係Rは、n項積$ A_1 \ times \ dots \ times A_n $のサブセットです。 この場合、関係Rの最小カーディナリティはゼロで、最大は$ n ^ 2 $です。

単一のセットAのバイナリ関係Rは、$ A \ times A $のサブセットです。

カーディナリティ_m_および_n_をそれぞれ持つ2つの異なるセットAおよびBの場合、AからBへの関係Rの最大カーディナリティは_mn_です。

ドメインと範囲

2つのセットAとBがあり、関係Rに順序ペア(x、y)がある場合、-

  • Rの domain Dom(R)は、セット$ \ lbrace x \:|です。 \:(x、y)\ in R \:for \:some \:y \:in \:B \ rbrace $
  • Rの*範囲* Ran(R)は、セット$ \ lbrace y \:| \:(x、y)\ in R \:for \:some \:x \:in \:A \ rbrace $

みましょう、$ A = \ lbrace 1、2、9 \ rbrace $ and $ B = \ lbrace 1、3、7 \ rbrace $

  • ケース1-リレーションRが「等しい」場合、$ R = \ lbrace(1、1)、(3、3)\ rbrace $ + Dom(R)= $ \ lbrace 1、3 \ rbrace、Ran(R)= \ lbrace 1、3 \ rbrace $
  • ケース2-リレーションRが「より小さい」場合、$ R = \ lbrace(1、3)、(1、7)、(2、3)、(2、7)\ rbrace $ + Dom(R)= $ \ lbrace 1、2 \ rbrace、Ran(R)= \ lbrace 3、7 \ rbrace $
  • ケース3-リレーションRが「より大きい」場合、$ R = \ lbrace(2、1)、(9、1)、(9、3)、(9、7)\ rbrace $ + Dom(R)= $ \ lbrace 2、9 \ rbrace、Ran(R)= \ lbrace 1、3、7 \ rbrace $

グラフを使用した関係の表現

関係は、有向グラフを使用して表すことができます。

グラフ内の頂点の数は、リレーションが定義されているセット内の要素の数に等しくなります。 リレーションRの各順序ペア(x、y)には、頂点「x」から頂点「y」への有向エッジがあります。 順序付けられたペア(x、x)がある場合、頂点「x」でセルフループが発生します。

リレーション$ R = \ lbrace(1、1)、(1,2)、(3、2)\ rbrace $がセット$ S = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $にあるとします。次のグラフで表されます-

関係

関係の種類

  • セットXとYの間、またはE上の*空の関係*は、空のセット$ \ emptyset $です。
  • セットXとYの間の*完全な関係*は、セット$ X \ times Y $です
  • セットXの Identity Relation は、セット$ \ lbrace(x、x)です。 x \ in X \ rbrace $ 関係Rの逆関係R 'は、次のように定義されます-$ R' = \ lbrace(b、a)| (a、b)\ in R \ rbrace $ + 例*-$ R = \ lbrace(1、2)、(2、3)\ rbrace $の場合、$ R '$は$ \ lbrace(2、1)、(3、2)\ rbrace $になります
  • セットAのリレーションRは、$ \ forall a \ in A $がa(aRaが保持する)に関連している場合、 Reflexive と呼ばれます。 + -リレーション$ R = \ lbrace(a、a)、(b、b)\ rbrace $ on set $ X = \ lbrace a、b \ rbrace $は再帰的です。
  • セットAのリレーションRは、aに関連する$ a \ in A $がない場合(* aRreは保持されません) Irreflexive と呼ばれます。 + -リレーション$ R = \ lbrace(a、b)、(b、a)\ rbrace $ on set $ X = \ lbrace a、b \ rbrace $は非再帰的です。
  • $ xRy $が$ yRx $、$ \ forall x \ in A $、および$ \ forall y \ in A $を意味する場合、セットAの関係Rは*対称*と呼ばれます。 + -リレーション$ R = \ lbrace(1、2)、(2、1)、(3、2)、(2、3)\ rbrace $ on set $ A = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $は対称です。
  • セットAの関係Rは、$ xRy $と$ yRx $が$ x = yを意味する場合、 Anti-Symmetric と呼ばれます。\:\ forall x \ in A $および$ \ forall y \ in A $。 + -$ R = \ lbrace(x、y)\ to N | \:x \ leq y \ rbrace $は、$ x \ leq y $および$ y \ leq x $が含意するため、非対称です。 x = y $。
  • $ xRy $と$ yRz $が$ xRz、\ forall x、y、z \ in A $を意味する場合、セットAの関係Rは*推移的*と呼ばれます。 + -関係$ R = \ lbrace(1、2)、(2、3)、(1、3)セット$ A = \ lbrace 1、2、3の\ rbrace $は推移的です。
  • 関係が再帰的、対称的、推移的である場合、関係は*等価関係*です。 + -リレーション$ R = \ lbrace(1、1)、(2、2)、(3、3)、(1、2)、(2,1)、(2,3)、(3 、2)、(1,3)、(3,1)セット$ A = \ lbrace 1、2、3の\ rbrace $は、再帰的、対称的、推移的であるため、同値関係です。

離散数学-関数

  • 関数*は、セットの各要素に、関連するセットの要素を1つだけ割り当てます。 関数は、アルゴリズムの計算の複雑さの表現、オブジェクトのカウント、シーケンスと文字列の研究など、さまざまな分野でアプリケーションを見つけます。 このパートの3番目と最後の章では、機能の重要な側面に焦点を当てます。

機能-定義

関数またはマッピング($ f:X \ rightarrow Y $として定義)は、あるセットXの要素から別のセットYの要素への関係です(XおよびYは空でないセットです)。 Xはドメインと呼ばれ、Yは関数「f」のコドメインと呼ばれます。

関数「f」は、XとYの関係であり、各$ x \ in X $に対して、$(x、y)\ in R $となる一意の$ y \ in Y $が存在します。 「x」はプリイメージと呼ばれ、「y」は関数fのイメージと呼ばれます。

関数は1対1または多対1であり、1対多ではありません。

単射/一対一機能

関数$ f:すべての$ b \ in B $に対して、$ f(s)= t $である$ a \ in A $が最大1つ存在する場合、\ rightarrow B $は単射関数または1対1関数です。 。

つまり、$ a_1 \ ne a_2 $が$ f(a1)\ ne f(a2)$を意味する場合、関数 f は単射です。

  • $ f:N \ rightarrow N、f(x)= 5x $は単射です。
  • $ f:N \ rightarrow N、f(x)= x ^ 2 $は単射です。
  • $ f:R \ rightarrow R、f(x)= x ^ 2 $は単射ではなく、$(-x)^ 2 = x ^ 2 $

単射/オント機能

関数$ f:fの画像がその範囲に等しい場合、\ rightarrow B $は全射(上)です。 同様に、$ b \ in B $ごとに、$ f(a)= b $となるような$ a \ in A $が存在します。 これは、Bの任意のyに対して、$ y = f(x)$となるようなAの一部のxが存在することを意味します。

  • $ f:N \ rightarrow N、f(x)= x + 2 $は全射です。
  • $ f:R \ rightarrow R、f(x)= x ^ 2 $は、平方が負の実数を見つけることができないため、全射ではありません。

全単/1対1の特派員

関数$ f:\ rightarrow B $は、 f が単射および全射の両方である場合にのみ、全単射または1対1の対応です。

問題

関数$ f:R \ rightarrow R $が$ f(x)= 2x – 3 $で定義されていることは全単射関数であることを証明します。

説明-この関数が単射と全射の両方であることを証明する必要があります。

$ f(x_1)= f(x_2)$の場合、$ 2x_1 – 3 = 2x_2 – 3 $となり、$ x_1 = x_2 $を意味します。

したがって、fは*単射*です。

ここで、$ 2x – 3 = y $

したがって、$ x =(y + 5)/3 $はRに属し、$ f(x)= y $です。

したがって、fは*全射*です。

*f* は *surjective* と *injective* の両方であるため、 *f* は *bijective* と言えます。

関数の逆

1対1の対応する関数$ fの*逆*:A \ rightarrow B $は、関数$ gです:B \ rightarrow A $、次のプロパティを保持-

$ f(x)= y \ Leftrightarrow g(y)= x $

逆関数gが存在する場合、関数fは invertible と呼ばれます。

  • 関数$ f:Z \ rightarrow Z、f(x)= x + 5 $は、逆関数$ g:Z \ rightarrow Z、g(x)= x-5 $を持つため、可逆です。
  • 関数$ f:Z \ rightarrow Z、f(x)= x ^ 2 $は、$(-x)^ 2 = x ^ 2 $のように1対1ではないため、可逆ではありません。

機能の構成

2つの関数$ f:A \ rightarrow B $および$ g:B \ rightarrow C $は、合成$ g o f $を生成するために合成できます。 これは、$(gof)(x)= g(f(x))$で定義されるAからCへの関数です

$ f(x)= x + 2 $および$ g(x)= 2x + 1 $とし、$(f o g)(x)$および$(g o f)(x)$を見つけます。

溶液

$(f o g)(x)= f(g(x))= f(2x + 1)= 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $

$(g o f)(x)= g(f(x))= g(x + 2)= 2(x + 2)+ 1 = 2x + 5 $

したがって、$(f o g)(x)\ neq(g o f)(x)$

作曲に関するいくつかの事実

  • fとgが1対1の場合、関数$(g o f)$も1対1です。
  • fとgが上にある場合、関数$(g o f)$も上にあります。
  • コンポジションは常に連想プロパティを保持しますが、可換プロパティは保持しません。

離散数学-命題論理

数学的論理の規則は、数学的ステートメントを推論する方法を指定します。 ギリシャの哲学者アリストテレスは、論理的推論の先駆者でした。 論理的推論は、数学の多くの分野、したがってコンピューターサイエンスの理論的基盤を提供します。 コンピューティングマシンの設計、人工知能、プログラミング言語のデータ構造の定義など、コンピューターサイエンスに多くの実用的なアプリケーションがあります。

  • 命題論理*は、「真」と「偽」の真理値を割り当てることができるステートメントに関係しています。 目的は、これらのステートメントを個別にまたは複合的に分析することです。

前置詞論理–定義

命題は、真理値が「true」または真理値が「false」の宣言文の集まりです。 命題は命題変数と接続詞で構成されます。 命題変数は大文字(A、Bなど)で示します。 接続詞は命題変数を接続します。

命題のいくつかの例を以下に示します-

  • 「Man is Mortal」、真理値「TRUE」を返します
  • 「12 + 9 = 3 – 2」、真理値「FALSE」を返します

以下は命題ではありません-

  • 「Aは2未満です」。 これは、Aの特定の値を指定しない限り、ステートメントが真か偽かを判断できないためです。

コネクティブ

命題論理では、一般に5つの接続詞を使用します-

  • または($ \ lor $)
  • AND($ \ land $)
  • 否定/NOT($ \ lnot $)
  • 含意/if-then($ \ rightarrow $)
  • ($ \ Leftrightarrow $)の場合のみ。
  • OR($ \ lor $)*-命題変数AまたはBの少なくともいずれかが真である場合、2つの命題AおよびB($ A \またはB $と表記)のOR演算は真です。

真理値表は次のとおりです-

A B A ∨ B
True True True
True False True
False True True
False False False
  • AND($ \ land $)*-命題変数AとBの両方が真の場合、2つの命題AおよびB($ A \ land B $と記述)のAND演算は真です。

真理値表は次のとおりです-

A B A ∧ B
True True True
True False False
False True False
False False False

否定($ \ lnot $)-命題A($ \ lnot A $と表記)の否定は、Aが真の場合は偽、Aが偽の場合は真です。

真理値表は次のとおりです-

A ¬ A
True False
False True

含意/if-then($ \ rightarrow $)-含意$ A \ rightarrow B $は命題「if A、then B」です。 Aが真でBが偽の場合は偽です。 残りのケースは真実です。

真理値表は次のとおりです-

A B A → B
True True True
True False False
False True True
False False True

($ \ Leftrightarrow $)-$ A \ Leftrightarrow B $の場合にのみ、pとqが同じ場合に真となる2条件論理結合です。 両方ともfalseまたは両方ともtrueです。

真理値表は次のとおりです-

A B A ⇔ B
True True True
True False False
False True False
False False True

トートロジー

トートロジーは、命題変数のすべての値に常に当てはまる式です。

-証明$ \ lbrack(A \ rightarrow B)\ land A \ rbrack \ rightarrow B $はトートロジーです

真理値表は次のとおりです-

A B A → B (A → B) ∧ A [( A → B ) ∧ A] → B
True True True True True
True False False False True
False True True False True
False False True False True

$ \ lbrack(A \ rightarrow B)\ land A \ rbrack \ rightarrow B $のすべての値を見ることができるように、それはトートロジーです。

矛盾

矛盾とは、命題変数のすべての値に対して常に偽となる式です。

-証明$(A \またはB)\ land \ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $は矛盾している

真理値表は次のとおりです-

A B A ∨ B ¬ A ¬ B (¬ A) ∧ ( ¬ B) (A ∨ B) ∧ [( ¬ A) ∧ (¬ B)]
True True True False False False False
True False True False True False False
False True True True False False False
False False False True True True False

$(A \またはB)\ land \ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $のすべての値が「False」であることがわかりますが、これは矛盾です。

不測の事態

偶発事象は、命題変数のすべての値に対していくつかの真と偽の両方の値を持つ式です。

-$(A \またはB)\ land(\ lnot A)$偶発性を証明する

真理値表は次のとおりです-

A B A ∨ B ¬ A (A ∨ B) ∧ (¬ A)
True True True False False
True False True False False
False True True True True
False False False True False

$(A \またはB)\ land(\ lnot A)$のすべての値に「True」と「False」の両方があることがわかりますが、これは偶発事象です。

命題の等価性

次の2つの条件のいずれかが成り立つ場合、2つのステートメントXとYは論理的に同等です-

  • 各ステートメントの真理値表には同じ真理値があります。
  • 二条件ステートメント$ X \ Leftrightarrow Y $はトートロジーです。

-証明$ \ lnot(A \またはB)および\ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $は同等です

1 ^ st ^メソッドによるテスト(一致する真理値表)

A B A ∨ B ¬ (A ∨ B) ¬ A ¬ B [(¬ A) ∧ (¬ B)]
True True True False False False False
True False True False False True False
False True True False True False False
False False False True True True True

ここで、$ \ lnot(A \またはB)と\ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $の真理値が同じであることがわかります。したがって、ステートメントは同等です。

2 ^ nd ^メソッドによるテスト(二条件性)

A B ¬ (A ∨ B ) [(¬ A) ∧ (¬ B)] [¬ (A ∨ B)] ⇔ [(¬ A ) ∧ (¬ B)]
True True False False True
True False False False True
False True False False True
False False True True True

$ \ lbrack \ lnot(A \またはB)\ rbrack \ Leftrightarrow \ lbrack(\ lnot A)\ land(\ lnot B)\ rbrack $はトートロジーなので、ステートメントは同等です。

逆、逆、および反陽性

含意/if-then $(\ rightarrow)$は条件文とも呼ばれます。 それは2つの部分を持っています-

  • 仮説、p
  • 結論、q

前述のように、これは$ p \ rightarrow q $として示されます。

条件付きステートメントの例-「宿題をすれば罰せられない」。ここでは、「宿題をする」が仮説であり、「罰せられない」が結論である、q。

-条件文の逆は、仮説と結論の両方の否定です。 ステートメントが「If p、then q」の場合、逆は「If not p、then not q」になります。 したがって、$ p \ rightarrow q $の逆は$ \ lnot p \ rightarrow \ lnot q $です。

-「宿題をすれば罰せられない」の逆は「宿題をしなければ罰せられる」ということです。

コンバース-条件文のコンバースは、仮説と結論を交換することにより計算されます。 ステートメントが「If p、then q」の場合、逆は「If q、then p」になります。 $ p \ rightarrow q $の逆は、$ q \ rightarrow p $です。

-「宿題をすれば罰せられない」の逆は「罰せられないなら宿題をする」です。

コントラポジティブ-条件のコントラポジティブは、逆ステートメントの仮説と結論を交換することにより計算されます。 ステートメントが「If p、then q」の場合、コントラポジティブは「if not q、then p」ではなくなります。 $ p \ rightarrow q $の反正は、$ \ lnot q \ rightarrow \ lnot p $です。

-「宿題をすれば罰せられない」の反肯定は「罰せられたら宿題をしなかった」ということです。

二元性の原理

双対性の原則では、真のステートメントについては、ユニオンを交差点に(およびその逆)交換し、ユニバーサルセットをヌルセットに(およびその逆)交換することによって得られるデュアルステートメントも真であると述べています。 ステートメントのデュアルがステートメント自体である場合、それは self-dual ステートメントと呼ばれます。

-$(A \ cap B)\ cup C $の双対は$(A \ cup B)\ cap C $

通常のフォーム

私たちは2つの標準形式で任意の命題を変換することができます-

  • 連言標準形
  • 選言標準形

連言標準形

複合ステートメントは、ORで接続された変数(含まれる変数の否定)のANDを演算することにより取得される場合、結合標準形になります。 集合演算に関しては、それは、Unionsに接続された変数間の交差によって得られる複合ステートメントです。

  • $(A \ lor B)\ land(A \ lor C)\ land(B \ lor C \ lor D)$
  • $(P \ cup Q)\ cap(Q \ cup R)$

選言標準形

複合ステートメントは、ANDで接続された変数(変数の否定を含む)のORを演算することによって取得される場合、選言標準形になります。 集合演算に関しては、交差点に接続された変数間でUnionによって取得される複合ステートメントです。

  • $(A \ land B)\ lor(A \ land C)\ lor(B \ land C \ land D)$
  • $(P \ cap Q)\ cup(Q \ cap R)$

離散数学-述語論理

  • 述語ロジック*は、変数を含む命題である述語を扱います。

述語論理–定義

述語は、特定のドメインで定義された1つ以上の変数の式です。 変数を含む述語は、変数に値を割り当てるか、変数を定量化することにより命題にすることができます。

以下は、述語のいくつかの例です-

  • E(x、y)が「x = y」を示すものとします
  • X(a、b、c)が「a+ b+ c = 0」を示すものとする
  • M(x、y)が「xはyと結婚している」ことを示すとします

整形式

整形式(wff)は、次のいずれかを保持する述語です-

  • すべての命題定数と命題変数はwffです
  • xが変数でYがwffの場合、$ \ forall x Y $および$ \ exists x Y $もwffです
  • 真理値と偽値はwffです
  • 各アトミック式はwffです
  • wffを接続するすべての接続詞はwffです

数量詞

述語の変数は、数量詞によって数量化されます。 述語論理には2種類の量指定子があります-Universal QuantifierとExistential Quantifier。

汎用数量詞

汎用数量詞は、そのスコープ内のステートメントが特定の変数のすべての値に当てはまると述べています。 記号$ \ forall $で示されます。

$ \ forall x P(x)$はxのすべての値について読み取られ、P(x)はtrueです。

-"Man is mortal"は命題形式$ \ forall x P(x)$に変換できます。ここで、P(x)はxが致命的であり、談話の世界はすべて男性であることを示す述語です。

実存量指定子

存在量指定子は、そのスコープ内のステートメントが特定の変数のいくつかの値に対して真であると述べています。 記号$ \ exists $で示されます。

$ \ exists x P(x)$はxのいくつかの値に関して読み取られ、P(x)はtrueです。

-「一部の人々は不誠実」は命題形式$ \ exists x P(x)$に変換できます。ここで、P(x)はxが不誠実であり、談話の宇宙が一部の人々であることを示す述語です。

ネストされた量指定子

別の数量詞のスコープ内に現れる数量詞を使用する場合、それはネストされた数量詞と呼ばれます。

  • $ \ forall \ a \:\ exists b \:P(x、y)$ここで、$ P(a、b)$は$ a + b = 0 $を示します
  • $ \ forall \ a \:\ forall \:b \:\ forall \:c \:P(a、b、c)$ここで、$ P(a、b)$は$ a (b + c)=( a + b) c $

-$ \ forall \:a \:\ exists b \:P(x、y)\ ne \ exists a \:\ forall b \:P(x、y)$

離散数学-推論のルール

真実がすでにわかっているステートメントから新しいステートメントを推測するために、 Rules of Inference が使用されます。

推論規則とは何ですか?

数学的な論理は、論理的な証明によく使用されます。 証明は、数学的ステートメントの真理値を決定する有効な引数です。

引数は一連のステートメントです。 最後のステートメントは結論であり、その前のすべてのステートメントは前提(または仮説)と呼ばれます。 記号「$ \ therefore $」(したがって読みます)は結論の前に置かれます。 有効な引数は、前提が前提の真理値から得られるものです。

推論規則は、すでにあるステートメントから有効な引数を構築するためのテンプレートまたはガイドラインを提供します。

推論規則の表

Rule of Inference Name Rule of Inference Name
\begin\{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end\{matrix} Addition \begin\{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end\{matrix} Disjunctive Syllogism
\begin\{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q \end\{matrix} Conjunction \begin\{matrix} P \rightarrow Q \\ Q \rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R \end\{matrix} Hypothetical Syllogism
\begin\{matrix} P \land Q\\ \hline \therefore P \end\{matrix} Simplification \begin\{matrix} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end\{matrix} Constructive Dilemma
\begin\{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end\{matrix} Modus Ponens \begin\{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end\{matrix} Destructive Dilemma
\begin\{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end\{matrix} Modus Tollens

添加

Pが前提である場合、加算規則を使用して$ P \またはQ $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \\ \ hline \ theforefore P \ lor Q \ end \ {matrix}

Pを命題とすると、「彼は一生懸命勉強します」

したがって-「彼は非常に一生懸命勉強するか、彼は非常に悪い学生です。」ここでQは「彼は非常に悪い学生です」という命題です。

接続詞

PとQが2つの前提である場合、接続規則を使用して$ P \ land Q $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ theforefore P \ land Q \ end \ {matrix}

P-「彼は一生懸命勉強します」

Q-「彼はクラスで最高の男の子です」

したがって-「彼は非常に一生懸命勉強し、クラスで最高の男の子です」

単純化

$ P \ land Q $が前提である場合、単純化規則を使用してPを導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ theforefore P \ end \ {matrix}

「彼は一生懸命勉強し、クラスで最高の男の子です」、$ P \ land Q $

したがって-「彼は非常に一生懸命勉強します」

Modus Ponens

Pと$ P \ rightarrow Q $が2つの前提である場合、Modus Ponensを使用してQを導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ theforefore Q \ end \ {matrix}

「パスワードがあれば、facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $

「パスワードがあります」、P

したがって-「Facebookにログオンできます」

モーダス・トレンス

$ P \ rightarrow Q $と$ \ lnot Q $が2つの前提である場合、Modus Tollensを使用して$ \ lnot P $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ theforefore \ lnot P \ end \ {matrix}

「パスワードがあれば、facebookにログオンできます」、$ P \ rightarrow Q $

「Facebookにログオンできません」、$ \ lQ $ではありません

したがって-「あなたはパスワードを持っていません」

選言三段論法

$ \ lnot P $と$ P \またはQ $が2つの前提である場合、選言三段論法を使用してQを導出できます。

\ begin \ {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ theforefore Q \ end \ {matrix}

「アイスクリームはバニラ風味ではありません」、$ \ lnot P $

「アイスクリームはバニラ味またはチョコレート味です」、$ P \またはQ $

したがって-「アイスクリームはチョコレート風味です」

仮説的三段論法

$ P \ rightarrow Q $と$ Q \ rightarrow R $が2つの前提である場合、仮説的三段論法を使用して$ P \ rightarrow R $を導出できます。

\ begin \ {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ theforefore P \ rightarrow R \ end \ {matrix}

「雨が降ったら、学校に行かない」、$ P \ rightarrow Q $

「学校に行かなければ、宿題をする必要はない」、$ Q \ rightarrow R $

したがって-「雨が降った場合、宿題をする必要はありません」

建設的ジレンマ

$(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)$と$ P \ lor R $が2つの前提である場合、建設的なジレンマを使用して$ Q \ lor S $を導出できます。

\ begin \ {matrix}(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)\\ P \ lor R \\ \ hline \ theforefore Q \ lor S \ end \ {matrix}

「雨が降ったら、休暇を取る」、$(P \ rightarrow Q)$

「外が暑い場合はシャワーを浴びます」、$(R \ rightarrow S)$

「雨が降るか、外が暑い」、$ P \またはR $

したがって-「休暇を取るか、シャワーを浴びます」

破壊的ジレンマ

$(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)$と$ \ lnot Q \ lor \ lnot S $が2つの前提である場合、破壊的ジレンマを使用して$ \ lnot P \ lor \ lnot R $を導出できます。

\ begin \ {matrix}(P \ rightarrow Q)\ land(R \ rightarrow S)\\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ thefore \ lnot P \ lor \ lnot R \ end \ {行列}

「雨が降ったら、休暇を取る」、$(P \ rightarrow Q)$

「外が暑い場合はシャワーを浴びます」、$(R \ rightarrow S)$

「休暇を取らないか、シャワーを浴びない」、$ \ lnot Q \または\ lnot S $

したがって-「雨が降らないか、屋外が暑くない」

演算子と仮定

グループ理論は、 group と名付けられた代数構造を定義する数学と抽象代数の分岐です。 一般に、グループは要素のセットと、そのセット上の任意の2つの要素に対する操作で構成され、そのセットでも3番目の要素を形成します。

1854年、イギリスの数学者アーサー・ケイリーは、初めてグループの現代的な定義を与えました-

'__「それらはすべて異なっており、任意の2つの製品(順序は関係ありません)、またはそれらのいずれか1つの製品自体がセットに属するようなシンボルのセットは、グループ。 これらのシンボルは、一般に変換可能[可換]ではありませんが、結合可能です。_

この章では、集合論、群論、ブール代数の基礎を形成する*演算子と仮定*について学びます。

数学システムの要素のセットは、演算子のセットといくつかの仮定で定義できます。

要素のセットで定義される*二項演算子*は、要素の各ペアにそのセットの一意の要素を割り当てるルールです。 たとえば、セット$ A = \ lbrace 1、2、3、4、5 \ rbrace $が与えられた場合、$ \ otimes $は、操作$ c = a \ otimes b $の二項演算子であると指定できます。 $ a、b、cが\ in A $になるような、$(a、b)$のペアのcを見つけるためのルール。

数学システムの*仮定*は、ルールを推測できる基本的な仮定を形成します。 仮定は-

閉鎖

セット内の要素のペアごとに、演算子がそのセットから一意の要素を見つける場合、セットは二項演算子に関して閉じられます。

$ A = \ lbrace 0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とする

演算$ c = a \ ast b $、任意の$ a、b \ in A $、積$ c \ in A $に対して、このセットはバイナリ演算子の下で$(\ ast)$に閉じられます。

セットは、バイナリ演算子除算$(\ div)$で閉じられません。なぜなら、操作$ c = a \ div b $では、任意の$ a、b \ in A $では、積cはセットに含まれない可能性があるからです。 A. $ a = 7、b = 2 $の場合、$ c = 3.5 $です。 ここでは、$ a、b \ in A $ですが、$ c \ notin A $です。

連想法

セットAの二項演算子$ \ otimes $は、次のプロパティを保持している場合、結合的です-

$(x \ otimes y)\ otimes z = x \ otimes(y \ otimes z)$、ここで$ x、y、z \ in A $

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とする

演算子と$()$は、3つの要素$ x、y、z \ in A $に対して、プロパティ$(x + y) z = x +(y + z)$が成り立つため、結合的です。

演算子マイナス$(-)$は結合性ではありません。

(x-y)-z \ ne x-(y-z)

可換法

セットAの二項演算子$ \ otimes $は、次のプロパティを保持している場合、可換です-

$ x \ otimes y = y \ otimes x $、ここで$ x、y \ in A $

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とする

演算子と$(+)$は可換です。これは、任意の2つの要素$ x、y \ in A $に対して、プロパティ$ x + y = y + x $が保持されるためです。

演算子マイナス$(-)$は結合性ではありません。

x-y \ ne y-x

分配法

セットAの2つのバイナリ演算子$ \ otimes $および$ \ circledast $は、次のプロパティが成り立つ場合に演算子$ \ circledast $に分布しています-

$ x \ otimes(y \ circledast z)=(x \ otimes y)\ circledast(x \ otimes z)$、ここで$ x、y、z \ in A $

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とする

$()$およびplus $()$への演算子は、任意の3つの要素$ x、y、z \ in A $に対して、プロパティ$ x *(y + z)=(x *y)(x z)$が成り立つ。

ただし、これらの演算子は$ *$よりも分布的ではありません。

x +(y* z)\ ne(x + y)*(x + z)

アイデンティティ要素

セットAは、要素$ e \ in A $が存在する場合、次のプロパティが保持されるように、Aの二項演算$ \ otimes $に関するアイデンティティ要素を持っています-

$ e \ otimes x = x \ otimes e $、ここで$ x \ in A $

$ Z = \ lbrace 0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とする

要素1は、操作$ *$に関するアイデンティティ要素です。これは、任意の要素$ x \ in Z $に対して、

1* x = x * 1

一方、操作に$(-)$を引いたアイデンティティ要素はありません

集合Aが二項演算子$ \ otimes $に関して恒等要素$ e $を持っている場合、すべての要素$ x \ in A $ごとに別の要素$ y \ in A $が存在するときは常に逆であると言われます、次のプロパティが保持されるように-

x \ otimes y = e

$ A = \ lbrace \ dots -4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とする

演算に$(+)$および$ e = 0 $を加えた場合、$ x +(x)= 0 $なので、要素xの逆数は$(-x)$になります。

ド・モーガンの法則

De Morganの法則は、2つの(またはそれ以上の)セットの和集合と交差点の間の補完を補うという点で、一対の変換を提供します。 法律は-

(A \ cup B) '= A' \ cap B '

(A \ cap B) '= A' \ cup B '

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace、B = \ lbrace 1、3、5、7 \ rbrace $と

ユニバーサルセット$ U = \ lbrace 1、2、3、\ dots、9、10 \ rbrace $

$ A '= \ lbrace 5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

$ B '= \ lbrace 2、4、6、8、9、10 \ rbrace $

$ A \ cup B = \ lbrace 1、2、3、4、5、7 \ rbrace $

$ A \ cap B = \ lbrace 1、3 \ rbrace $

$(A \ cup B) '= \ lbrace 6、8、9、10 \ rbrace $

$ A '\ cap B' = \ lbrace 6、8、9、10 \ rbrace $

したがって、$(A \ cup B) '= A' \ cap B '$

$(A \ cap B) '= \ lbrace 2、4、5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

$ A '\ cup B' = \ lbrace 2、4、5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

したがって、$(A \ cap B) '= A' \ cup B '$であることがわかります。

離散数学-グループ理論

セミグループ

バイナリ演算$ ´\ omicron´ $(合成)を伴う有限または無限集合$´S´ $は、以下の2つの条件を同時に保持する場合、セミグループと呼ばれます-

  • Closure -Sのすべてのペア$(a、b)\に対して、セット$ S $に\ :( a \ omicron b)$が存在しなければなりません。
  • 結合-すべての要素$ a、b、c \ in S、(a \ omicron b)\ omicron c = a \ omicron(b \ omicron c)$が成り立つ必要があります。

加算演算を伴う正の整数のセット(ゼロを除く)は、セミグループです。 たとえば、$ S = \ lbrace 1、2、3、\ dots \ rbrace $

ここで、クロージャプロパティは、すべてのペア$(a、b)\ in Sに関して保持され、(a + b)$はセットSに存在します。 たとえば、$ 1 + 2 = 3 \ in S] $

連想プロパティは、すべての要素$ a、b、c \ in S、(a + b)+ c = a (b + c)$にも適用されます。 たとえば、$(1 + 2) 3 = 1 +(2 + 3)= 5 $

モノイド

モノイドは、アイデンティティ要素を持つセミグループです。 集合Sの恒等要素($ e $またはEで示される)は、すべての要素$ a \ in S $に対して、$(a \ omicron e)= a $のような要素です。 アイデンティティー要素は、ユニット要素*とも呼ばれます。 したがって、モノイドは3つのプロパティを同時に保持します- *Closure、Associative、Identity element

乗算演算を伴う正の整数のセット(ゼロを除く)はモノイドです。 $ S = \ lbrace 1、2、3、\ dots \ rbrace $

ここで、クロージャプロパティは、すべてのペア$(a、b)\ in Sに関して保持され、(a \ times b)$はセットSに存在します。 [たとえば、$ 1 \ times 2 = 2 \ in S $など]

連想プロパティは、すべての要素$ a、b、c \ in S、(a \ times b)\ times c = a \ times(b \ times c)$ [たとえば、$(1 \ times 2)\ times 3 = 1 \ times(2 \ times 3)= 6 $など]

Identityプロパティは、すべての要素$ a \ in S、(a \ times e)​​= a $にも適用されます[たとえば、$(2 \ times 1)= 2、(3 \ times 1)= 3 $など]。 ここで、ID要素は1です。

グループ

グループは、逆要素を持つモノイドです。 セットSの逆要素(Iで示される)は、各要素$ a \ in S $に対して、$(a \ omicron I)=(I \ omicron a)= a $のような要素です。 したがって、グループは4つのプロパティを同時に保持します。i)クロージャ、ii)連想、iii)アイデンティティ要素、iv)逆要素。 グループGの順序はGの要素の数であり、グループ内の要素の順序は最小正の整数nであるため、anはそのグループGの単位元です。

$ N \ times N $の非特異行列のセットは、行列乗算演算の下でグループを形成します。

2つの$ N \ times N $非特異行列の積も、クロージャプロパティを保持する$ N \ times N $非特異行列です。

行列の乗算自体は結合的です。 したがって、連想プロパティが保持されます。

$ N \ times N $非特異行列のセットには、恒等要素プロパティを保持する恒等行列が含まれています。

すべての行列が非特異であるため、それらはすべて非特異行列でもある逆要素を持っています。 したがって、逆特性も成り立ちます。

アーベルグループ

アーベル群Gは、要素ペア$(a、b)\ in G $が常に可換則を保持するグループです。 したがって、グループは5つのプロパティを同時に保持します。i)クロージャ、ii)連想、iii)アイデンティティ要素、iv)逆要素、v)可換。

加算演算を伴う正の整数のセット(ゼロを含む)はアーベル群です。 $ G = \ lbrace 0、1、2、3、\ dots \ rbrace $

ここで、クロージャプロパティは、すべてのペア$(a、b)\ in Sに関して保持され、(a + b)$はセットSに存在します。 [たとえば、$ 1 + 2 = 2 \ in S $など]

連想プロパティは、すべての要素$ a、b、c \ in S、(a + b)+ c = a (b + c)$ [たとえば、$(1 +2) 3 = 1 +(2 + 3)= 6 $など]

Identityプロパティは、すべての要素$ a \ in S、(a \ times e)​​= a $にも適用されます[たとえば、$(2 \ times 1)= 2、(3 \ times 1)= 3 $など]。 ここで、ID要素は1です。

可換プロパティは、すべての要素$ a \ in S、(a \ times b)=(b \ times a)$にも当てはまります[たとえば、$(2 \ times 3)=(3 \ times 2)= 3 $などに]

巡回グループとサブグループ

  • サイクリックグループ*は、単一の要素で生成できるグループです。 巡回グループのすべての要素は、ジェネレータと呼ばれる特定の要素の累乗です。 循環グループは、ジェネレーター「g」によって生成され、グループの他のすべての要素がジェネレーター「g」の累乗として記述できるようになります。

乗算演算下の複素数$ \ lbrace 1、-1、i、-i \ rbrace $のセットは、巡回グループです。

2つのジェネレーターがあります-$ i $および$ –i $は$ i ^ 1 = i、i ^ 2 = -1、i ^ 3 = -i、i ^ 4 = 1 $、および$(– i)^ 1として= -i、(–i)^ 2 = -1、(–i)^ 3 = i、(–i)^ 4 = 1 $グループのすべての要素をカバーします。 したがって、これは循環グループです。

-*サイクリックグループ*は常にアーベルグループですが、すべてのアーベルグループがサイクリックグループではありません。 加算中の有理数は循環的ではなくアーベル的です。

サブグループ Hは、4つのプロパティ( Closure、Associative、Identity element 、および Inverse )を同時に満たす場合、グループG($ H≤G $で示される)のサブセットです。

グループG全体を含まないグループGのサブグループHは、適切なサブグループ($ H <G $で示される)と呼ばれます。 サイクリックグループのサブグループはサイクリックであり、アーベルサブグループもアーベルです。

グループを$ G = \ lbrace 1、i、-1、-i \ rbrace $とする

次に、いくつかのサブグループは$ H_1 = \ lbrace 1 \ rbrace、H_2 = \ lbrace 1、-1 \ rbrace $、

これはサブグループではありません-$ H_3 = \ lbrace 1、i \ rbrace $ $(i)^ \ {-1} = -i $は$ H_3 $にないため

半順序セット(POSET)

部分的に順序付けられたセットは、再帰的、反対称的、推移的であるバイナリ関係を持つセットで構成されます。 「部分的に順序付けられたセット」はPOSETと略されます。

  • $(\ le)$以下の2項演算の下での実数のセットはポーズです。 セット$ S = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $とし、操作は$ \ le $です+リレーションは$ \ lbrace(1、1)、(2、2)、(3、3)になります、(1、2)、(1、3)、(2、3)\ rbrace $ +この関係Rは、$ \ lbrace(1、1)、(2、2)、(3、3)\ rbraceのように再帰的です。 \ in R $ +この関係Rは、 $ \ lbrace(1、2)、(1、3)、(2、3)\ rbrace \ in R \ and \ \ lbrace(1、2)のように、非対称です。 、(1、3)、(2、3)\ rbrace∉R $ +この関係Rは、$ \ lbrace(1,2)、(2,3)、(1,3)\ rbrace \ in Rとしても推移的です。 $。 +したがって、これは poset です。
  • 操作「到達可能性」の下の有向非巡回グラフの頂点セットはポーズです。

ハッセ図

ポーズのハッセ図は有向グラフであり、その頂点はそのポーズの要素であり、アークはポーズのペア(x​​、y)をカバーします。 ポーズ$ x <y $の場合、点xはハッセ図の点yよりも低く表示されます。 ポーズで$ x <y <z $の場合、矢印は暗黙的であるためxとzの間に表示されません。

$ \ lbrace 1、2、3のサブセットのポーズ\ rbrace = \ lbrace \ emptyset、\ lbrace 1 \ rbrace、\ lbrace 2 \ rbrace、\ lbrace 3 \ rbrace、\ lbrace 1、2 \ rbrace、\ lbrace 1 、3 \ rbrace、\ lbrace 2、3 \ rbrace、\ lbrace 1、2、3 \ rbrace \ rbrace $は、次のハッセ図で示されます-

ハッセ図

線形順序セット

線形順序セットまたは合計順序セットは、要素のすべてのペアが比較可能な部分順序セットです。 $ a \ le b $または$ b \ le a $のいずれかが成り立つ場合、要素$ a、b \ in S $は比較可能と言われます。 三分法は、この合計順序セットを定義します。 完全に順序付けられたセットは、セットSのaおよびbのすべての値に対して、プロパティ$ \ lbrace a \ lor b、a \ land b \ rbrace = \ lbrace a、b \ rbrace $を持つ分布格子として定義できます。

\ subseteqによって順序付けられた$ \ lbrace a、b \ rbrace $のパワーセットは、パワーセット$ P = \ lbrace \ emptyset、\ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b \ rbrace、\のすべての要素として完全に順序付けられたセットです。 lbrace a、b \ rbrace \ rbrace $は同等です。

非合計注文セットの例

演算xがyを除算する$ S = \ lbrace 1、2、3、4、5、6 \ rbrace $のセットは、完全に順序付けられたセットではありません。

ここで、すべての$(x、y)\ in S、x | y $は保持する必要がありますが、2 | 3、2は3を分割しないため、または3は2を分割しません。 したがって、完全に順序付けられたセットではありません。

格子

ラティスは、すべてのペア$ \ lbrace a、b \ rbrace \ in L $が最小の上限($ a \またはb $で示される)と最大の下限( $ a \ land b $で示されます)。 LUB $(\ lbrace a、b \ rbrace)$は、aとbの結合と呼ばれます。 GLB $(\ lbrace a、b \ rbrace)$は、aとbの出会いと呼ばれます。

ラティス

格子の例

この上の図は、$ \ lbrace a、b \ rbrace \ in L $の各ペアごとにGLBとLUBが存在するため、格子です。

格子の例

上記の図は、$ GLB(a、b)$と$ LUB(e、f)$が存在しないため、格子ではありません。

他のいくつかの格子は以下で説明されています-

有界格子

格子Lは、要素1が最大で要素0が最小の場合、有界格子になります。

補完格子

ラティスLが有界ラティスであり、ラティス内のすべての要素に補数がある場合、ラティスLは補数格子になります。 $ \ exists x(x \ land x ’= 0 and x \ lor x’ = 1)$の場合、要素xには補数x ’があります

分配格子

ラティスが次の2つの配布プロパティを満たす場合、ラティスラティスと呼ばれます。

  • $ a \ lor(b \ land c)=(a \ lor b)\ land(a \ lor c)$
  • $ a \ land(b \ lor c)=(a \ land b)\ lor(a \ land c)$

モジュラー格子

ラティスが以下の特性を満たす場合、モジュラーラティスと呼ばれます。

$ a \ land(b \ lor(a \ land d))=(a \ land b)\ lor(a \ land d)$

格子の性質

べき等プロパティ

  • $ a \ lor a = a $
  • $ a \ land a = a $

吸収特性

  • $ a \ lor(a \ land b)= a $
  • $ a \ land(a \ lor b)= a $

可換性

  • $ a \ lor b = b \ lor a $
  • $ a \ land b = b \ land a $

連想プロパティ

  • $ a \ lor(b \ lor c)=(a \ lor b)\ lor c $
  • $ a \ land(b \ land c)=(a \ land b)\ land c $

格子の双対

ラティスの双対は、「$ \ lor $」および「$ \ land $」操作を交換することによって取得されます。

$ \ lbrack a \ lor(b \ land c)\ rbrack \ is \ \ lbrack a \ land(b \ lor c)\ rbrack $のデュアル

離散数学-カウント理論

日常生活では、多くの場合、一連のイベントのすべての可能な結果の数を調べる必要があります。 たとえば、6人の男性と4人の女性で構成される審査員団は、50人の男性と38人の女性の中からいくつ選べますか? 最初の5文字がアルファベット、次の4文字が数字、最後が再び大文字になるように、いくつの異なる10文字のPAN番号を生成できます。 これらの問題を解決するために、カウントの数学的理論が使用されます。 *カウント*には、主に基本的なカウント規則、置換規則、および組み合わせ規則が含まれます。

合計と製品のルール

*Rule of Sum* および *Rule of Product* は、難しいカウント問題を単純な問題に分解するために使用されます。
  • 合計のルール-タスク$ T_1、T_2、\ dots、T_m $のシーケンスをそれぞれ$ w_1、w_2、\ dots w_m $の方法で実行できる場合(条件はタスクを同時に実行できないことです)、これらのタスクの1つを行う方法の数は、$ w_1 + w_2 + \ dots + w_m $です。 互いに素な2つのタスクAとBを検討する場合(つまり、 $ A \ cap B = \ emptyset $)、その後数学的に$ | A \ cup B | = | A | + | B | $
  • 製品のルール-一連のタスク$ T_1、T_2、\ dots、T_m $をそれぞれ$ w_1、w_2、\ dots w_m $の方法で実行でき、すべてのタスクが前のタスクの発生後に到着する場合、タスクを実行するには、$ w_1 \ times w_2 \ times \ dots \ times w_m $の方法があります。 数学的には、タスクBがタスクAの後に到着した場合、$ | A \ times B | = | A | \ times | B | $

質問-Xに住んでいる少年がZの学校に行きたいと思っています。 彼は自宅Xから最初にYに到達し、次にYからZに到達する必要があります。 彼は3つのバス路線または2つの鉄道路線でXからYに行くことができます。 そこから、彼はZに到達するために4つのバス路線または5つの列車路線を選択できます。 XからZに行く方法はいくつありますか?

解決策-XからYまで、彼は$ 3 + 2 = 5 $の方法で進むことができます(Rule of Sum)。 その後、彼は$ 4 + 5 = 9 $の方法でYからZに移動できます(合計のルール)。 したがって、XからZまで、彼は$ 5 \ times 9 = 45 $の方法で進むことができます(製品の規則)。

順列

  • 順列*は、順序が重要ないくつかの要素の配置です。 つまり、順列は要素の順序付けられた組み合わせです。

  • セットS = \ {x、y、z}から、一度に2つを取ることにより、すべての順列は- + $ xy、yx、xz、zx、yz、zy $。
  • 数字のセット$ S = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $から3桁の数字の順列を作成する必要があります。 数字を配置すると、異なる3桁の数字が形成されます。 順列は、123、132、213、231、312、321になります。

順列の数

一度に「n」個の「n」個をとる順列の数は、$ n _ \ {P _ \ {r}} $で示されます。

n _ \ {P _ \ {r}} = \ frac \ {n!} \ {(n-r)!}

$ n! = 1.2.3。 \ dots(n-1).n $

証明-「n」個の異なる要素があるとします。

最初の場所を埋める方法はn通りあります。 最初の場所(n-1)を埋めた後、要素の数が残ります。 したがって、2番目の場所を埋める(n-1)方法があります。 1番目と2番目の場所を埋めると、(n-2)個の要素が残ります。 したがって、3番目の場所を埋める(n-2)方法があります。 [n –(r–1)] = n–r + 1のように、r番目の場所を埋める方法の数を一般化できます。

したがって、合計はありません。 最初の場所からr番目の場所まで埋める方法の-

$ n _ \ {P _ \ {r}} = n(n-1)(n-2)…​.. (n-r + 1)$

$ = [n(n-1)(n-2)…​ (n-r + 1)] [(n-r)(n-r-1)\ dots 3.2.1]/[(n-r)(n-r-1)\ dots 3.2.1] $

したがって、

$ n _ \ {P _ \ {r}} = n!/(n-r)!$

順列のいくつかの重要な公式

  • $ a_1 $が何らかの種類に似ている_n_要素がある場合、$ a_2 $は別の種類に似ています。 $ a_3 $は第3種などで、$ a_r $は$ r ^ \ {th} $種で、$(a_1 + a_2 + …​ a_r)= n $。 +次に、これらのn個のオブジェクトの順列の数は= $ n!です。/[(a_1!(a_2!)\ dots(a_r!)] $。
  • 一度にn個の要素を取るn個の異なる要素の順列の数= $ n _ \ {P_n} = n!$
  • 一度にr個の要素をとるn個の非類似要素の順列の数。x個の特定のものが常に一定の場所を占める場合= $ n-x _ \ {p _ \ {r-x}} $
  • r個の指定されたものが常に一緒になったときのn個の異なる要素の順列の数は-$ rです! (n−r + 1)!$
  • r個の指定されたものが一緒にならない場合のn個の異なる要素の順列の数は、-$ n!– [r! (n−r + 1)!] $
  • 時間でx個の要素をとるn個の異なる要素の循環順列の数= $ ^ np _ \ {x}/x $
  • n個の異なるものの循環順列の数= $ ^ np _ \ {n}/n $

いくつかの問題

  • 問題1 *-6種類のカードの束から、いくつの方法でそれを変更できますか?

解決策-6枚のカードのデッキから一度に6枚のカードを取っているので、順列は$ ^ 6P _ \ {6} = 6になります! = 720$

  • 問題2 *-「リーダー」という単語の文字をいくつの方法で配置できますか?

解決策-単語「READER」には6文字の単語(2 E、1 A、1D、および2R)があります。

順列は$ = 6になります!/\:[(2!)(1!)(1!)(2!)] = 180. $

  • 問題3 *-子音が偶数位のみを占めるように、「ORANGE」という単語の文字をどのように配置できますか?

解決策-「ORANGE」という単語には3つの母音と3つの子音があります。 子音を互いに配置する方法の数$ = ^ 3P _ \ {3} = 3! = 6$. 残りの3つの空いている場所は、$ ^ 3P _ \ {3} = 3の3つの母音で埋められます! = 6 $ウェイ。 したがって、順列の総数は$ 6 \ times 6 = 36 $です

組み合わせ

  • 組み合わせ*は、順序が重要ではない特定の要素の選択です。

一度にrを取るn個のすべての組み合わせの数は-

^ nC _ \ {\ {r}} = \ frac \ {n! } \ {r!(n-r)! }

  • 問題1 *

3つの要素を持つセット$ \ lbrace1、2、3、4、5、6 \ rbrace $のサブセットの数を見つけます。

溶液

セットの基数は6であり、セットから3つの要素を選択する必要があります。 ここでは、順序は関係ありません。 したがって、サブセットの数は$ ^ 6C _ \ {3} = 20 $になります。

  • 問題2 *

部屋には6人の男性と5人の女性がいます。 部屋から男性3人と女性2人を選択する方法はいくつありますか?

溶液

6人の男性から3人の男性を選択する方法の数は$ ^ 6C _ \ {3} $で、5人の女性から2人の女性を選択する方法の数は$ ^ 5C _ \ {2} $です

したがって、ウェイの総数は− $ ^ 6C _ \ {3} \ times ^ 5C _ \ {2} = 20 \ times 10 = 200 $です。

  • 問題3 *

合計9人の生徒から3人の生徒の3つの異なるグループを選択する方法はいくつありますか?

溶液

グループに1、2、3の番号を付けましょう

1 ^ st ^グループに3人の生徒を選択する場合、ウェイの数-$ ^ 9C _ \ {3} $

1番目のグループを選択した後、2番目のグループの3人の生徒を選択する方法の数-$ ^ 6C _ \ {3} $

1 ^ st ^および2 ^ nd ^グループを選択した後、3 ^ rd ^グループに3人の生徒を選択する方法の数-$ ^ 3C _ \ {3} $

したがって、ウェイの総数$ = ^ 9C _ \ {3} \ times ^ 6C _ \ {3} \ times ^ 3C _ \ {3} = 84 \ times 20 \ times 1 = 1680 $

パスカルのアイデンティティ

17世紀にブレーズパスカルによって最初に導出されたパスカルのアイデンティティは、n個の要素からk個の要素を選択する方法の数は、(n-1)個から(k-1)個の要素を選択する方法の数の合計に等しいと述べています)要素と、n-1個の要素から要素を選択する方法の数。

数学的には、正の整数kおよびnの場合:$ ^ nC _ \ {k} = ^ n \ {^-} ^ 1C _ \ {k-1} + ^ n \ {^-} ^ 1 \ {C_k} $

証明-

^ n \ {^-} ^ 1C _ \ {k-1} + ^ n \ {^-} ^ 1 \ {C_k}

$ = \ frac \ {(n-1)! } \ {(k-1)!(n-k)! } + \ frac \ {(n-1)! } \ {k!(n-k-1)! }$

$ =(n-1)!(\ frac \ {k} \ {k!(n-k)! } + \ frac \ {n-k} \ {k!(n-k)! } )$

$ =(n-1)! \ frac \ {n} \ {k!(n-k)! }$

$ = \ frac \ {n! } \ {k!(n-k)! }$

$ = n _ \ {C _ \ {k}} $

ピジョンホールの原理

1834年、ドイツの数学者、ピーター・グスタフ・レジューヌ・ディリクレは、引き出し原理と呼ばれる原理を述べま​​した。 今、それは鳩の巣の原則として知られています。

*Pigeonhole Principle* は、鳩の総数が鳩の総数よりも少なく、各鳩が鳩の穴に置かれる場合、複数の鳩のいる鳩の穴が少なくとも1つ存在する必要があると述べています。 n個のハトがm個の鳩の穴に入れられ、n> mの場合、複数の鳩のいる穴があります。

  • 10人の男性が部屋にいて、握手に参加しています。 各人が少なくとも1回握手し、同じ男性の手を2回以上振る人がいない場合、2人の男性が同じ数の握手に参加しました。
  • 30のクラスには、名前が同じアルファベットで始まる人が少なくとも2人必要です。

包含排除の原則

  • 包含/排除の原則*は、複数の非素集合の和集合の基数を計算します。 2つのセットAとBの場合、原理は次のように述べています-

$ | A \ cup B | = | A | + | B | -| A \ cap B | $

3セットA、B、Cの場合、原理は次のように述べています

$ | A \ cup B \ cup C | = | A | + | B | + | C | -| A \ cap B | -| A \ cap C | -| B \ cap C | + | A \ cap B \ cap C | $

一般化された式-

$ | \ bigcup _ \ {i = 1} ^ \ {n} A_i | = \ sum \ limits _ \ {1 \ leq i <j <k \ leq n} | A_i \ cap A_j | + \ sum \ limits _ \ {1 \ leq i <j <k \ leq n} | A_i \ cap A_j \ cap A_k |-\ dots +(-1)^ \ {\ pi-1} | A_1 \ cap \ dots \ cap A_2 | $

  • 問題1 *

1から50までの整数は2または3の倍数ですが、両方ではありませんか?

溶液

1から100までは、2の倍数である$ 50/2 = 25 $の数値があります。

$ 50/3 = 16 $の数字は3の倍数です。

2と3の倍数である50/6 = 8 $の数字があります。

したがって、$ | A | = 25 $、$ | B | = 16 $、および$ | A \ cap B | = 8 $です。

$ | A \ cup B | = | A | + | B | -| A \ cap B | = 25 + 16-8 = 33 $

  • 問題2 *

50人の生徒のグループでは、24人が冷たい飲み物、36人が熱い飲み物を好み、各生徒は2つの飲み物のうち少なくとも1つを好みます。 コーヒーと紅茶の両方が好きですか

溶液

Xを冷たい飲み物が好きな学生のセット、Yを熱い飲み物が好きな人のセットとします。

だから、$ | X \ cup Y | = 50 $、$ | X | = 24 $、$ | Y | = 36 $

$ | X \ cap Y | = | X | + | Y | -| X \ cup Y | = 24 + 36-50 = 60-50 = 10 $

したがって、お茶とコーヒーの両方が好きな学生は10人います。

離散数学-確率

カウントの概念に密接に関連しているのは確率です。 カードゲーム、スロットマシン、宝くじなど、偶然のゲームの結果を推測しようとすることがよくあります。つまり 特定の結果が得られる可能性または確率を見つけようとします。

  • 確率*は、イベントの発生の可能性を見つけることとして概念化できます。 数学的には、ランダムなプロセスとその結果の研究です。 確率の法則は、遺伝学、天気予報、世論調査、株式市場などのさまざまな分野に広く適用されます。

基本概念

確率論は17世紀にフランスの数学者、ブレーズパスカルとピエールドフェルマーによって発明されました。彼らは偶然の数学的問題を扱っていました。

確率の詳細に進む前に、いくつかの定義の概念を理解しましょう。

ランダム実験-すべての可能な結果が既知であり、正確な出力を事前に予測できない実験は、ランダム実験と呼ばれます。 公正なコインを投げることは、ランダム実験の例です。

サンプルスペース-実験を実行するとき、すべての可能な結果の集合Sはサンプルスペースと呼ばれます。 コインを投げると、サンプルスペースは$ S = \ left \\ {H、T \ right \} $

イベント-サンプル空間のサブセットはイベントと呼ばれます。 コインを投げた後、トップに立つことはイベントです。

「確率」という言葉は、特定のイベントが発生する可能性を意味します。 言えるのは、確率という考え方を使用して、それらが発生する可能性がどれだけ高いかです。

$ Probability \:of \:occurence \:of \:an \:event = \ frac \ {Total \:number \:of \:favourable \:results} \ {Total \:number \:of \:Outcomes} $

イベントの発生は0%から100%の間で変化するため、確率は0から1の間で変化します。

確率を見つける手順

ステップ1-実験のすべての可能な結果を​​計算します。

ステップ2-実験の好ましい結果の数を計算します。

ステップ3-対応する確率式を適用します。

コインを投げる

コインが投げられた場合、2つの可能な結果があります-ヘッド$(H)$またはテール$(T)$

したがって、結果の合計数= 2

したがって、先頭に頭$(H)$を取得する確率は1/2であり、末尾に$(T)$を取得する確率は1/2です。

サイコロを投げる

サイコロが投げられると、6つの可能性のある結果がトップになります-$ 1、2、3、4、5、6 $。

いずれかの数字の確率は1/6です

偶数を取得する確率は3/6 = 1/2です

奇数を取得する確率は3/6 = 1/2です

デッキからカードを取り出す

52枚のカードのデッキから、1枚のカードが選ばれた場合、エースが引かれる確率を見つけ、また、ダイヤモンドが引かれる確率を見つけます。

可能な結果の総数-52

エースであることの結果− 4

エースになる確率= 4/52 = 1/13

ダイヤモンドである確率= 13/52 = 1/4

確率公理

  • イベントの確率は常に0から1まで変化します。 $ [0 \ leq P(x)\ leq 1] $
  • 不可能なイベントの場合、確率は0であり、特定のイベントの場合、確率は1です。
  • あるイベントの発生が別のイベントの影響を受けない場合、それらは相互に排他的であるか、互いに素と呼ばれます。 + $ A_1、A_2 …​. A_n $が相互に排他的/互いに素なイベントの場合、$ P(A_i \ cap A_j)= \ emptyset $ for $ i \ ne j $および$ P(A_1 \ cup A_2 \ cup。 …​ A_n)= P(A_1)+ P(A_2)+ …​.. P(A_n)$

確率の特性

  • 補完的な2つのイベント$ x $と$ \ overline \ {x} $がある場合、補完的なイベントの確率は- + p(\ overline \ {x})= 1-p(x)
  • 2つの互いに素なイベントAおよびBの場合、2つのイベントの結合の確率- + $ P(A \ cup B)= P(A)+ P(B)$
  • イベントAが別のイベントBのサブセットである場合(つまり、 $ A \ subset B $)、Aの確率はBの確率以下です。 したがって、$ A \ subset B $は$ P(A)\ leq p(B)$を意味します

条件付き確率

イベントBの条件付き確率は、イベントAが既に発生した場合にイベントが発生する確率です。 これは、$ P(B | A)$と記述されます。

数学的に-$ P(B | A)= P(A \ cap B)/P(A)$

イベントAとBが相互に排他的である場合、イベントAの後のイベントBの条件付き確率は、イベントBの確率$ P(B)$になります。

  • 問題1 *

国では、すべてのティーンエイジャーの50%が自転車を所有しており、すべてのティーンエイジャーの30%が自転車と自転車を所有しています。 ティーンエイジャーが自転車を所有している場合、ティーンエイジャーが自転車を所有する可能性はどのくらいですか?

溶液

Aは自転車のみを所有している10代の若者のイベントであり、Bは自転車のみを所有している10代の若者のイベントであるとします。

したがって、与えられた問題から$ P(A)= 50/100 = 0.5 $および$ P(A \ cap B)= 30/100 = 0.3 $です。

$ P(B | A)= P(A \ cap B)/P(A)= 0.3/0.5 = 0.6 $

したがって、ティーンエイジャーが自転車を所有している場合、ティーンエイジャーが自転車を所有する確率は60%です。

  • 問題2 *

クラスでは、全生徒の50%がクリケットをプレイし、全生徒の25%がクリケットとバレーボールをプレイします。 学生がクリケットをする場合、学生がバレーボールをする確率はどのくらいですか?

溶液

Aはクリケットのみをプレーする学生のイベントであり、Bはバレーボールのみをプレーする学生のイベントであると仮定します。

したがって、与えられた問題から$ P(A)= 50/100 = 0.5 $および$ P(A \ cap B)= 25/100 = 0.25 $です。

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup/P \ lgroup A \ rgroup = 0.25/0.5 = 0.5 $

したがって、生徒がクリケットをする場合、生徒がバレーボールをする確率は50%です。

  • 問題3 *

優れたラップトップ6台と欠陥のあるラップトップ3台が混在しています。 欠陥のあるラップトップを見つけるために、それらはすべてランダムに1つずつテストされます。 最初の2回のピックで両方の欠陥のあるラップトップを見つける可能性はどのくらいですか?

溶液

Aを最初のテストで欠陥のあるラップトップを見つけるイベントとし、Bを2番目のテストで欠陥のあるラップトップを見つけるイベントとします。

したがって、$ P(A \ cap B)= P(A)P(B | A)= 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $

ベイズの定理

定理-AとBが相互に排他的な2つのイベントである場合、$ P(A)$はAの確率、$ P(B)$はBの確率、$ P(A | B)$は確率AのBが真であると仮定します。 $ P(B | A)$は、Aが真である場合のBの確率であり、ベイズの定理は次のように述べます-

P(A | B)= \ frac \ {P(B | A)P(A)} \ {\ sum _ \ {i = 1} ^ \ {n} P(B | Ai)P(Ai)}

ベイズの定理の応用

  • サンプルスペースのすべてのイベントが相互に排他的なイベントである場合。
  • 各$ A_i $の$ P(A_i \ cap B)$または各$ A_i $の$ P(A_i)$と$ P(B | A_i)$のいずれかがわかっている場合。

問題

3つのペンスタンドを検討してください。 最初のペンスタンドには、2つの赤いペンと3つの青いペンが含まれています。 2つ目は3つの赤いペンと2つの青いペンがあります。 3番目のペンには4つの赤いペンと1つの青いペンがあります。 各ペンスタンドが選択される確率は同じです。 1本のペンがランダムに描画される場合、それが赤ペンである確率はどのくらいですか?

溶液

$ A_i $をi ^ th ^ペンスタンドが選択されるイベントとします。

ここで、i = 1,2,3。

ペンスタンドを選択する確率は等しいため、$ P(A_i)= 1/3 $

Bを赤ペンが描画されるイベントとします。

最初のペンスタンドの5本のペンから赤ペンが選択される確率、

$ P(B | A_1)= 2/5 $

2番目のペンスタンドの5本のペンから赤ペンが選択される確率、

$ P(B | A_2)= 3/5 $

3番目のペンスタンドの5本のペンから赤ペンが選択される確率、

$ P(B | A_3)= 4/5 $

ベイズの定理によると、

$ P(B)= P(A_1).P(B | A_1)+ P(A_2).P(B | A_2)+ P(A_3).P(B | A_3)$

$ = 1/3 2/5 \:+ \:1/3。 3/5 \:+ \:1/3。 4/5$

$ = 3/5 $

数学的帰納法

  • 数学的帰納法*は、結果を証明したり、自然数のステートメントを確立したりする手法です。 このパートでは、さまざまな例を使用してメソッドを説明します。

定義

  • 数学的帰納法*は、すべての自然数に当てはまるステートメント、式、または定理を証明するために使用される数学的手法です。

以下に記載されているように、技術は、ステートメントを証明するために2つのステップが含まれます-

ステップ1(基本ステップ)-ステートメントが初期値に対して真であることを証明します。

ステップ2(帰納的ステップ)-ステートメントがn ^ th ^反復(または数値_n_)に対して真である場合、(n + 1)^ th ^ _反復(または数値_n + 1)。

どうやってするの

  • ステップ1 *-ステートメントが真である初期値を検討します。 n =初期値の場合、ステートメントが真であることを示す必要があります。
  • ステップ2 *-n = k_のすべての値に対してステートメントが真であると仮定します。 次に、ステートメントが_n = k + 1_について真であることを証明します。 実際に_n = k + 1_を2つの部分に分割します。一方の部分は_n = k(既に証明済み)で、もう一方の部分を証明しようとします。

問題1

$ 3 ^ n-1 $は、n = 1、2、…​の2の倍数です

溶液

  • ステップ1 *-$ n = 1の場合、3 ^ 1-1 = 3-1 = 2 $(2の倍数)
  • ステップ2 *-$ n = k $に対して$ 3 ^ n-1 $が真であると仮定しましょう。したがって、$ 3 ^ k -1 $は真です(仮定です)。

$ 3 ^ \ {k + 1} -1 $も2の倍数であることを証明する必要があります

$ 3 ^ \ {k + 1}-1 = 3 \ times 3 ^ k-1 =(2 \ times 3 ^ k)+(3 ^ k-1)$

最初の部分$(2 \ times 3k)$は2の倍数であることが確実であり、2番目の部分$(3k -1)$も以前の仮定と同じです。

したがって、$ 3 ^ \ {k + 1} – 1 $は2の倍数です。

したがって、$ 3 ^ n – 1 $は2の倍数であることが証明されています。

問題2

$ 1 + 3 + 5 + …​ +(2n-1)= n ^ 2 $ $ n = 1、2、\ dots $

溶液

  • ステップ1 *-$ n = 1、1 = 1 ^ 2 $の場合、ステップ1が満たされます。
  • ステップ2 *-ステートメントが$ n = k $に当てはまると仮定します。

したがって、$ 1 + 3 + 5 + \ dots +(2k-1)= k ^ 2 $は真です(これは仮定です)

$ 1 + 3 + 5 + …​を証明する必要があります +(2(k + 1)-1)=(k + 1)^ 2 $も成り立つ

$ 1 + 3 + 5 + \ dots +(2(k + 1)-1)$

$ = 1 + 3 + 5 + \ dots +(2k + 2-1)$

$ = 1 + 3 + 5 + \ dots +(2k + 1)$

$ = 1 + 3 + 5 + \ dots (2k-1)(2k + 1)$

$ = k ^ 2 +(2k + 1)$

$ =(k + 1)^ 2 $

したがって、ステップ1を満たす$ 1 + 3 + 5 + \ dots +(2(k + 1)-1)=(k + 1)^ 2 $ hold

したがって、$ 1 + 3 + 5 + \ dots +(2n-1)= n ^ 2 $が証明されます。

問題3

すべての自然数$ n $に対して$(ab)^ n = a ^ nb ^ n $が真であることを証明する

溶液

  • ステップ1 *-$ n = 1の場合、(ab)^ 1 = a ^ 1b ^ 1 = ab $、したがって、ステップ1が満たされます。
  • ステップ2 *-$ n = k $についてステートメントが真であると仮定しましょう。したがって、$(ab)^ k = a ^ kb ^ k $は真です(仮定です)。

$(ab)^ \ {k + 1} = a ^ \ {k + 1} b ^ \ {k + 1} $も成り立つことを証明する必要があります

与えられた、$(ab)^ k = a ^ k b ^ k $

または、$(ab)^ k(ab)=(a ^ k b ^ k)(ab)$ [両側に 'ab’を掛ける]

または、$(ab)^ \ {k + 1} =(aa ^ k)(bb ^ k)$

または、$(ab)^ \ {k + 1} =(a ^ \ {k + 1} b ^ \ {k + 1})$

したがって、ステップ2が証明されます。

したがって、$(ab)^ n = a ^ nb ^ n $はすべての自然数nに対して真です。

強い誘導

強い帰納法は、数学的帰納法の別の形式です。 この帰納法により、命題関数$ P(n)$がすべての正の整数$ n $に対して真であることを、次の手順を使用して証明できます-

  • ステップ1(基本ステップ)-初期命題$ P(1)$が真であることを証明します。
  • ステップ2(帰納的ステップ)-条件文$ [P(1)\ land P(2)\ land P(3)\ land \ dots \ land P(k)]→P(k + 1 )$は、正の整数$ k $に対して真です。

離散数学-再発関係

この章では、再帰的手法がシーケンスを導出し、カウント問題の解決に使用する方法について説明します。 再帰的な方法でシーケンスの用語を見つける手順は、*再帰関係*と呼ばれます。 線形回帰関係とその解の理論を研究します。 最後に、再帰関係を解決するための生成関数を紹介します。

定義

再帰関係は、次の項が前の項の関数であるシーケンスを再帰的に定義する方程式です($ F_i $と$ i <n $の組み合わせとして$ F_n $を表します)。

-フィボナッチ数列-$ F_n = F _ \ {n-1} + F _ \ {n-2} $、ハノイの塔-$ F_n = 2F _ \ {n-1} + 1 $

線形回帰関係

次数kまたは次数kの線形回帰方程式は、$ x_n = A_1 x _ \ {n-1} + A_2 x _ \ {n-1} + A_3 x _ \ {n-1} + \という形式の回帰方程式です。ドットA_k x _ \ {nk} $($ A_n $は定数で、$ A_k \ neq 0 $)は1次多項式としての数値のシーケンスです。

これらは、線形回帰方程式のいくつかの例です-

Recurrence relations Initial values Solutions
Fn = Fn-1 + Fn-2 a1 = a2 = 1 Fibonacci number
Fn = Fn-1 + Fn-2 a1 = 1, a2 = 3 Lucas Number
Fn = Fn-2 + Fn-3 a1 = a2 = a3 = 1 Padovan sequence
Fn = 2Fn-1 + Fn-2 a1 = 0, a2 = 1 Pell number

線形回帰関係を解決する方法

2つの順序付き線形回帰関係が-$ F_n = AF _ \ {n-1} + BF _ \ {n-2} $であり、AとBが実数であるとします。

上記の再帰関係の特性方程式は-

x ^ 2-Ax-B = 0

根を見つけるときに3つのケースが発生する可能性があります-

  • ケース1 *-この方程式が$(x- x_1)(x- x_1)= 0 $として因数分解し、2つの異なる実根$ x_1 $と$ x_2 $を生成する場合、$ F_n = ax_1 ^ n + bx_2 ^ n $解決策です。 [ここで、aとbは定数です]
  • ケース2 *-この方程式が$(x- x_1)^ 2 = 0 $として因数分解し、単一の実根$ x_1 $を生成する場合、$ F_n = a x_1 ^ n + bn x_1 ^ n $が解です。
  • ケース3 *-方程式が2つの異なる複素根、極座標形式の$ x_1 $と$ x_2 $を生成する場合$ x_1 = r \ angle \ theta $および$ x_2 = r \ angle(-\ theta)$の場合、$ F_n = r ^ n(a cos(n \ theta)+ b sin(n \ theta))$は解です。
  • 問題1 *

再帰関係を解く$ F_n = 5F _ \ {n-1}-6F _ \ {n-2} $ここで、$ F_0 = 1 $および$ F_1 = 4 $

溶液

回帰関係の特性方程式は-

x ^ 2-5x + 6 = 0、

したがって、$(x-3)(x-2)= 0 $

したがって、根は-

$ x_1 = 3 $および$ x_2 = 2 $

根は本物で明確です。 したがって、これはケース1の形式です。

したがって、解決策は-

F_n = ax_1 ^ n + bx_2 ^ n

ここで、$ F_n = a3 ^ n + b2 ^ n \(As \ x_1 = 3 \ and \ x_2 = 2)$

したがって、

$ 1 = F_0 = a3 ^ 0 + b2 ^ 0 = a + b $

$ 4 = F_1 = a3 ^ 1 + b2 ^ 1 = 3a + 2b $

これら2つの方程式を解くと、$ a = 2 $と$ b = -1 $が得られます

したがって、最終的な解決策は-

F_n = 2.3 ^ n +(-1)。 2 ^ n = 2.3 ^ n-2 ^ n

  • 問題2 *

再帰関係を解く-$ F_n = 10F _ \ {n-1}-25F _ \ {n-2} $ここで、$ F_0 = 3 $および$ F_1 = 17 $

溶液

回帰関係の特性方程式は-

x ^ 2-10x -25 = 0

したがって、$(x-5)^ 2 = 0 $

したがって、単一の実ルート$ x_1 = 5 $があります

単一の実数値ルートがあるため、これはケース2の形式です。

したがって、解決策は-

$ F_n = ax_1 ^ n + bnx_1 ^ n $

$ 3 = F_0 = a.5 ^ 0 +(b)(0.5)^ 0 = a $

$ 17 = F_1 = a.5 ^ 1 + b.1.5 ^ 1 = 5a + 5b $

これら2つの方程式を解くと、$ a = 3 $と$ b = 2/5 $が得られます

したがって、最終的なソリューションは-$ F_n = 3.5 ^ n +(2/5).n.2 ^ n $

  • 問題3 *

再帰関係$ F_n = 2F _ \ {n-1}-2F _ \ {n-2} $を解きます。ここで$ F_0 = 1 $および$ F_1 = 3 $

溶液

回帰関係の特性方程式は-

x ^ 2 -2x -2 = 0

したがって、根は-

$ x_1 = 1 + i $および$ x_2 = 1-i $

極地形式では、

$ x_1 = r \ angle \ theta $および$ x_2 = r \ angle(-\ theta)、$ここで、$ r = \ sqrt 2 $および$ \ theta = \ frac \ {\ pi} \ {4} $

根は虚数です。 したがって、これはケース3の形式です。

したがって、解決策は-

$ F_n =(\ sqrt 2)^ n(a cos(n。\ sqcap/4)+ b sin(n。\ sqcap/4))$

$ 1 = F_0 =(\ sqrt 2)^ 0(a cos(0。\ sqcap/4)+ b sin(0。\ sqcap/4))= a $

$ 3 = F_1 =(\ sqrt 2)^ 1(a cos(1。\ sqcap/4)+ b sin(1。 \ sqcap/4))= \ sqrt 2(a/\ sqrt 2 + b/\ sqrt 2)$

これらの2つの方程式を解くと、$ a = 1 $と$ b = 2 $が得られます

したがって、最終的な解決策は-

$ F_n =(\ sqrt 2)^ n(cos(n。\ pi/4)+ 2 sin(n。\ pi/4))$

不均一な再発関係と特定のソリューション

再帰関係は、次の形式の場合、非均質と呼ばれます

$ F_n = AF _ \ {n-1} + BF _ \ {n-2} + f(n)$ここで、$ f(n)\ ne 0 $

関連付けられた同次回帰関係は、$ F_n = AF _ \ {n–1} + BF _ \ {n-2} $です。

非同次回帰関係の解$(a_n)$には2つの部分があります。

最初の部分は、関連する同次回帰関係の解$(a_h)$で、2番目の部分は特定の解$(a_t)$です。

a_n = a_h + a_t

最初の部分の解決策は、前のセクションで説明した手順を使用して行われます。

特定のソリューションを見つけるために、適切な試用ソリューションを見つけます。

$ f(n)= cx ^ n $とします。 $ x ^ 2 = Ax + B $を関連する同次回帰関係の特性方程式とし、$ x_1 $と$ x_2 $をその根とします。

  • $ x \ ne x_1 $および$ x \ ne x_2 $の場合、$ a_t = Ax ^ n $
  • $ x = x_1 $、$ x \ ne x_2 $の場合、$ a_t = Anx ^ n $
  • $ x = x_1 = x_2 $の場合、$ a_t = An ^ 2x ^ n $

不均一な再帰関係を$ F_n = AF _ \ {n–1} + BF _ \ {n-2} + f(n)$とし、特徴的なルート$ x_1 = 2 $および$ x_2 = 5 $とします。 $ f(n)$の異なる値の試行解は次のとおりです-

f(n) Trial solutions
4 A
5.2n An2n
8.5n An5n
4n A4n
2n2+3n+1 An2+Bn+C

問題

再帰関係を解く$ F_n = 3F _ \ {n-1} + 10F _ \ {n-2} + 7.5 ^ n $ここで、$ F_0 = 4 $および$ F_1 = 3 $

溶液

これは線形の非同次関係であり、関連する同次方程式は$ F_n = 3F _ \ {n-1} + 10F _ \ {n-2} $および$ f(n)= 7.5 ^ n $です。

関連する同次関係の特性方程式は-

x ^ 2-3x -10 = 0

または、$(x-5)(x + 2)= 0 $

または、$ x_1 = 5 $および$ x_2 = -2 $

したがって、$ a_h = a.5 ^ n + b。(-2)^ n $、ここでaとbは定数です。

$ f(n)= 7.5 ^ n $なので、つまり $ c.x ^ n $の形式で、atの合理的な試行解は$ Anx ^ n $になります

$ a_t = Anx ^ n = An5 ^ n $

再帰関係にソリューションを配置した後、我々は得る-

$ An5 ^ n = 3A(n – 1)5 ^ \ {n-1} + 10A(n – 2)5 ^ \ {n-2} + 7.5 ^ n $

両側を$ 5 ^ \ {n-2} $で割ると、

$ An5 ^ 2 = 3A(n-1)5 + 10A(n-2)5 ^ 0 + 7.5 ^ 2 $

または、25An = 15An-15A + 10An-20A + 175 $

または、$ 35A = 175 $

または、$ A = 5 $

したがって、$ F_n = An5 ^ n = 5n5 ^ n = n5 ^ \ {n + 1} $

再発関係の解は次のように書くことができます-

$ F_n = a_h + a_t $

$ = a.5 ^ n + b。(-2)^ n + n5 ^ \ {n + 1} $

$ F_0 = 4 $と$ F_1 = 3 $の値を置くと、上記の方程式では、$ a = -2 $と$ b = 6 $が得られます

したがって、解決策は-

$ F_n = n5 ^ \ {n + 1} + 6。(-2)^ n -2.5 ^ n $

関数を生成する

  • 生成関数*は、シーケンスの各項が正式なべき級数の変数xの係数として表されるシーケンスを表します。

数学的には、無限シーケンス、たとえば$ a_0、a_1、a_2、\ dots、a_k、\ dots、$の場合、生成関数は-

G_x = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ dots + a_kx ^ k + \ dots = \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {\ infty} a_kx ^ k

応用分野

生成関数は、次の目的に使用できます-

  • さまざまなカウントの問題を解決します。 たとえば、Rsを変更する方法の数。 Rs.1、Rs.2、Rs.5、Rs.10、Rs.20、およびRs.50の宗派のノートを含む100ノート
  • 再発関係を解決するために
  • 組み合わせアイデンティティのいくつかを証明するために
  • シーケンスの項の漸近式を見つけるため
  • 問題1 *

$ a_k = 2 $および$ a_k = 3k $のシーケンス$ \ lbrace \ {a_k} \ rbrace $の生成関数は何ですか?

溶液

$ a_k = 2 $の場合、関数を生成、$ G(x)= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {\ infty} 2x ^ \ {k} = 2 + 2x + 2x ^ \ {2} + 2x ^ \ {3} + \ dots $

$ a _ \ {k} = 3kの場合、G(x)= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {\ infty} 3kx ^ \ {k} = 0 + 3x + 6x ^ \ {2} + 9x ^ \ {3} + \ dots \ dots $

  • 問題2 *

無限級数の生成関数は何ですか? $ 1、1、1、1、\ dots $?

溶液

ここでは、$ a_k = 1 $、$ 0の場合\ le k \ le \ infty $

したがって、$ G(x)= 1 + x + x ^ \ {2} + x ^ \ {3} + \ dots \ dots = \ frac \ {1} \ {(1-x)} $

いくつかの便利な生成関数

  • $ a_k = a ^ \ {k}の場合、G(x)= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {\ infty} a ^ \ {k} x ^ \ {k} = 1 + ax + a ^ \ {2} x ^ \ {2} + \ dots \ dots \ dots = 1/(1-ax)$
  • $ a _ \ {k} =(k + 1)の場合、G(x)= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {\ infty}(k + 1)x ^ \ {k} = 1 + 2x + 3x ^ \ {2} \ dots \ dots \ dots = \ frac \ {1} \ {(1-x)^ \ {2}} $
  • $ a _ \ {k} = c _ \ {k} ^ \ {n}の場合、G(x)= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {\ infty} c _ \ {k} ^ \ {n} x ^ \ {k} = 1 + c _ \ {1} ^ \ {n} x + c _ \ {2} ^ \ {n} x ^ \ {2} + \ dots \ dots \ dots + x ^ \ {2} = (1 + x)^ \ {n} $
  • $ a _ \ {k} = \ frac \ {1} \ {k!}の場合、G(x)= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {\ infty} \ frac \ {x ^ \ {k}} \ {k!} = 1 + x + \ frac \ {x ^ \ {2}} \ {2!} + \ frac \ {x ^ \ {3}} \ {3!} \ dots \ dots \ dots = e ^ \ {x} $

グラフとグラフモデル

前のパートでは、推論、証明、問題解決のためのさまざまなツールを紹介しました。 このパートでは、現実の多くの問題を定式化する基礎を形成する離散構造を研究します。

カバーする2つの離散構造は、グラフとツリーです。 グラフは、ノードまたは頂点と呼ばれる一連のポイントであり、エッジと呼ばれる一連の線で相互接続されます。 グラフ、または*グラフ理論*の研究は、数学、工学、およびコンピューターサイエンスの分野における多くの分野の重要な部分です。

グラフとは何ですか?

定義-グラフ($ G =(V、E)$と表示)は、空でない頂点またはノードVのセットとエッジEのセットで構成されます。

-グラフは$ G =(V、E)$であり、$ V = \ lbrace a、b、c、d \ rbrace $および$ E = \ lbrace \ lbrace a、b \ rbrace、 \ lbrace a、c \ rbrace、\ lbrace b、c \ rbrace、\ lbrace c、d \ rbrace \ rbrace $

グラフ

頂点の程度-グラフGの頂点Vの次数(deg(V)で示される)は、頂点Vに入射するエッジの数です。

Vertex Degree Even/Odd
a 2 even
b 2 even
c 3 odd
d 1 odd

偶数および奇数の頂点-頂点の次数が偶数の場合、その頂点は偶数頂点と呼ばれ、頂点の次数が奇数の場合、その頂点は奇数頂点と呼ばれます。

グラフの次数-グラフの次数は、そのグラフの最大頂点次数です。 上記のグラフでは、グラフの次数は3です。

ハンドシェイク補題-グラフでは、すべての頂点のすべての次数の合計は、エッジの数の2倍に等しくなります。

グラフの種類

さまざまなタイプのグラフがありますが、それらについては次のセクションで学習します。

ヌルグラフ

ヌルグラフにはエッジがありません。 $ n $頂点のヌルグラフは、$ N_n $で示されます。

ヌルグラフ

シンプルなグラフ

グラフが無向であり、ループまたは複数のエッジが含まれていない場合、グラフは単純グラフ/厳密グラフと呼ばれます。

シンプルグラフ

マルチグラフ

グラフ内で同じ頂点セット間の複数のエッジが許可されている場合、それはマルチグラフと呼ばれます。 つまり、少なくとも1つのループまたは複数のエッジを持つグラフです。

マルチグラフ

有向グラフと無向グラフ

グラフ$ G =(V、E)$は、エッジセットが順序付けられた頂点ペアで構成されている場合は有向グラフと呼ばれ、エッジセットが順序付けられていない頂点ペアで構成されている場合は無向と呼ばれます。

無向グラフ 有向グラフ

接続グラフと切断グラフ

グラフの2つの頂点がパスで接続されている場合、グラフは接続されます。グラフの少なくとも2つの頂点がパスで接続されていない場合、グラフは切断されます。 グラフGが切断されている場合、$ G $のすべての最大接続サブグラフは、グラフ$ G $の接続コンポーネントと呼ばれます。

Connected graph Unconnected graph

正則グラフ

グラフのすべての頂点が同じ次数を持つ場合、グラフは規則的です。 次数$ r $の通常のグラフGでは、$ G $の各頂点の次数はrです。

regular_graph

完全なグラフ

2つの頂点のペアがすべて1つのエッジで結合されている場合、グラフは完全グラフと呼ばれます。 n個の頂点を持つ完全なグラフは、$ K_n $で示されます。

完全グラフ

サイクルグラフ

グラフが単一のサイクルで構成される場合、サイクルグラフと呼ばれます。 n個の頂点を持つサイクルグラフは、$ C_n $で示されます。

サイクルグラフ

二部グラフ

グラフGの頂点セットが、グラフの各エッジが$ V_1 $の頂点を$ V_2 $の頂点に結合するように、2つの互いに素なセット$ V_1 $と$ V_2 $に分割できる場合、また、Gには、$ V_1 $の2つの頂点または$ V_2 $の2つの頂点を接続するエッジがないため、グラフ$ G $は2部グラフと呼ばれます。

二部グラフ

完全な二部グラフ

完全な2部グラフは、最初のセットの各頂点が2番目のセットのすべての頂点に結合されている2部グラフです。 完全な二部グラフは、$ K _ \ {x、y} $で表されます。グラフ$ G $には、最初のセットに$ x $の頂点が含まれ、2番目のセットに$ y $の頂点が含まれます。

完全な2部グラフ

グラフの表現

グラフを表すには主に2つの方法があります-

  • 隣接行列
  • 隣接リスト

隣接行列

隣接行列$ A [V] [V] $は、サイズ$ V \ times V $の2D配列です。ここで、$ V $は、無向グラフの頂点の数です。 $ V_x $と$ V_y $の間にエッジがある場合、$ A [V_x] [V_y] = 1 $と$ A [V_y] [V_x] = 1 $の値、それ以外の場合、値はゼロになります。 有向グラフの場合、$ V_x $から$ V_y $の間にエッジがある場合、$ A [V_x] [V_y] = 1 $の値、それ以外の場合、値はゼロになります。

無向グラフの隣接行列

私たちは次の無向グラフを考慮し、隣接行列を構築しましょう-

隣接関係無向

上記の無向グラフの隣接行列は-

a b c d
a 0 1 1 0
b 1 0 1 0
c 1 1 0 1
d 0 0 1 0

有向グラフの隣接行列

私たちは次の有向グラフを考慮し、その隣接行列を構築しましょう-

隣接関係指示

上記の有向グラフの隣接行列は-

a b c d
a 0 1 1 0
b 0 0 1 0
c 0 0 0 1
d 0 0 0 0

隣接リスト

隣接リストでは、リンクリストの配列$(A [V])$を使用して、$ V $個の頂点を持つグラフGを表します。 エントリ$ A [V_x] $は、$ Vx番目の頂点に隣接する頂点のリンクリストを表します。 無向グラフの隣接リストは、次の図に示すとおりです-

隣接リスト

平面対 非平面グラフ

平面グラフ-グラフ$ G $は、エッジが交差することなく平面に描画できる場合、平面グラフと呼ばれます。 エッジを交差させずにグラフを平面に描画する場合、グラフを平面に埋め込むと呼ばれます。

平面グラフ

非平面グラフ-グラフのエッジが交差せずに平面に描画できない場合、グラフは非平面です。

非平面グラフ

同型

2つのグラフGとHが同じ方法で接続された同じ数の頂点を含む場合、それらは同型グラフと呼ばれます($ G \ cong H $で示されます)。

同型よりも非同型をチェックする方が簡単です。 これらの次の条件のいずれかが発生した場合、2つのグラフは非同型です-

  • 接続されているコンポーネントの数が異なります
  • 頂点セットのカーディナリティは異なります
  • エッジセットのカーディナリティは異なります
  • 次数の順序が異なります

次のグラフは同型です-

同型

準同型

グラフ$ G $からグラフ$ H $への準同型写像は写像(全単射写像ではない場合があります)$ h:G \ rightarrow H $-− $(x、y)\ in E(G)\ rightarrow (h(x)、h(y))\ in E(H)$。 グラフ$ G $の隣接する頂点をグラフ$ H $の隣接する頂点にマッピングします。

準同型の性質

  • 準同型写像は、全単射マッピングであれば同型写像です。
  • 準同型は常にグラフのエッジと接続性を保持します。
  • 準同型の構成も準同型です。
  • 別のグラフの準同型グラフが存在するかどうかを調べることは、NPcomplete問題です。

オイラーグラフ

グラフ$ G $のすべてのエッジを含む閉じた軌跡がある場合、接続グラフ$ G $はオイラーグラフと呼ばれます。 オイラーパスは、グラフのすべてのエッジを1回だけ使用するパスです。 オイラーパスは、異なる頂点で開始および終了します。

オイラー回路は、グラフのすべてのエッジを1回だけ使用する回路です。 オイラー回路は常に同じ頂点で開始および終了します。 接続グラフ$ G $は、すべての頂点が偶数である場合にのみオイラーグラフであり、接続グラフ$ G $はエッジセットがサイクルに分解できる場合にのみオイラーです。

オイラーグラフ

上記のグラフは、オイラーグラフであり、$ "a \:1 \:b \:2 \:c \:3 \:d \:4 \:e \:5 \:c \:6 \:f \:7 \:g” $はグラフのすべてのエッジをカバーします。

非オイラーグラフ

ハミルトニアングラフ

接続されたグラフ$ G $は、$ G $のすべての頂点を含むサイクルがあり、そのサイクルがハミルトニアンサイクルと呼ばれる場合、ハミルトニアングラフと呼ばれます。 グラフ$ G $のハミルトニアンウォークは、各頂点を1回だけ通過するウォークです。

$ G $がn個の頂点を持つ単純なグラフである場合、$ n \ geq 3 $各頂点$ v $に対して$ deg(v)\ geq \ frac \ {n} \ {2} $の場合、グラフ$ G $はハミルトニアングラフです。 これは* Diracの定理*と呼ばれます。

$ G $が$ n $頂点を持つ単純なグラフである場合、$ n \ geq 2 $ if $ deg(x)+ deg(y)\ geq n $各非隣接頂点xおよびyのペアに対して、 graph $ G $はハミルトニアングラフです。 これは、*鉱石の定理*と呼ばれます。

ハミルトニアングラフ 非ハミルトニアングラフ

離散数学-グラフの詳細

グラフの色付け

グラフの色付けは、隣接する頂点が同じ色にならないように、グラフGの各頂点に色を割り当てる手順です。 目的は、グラフの色付け中に色の数を最小限にすることです。 グラフGの色付けに必要な最小の色数は、そのグラフの色数と呼ばれます。 グラフの色付けの問題は、NP完全問題です。

グラフを着色する方法

n個の頂点を持つグラフGを着色するために必要な手順は次のとおりです-

  • ステップ1 *-グラフの頂点を何らかの順序で配置します。
  • ステップ2 *-最初の頂点を選択し、最初の色で色付けします。
  • ステップ3 *-次の頂点を選択し、隣接する頂点で色付けされていない最も小さい番号の色で色付けします。 隣接するすべての頂点がこの色で色付けされている場合、新しい色を割り当てます。 すべての頂点が色付けされるまで、この手順を繰り返します。

グラフの色付け

上の図では、最初の頂点$ a $は赤で色付けされています。 頂点aの隣接する頂点が再び隣接するため、頂点$ b $と頂点$ d $はそれぞれ異なる色、緑、青で色付けされます。 次に、$ c $の隣接する頂点が赤に着色されないため、頂点$ c $は赤に着色されます。 したがって、グラフを3色で着色できます。 したがって、グラフの色数は3です。

グラフ彩色の応用

グラフの色付けのいくつかのアプリケーションが含まれます-

グラフトラバーサル

グラフトラバーサルは、ある系統的な順序でグラフのすべての頂点を訪れる問題です。 グラフをトラバースするには、主に2つの方法があります。

  • 幅優先検索
  • 深さ優先検索

幅優先検索

幅優先検索(BFS)は、グラフ$ G $の開始レベル0頂点$ X $から始まります。 次に、$ X $の近傍であるすべての頂点を訪問します。 訪問後、頂点を「訪問済み」としてマークし、レベル1に配置します。 次に、レベル1の頂点から開始し、すべてのレベル1の頂点などに同じメソッドを適用します。 グラフのすべての頂点が訪問されると、BFS走査は終了します。

  • BFSアルゴリズム*

概念は、すべての近隣頂点を訪問してから、近隣頂点の他の近隣頂点を訪問することです。

  • すべてのノードのステータスを「準備完了」として初期化します。
  • ソース頂点をキューに入れ、ステータスを「待機中」に変更します。
  • キューが空になるまで、次の2つの手順を繰り返します-
  • キューから最初の頂点を削除し、「Visited」としてマークします。
  • ステータスが「準備完了」である削除された頂点のすべてのネイバーをキューの後ろに追加します。 ステータスを「待機中」としてマークします。

問題

グラフ(ソース頂点は「a」)を取得し、BFSアルゴリズムを適用して走査順序を見つけましょう。

幅優先検索グラフ

ソリューション-

  • すべての頂点のステータスを「準備完了」に初期化します。
  • _a_をキューに入れて、ステータスを「待機中」に変更します。
  • キューから_a_を削除し、「訪問済み」としてマークします。
  • 「準備完了」状態の_a_のネイバー_b、d_、および_e_をキューの最後に追加し、「待機中」としてマークします。
  • キューから_b_を削除し、「Visited」としてマークし、キューの最後に「Ready」ネイバー_c_を配置し、_c_を「Waiting」としてマークします。
  • キューから_d_を削除し、「訪問済み」としてマークします。 「準備完了」状態のネイバーはありません。
  • キューから_e_を削除し、「訪問済み」としてマークします。 「準備完了」状態のネイバーはありません。
  • キューから_c_を削除し、「訪問済み」としてマークします。 「準備完了」状態のネイバーはありません。
  • キューは空なので停止します。

したがって、走査順序は-

$ a \ rightarrow b \ rightarrow d \ rightarrow e \ rightarrow c $

トラバースの代替順序は次のとおりです-

$ a \ rightarrow b \ rightarrow e \ rightarrow d \ rightarrow c $

または、$ a \ rightarrow d \ rightarrow b \ rightarrow e \ rightarrow c $

または、$ a \ rightarrow e \ rightarrow b \ rightarrow d \ rightarrow c $

または、$ a \ rightarrow b \ rightarrow e \ rightarrow d \ rightarrow c $

または、$ a \ rightarrow d \ rightarrow e \ rightarrow b \ rightarrow c $

  • BFSの適用*
  • 最短経路を見つける
  • 重み付けされていないグラフの最小スパニングツリー
  • GPSナビゲーションシステム
  • 無向グラフでのサイクルの検出
  • 1つの接続されたコンポーネント内のすべてのノードを見つける

複雑さの分析

$ G(V、E)$を$ | V | $個の頂点と$ | E | $個のエッジを持つグラフとします。 幅優先探索アルゴリズムがグラフ内のすべての頂点を訪れ、すべてのエッジをチェックする場合、その時間の複雑さは次のようになります-

O(| V | + | E |)。 O(| E |)

$ O(1)$と$ O(| V2 |)$の間で異なる場合があります

深さ優先検索

深さ優先探索(DFS)アルゴリズムは頂点$ v $から始まり、それまでに訪れたことのない隣接する頂点(xなど)に移動し、「訪問済み」としてマークし、$ x $の隣接する頂点で続行します。など。

いずれかの頂点で、すべての隣接する頂点にアクセスした場合、それは、以前に横断されていない隣接する頂点を持つ最初の頂点が見つかるまでバックトラックします。 次に、その頂点をトラバースし、訪問したすべての頂点をトラバースし、再びバックトラックする必要があるまで、隣接する頂点で続行します。 このようにして、初期頂点$ v $から到達可能なすべての頂点をトラバースします。

  • DFSアルゴリズム*

概念は、他の隣接頂点を訪問する前に、隣接頂点のすべての隣接頂点を訪問することです。

  • すべてのノードのステータスを「準備完了」として初期化する
  • ソース頂点をスタックに配置し、そのステータスを「待機中」に変更します
  • スタックが空になるまで、次の2つの手順を繰り返します-
  • スタックから頂点をポップし、「Visited」としてマークします
  • ステータスが「準備完了」である削除された頂点のすべての隣接ノードをスタックの一番上にプッシュします。 ステータスを「待機中」としてマークします。

問題

グラフ(ソースの頂点は「a」)を取得し、DFSアルゴリズムを適用して走査順序を見つけましょう。

深さ優先検索グラフ

溶液

  • すべての頂点のステータスを「準備完了」に初期化します。
  • スタックで_a_をプッシュし、ステータスを「待機中」に変更します。
  • _a_をポップし、「訪問済み」としてマークします。
  • a_の「準備完了」状態の隣人_e、d、および_b_をスタックの一番上にプッシュし、「待機中」としてマークします。
  • スタックから_b_をポップし、「Visited」としてマークし、その「Ready」ネイバー_c_をスタックにプッシュします。
  • スタックから_c_をポップし、「訪問済み」としてマークします。 「準備完了」の隣人はいません。
  • スタックから_d_をポップし、「訪問済み」としてマークします。 「準備完了」の隣人はいません。
  • スタックから_e_をポップし、「Visited」としてマークします。 「準備完了」の隣人はいません。
  • スタックは空です。 やめて

したがって、走査順序は-

$ a \ rightarrow b \ rightarrow c \ rightarrow d \ rightarrow e $

トラバースの代替順序は次のとおりです-

$ a \ rightarrow e \ rightarrow b \ rightarrow c \ rightarrow d $

または、$ a \ rightarrow b \ rightarrow e \ rightarrow c \ rightarrow d $

または、$ a \ rightarrow d \ rightarrow e \ rightarrow b \ rightarrow c $

または、$ a \ rightarrow d \ rightarrow c \ rightarrow e \ rightarrow b $

または、$ a \ rightarrow d \ rightarrow c \ rightarrow b \ rightarrow e $

複雑さの分析

$ G(V、E)$を$ | V | $個の頂点と$ | E | $個のエッジを持つグラフとします。 DFSアルゴリズムがグラフ内のすべての頂点を訪問し、すべてのエッジをチェックする場合、時間の複雑さは-

\ circleddash(| V | + | E |)

アプリケーション

  • グラフでのサイクルの検出
  • トポロジカルソートを見つけるには
  • グラフが二部かどうかをテストするには
  • 接続されたコンポーネントの検索
  • グラフの橋を見つける
  • グラフで双連結性を見つける
  • ナイトのツアーの問題を解決する
  • たった1つのソリューションでパズルを解く

木の紹介

  • ツリー*は、個々の要素またはノード間の階層関係を表す離散構造です。 親が2つ以下の子を持つツリーは、バイナリツリーと呼ばれます。

ツリーとそのプロパティ

定義-ツリーは、接続された非循環無向グラフです。 $ G $の頂点のすべてのペア間に一意のパスがあります。 N個の頂点を持つツリーには、$(N-1)$個のエッジが含まれます。 0度の頂点は、ツリーのルートと呼ばれます。 1次の頂点はツリーの葉ノードと呼ばれ、内部ノードの次数は少なくとも2です。

-以下はツリーの例です-

ツリー

木の中心とバイセンター

木の中心は、最小の離心率を持つ頂点です。 ツリー$ G $の頂点$ X $の離心率は、頂点$ X $とツリーの他の頂点との間の最大距離です。 最大の離心率は木の直径です。 ツリーの中心が1つだけの場合、それは中央ツリーと呼ばれ、ツリーの中心が1つだけの場合、バイセントラルツリーと呼ばれます。 すべてのツリーは、中央または双方向です。

木の中心と双心を見つけるアルゴリズム

  • ステップ1 *-指定されたツリーから次数1のすべての頂点を削除し、入射エッジも削除します。
  • ステップ2 *-単一の頂点またはエッジで結合された2つの頂点のいずれかが残るまで、ステップ1を繰り返します。 単一の頂点が残っている場合、それはツリーの中心であり、エッジで結合された2つの頂点が残っている場合、それはツリーのバイセンターです。
  • 問題1 *

次のツリーの中心/バイセンターを見つけます-

ツリー1

溶液

最初に、我々は次数1のすべての頂点を削除し、またそれらの入射エッジを削除し、次のツリーを取得します-

Tree1ソリューション

再び、我々は次数1のすべての頂点を削除し、またそれらの入射エッジを削除し、次のツリーを取得します-

頂点を削除するツリー1のソリューション

最後に、単一の頂点「c」を得て、アルゴリズムを停止します。 単一の頂点があるため、このツリーには1つの中心「c」があり、ツリーは中心ツリーです。

  • 問題2 *

次のツリーの中心/バイセンターを見つけます-

tree2

溶液

最初に、我々は次数1のすべての頂点を削除し、またそれらの入射エッジを削除し、次のツリーを取得します-

ツリー2ソリューション

再び、我々は次数1のすべての頂点を削除し、またそれらの入射エッジを削除し、次のツリーを取得します-

頂点を削除するツリー2ソリューション

最後に、2つの頂点「c」と「d」が残ったため、アルゴリズムを停止します。 エッジで結合された2つの頂点が残っているため、このツリーはバイセンター「cd」を持ち、ツリーはバイセントラルです。

ラベル付きの木

定義-ラベル付きツリーは、頂点に1〜nの一意の番号が割り当てられているツリーです。 一般式を推測するために、nの小さな値に対してそのようなツリーを手で数えることができます。 n個の頂点のラベル付きツリーの数は$ n ^ \ {n-2} $です。 グラフが同型であり、2つのツリーの対応するポイントが同じラベルを持つ場合、2つのラベル付きツリーは同型です。

2つの頂点を持つラベル付きツリー 3つの頂点を持つ3つのラベル付きツリー

ラベルなしの木

定義-ラベルのないツリーは、頂点に番号が割り当てられていないツリーです。 n個の頂点のラベル付きツリーの数は$ \ frac \ {(2n)!} \ {(n + 1)!n! } $(n ^ th ^カタロニア語番号)

ラベルのないツリー 3つの頂点のあるラベルのないツリー image:/discrete_mathematics/images/unlabeled_tree_4_vertex.jpg with unlabeled_tree_4_vertex.jpg頂点]

根付きツリー

根付きツリー$ G $は、ツリーのルートと呼ばれる特別なノードを持つ接続された非循環グラフであり、すべてのエッジはルートから直接または間接的に発生します。 順序付けされたルート付きツリーは、各内部頂点の子が順序付けられているルート付きツリーです。 根付きツリーのすべての内部頂点がm個以下の子を持つ場合、m-aryツリーと呼ばれます。 根付きツリーのすべての内部頂点に正確にm個の子がある場合、完全なm-aryツリーと呼ばれます。 $ m = 2 $の場合、ルートツリーはバイナリツリーと呼ばれます。

ルートツリー

二分探索ツリー

二分探索木は、次のプロパティを満たす二分木です-

  • 頂点$ Vの左サブツリーの$ X $、Value(X)\ le Value(V)$
  • 頂点$ Vの右サブツリーの$ Y $、Value(Y)\ ge Value(V)$

したがって、内部ノード$ V $の左サブツリーのすべての頂点の値は$ V $以下であり、内部ノード$ V $の右サブツリーのすべての頂点の値は$ V $以上です。 ルートノードから最も深いノードへのリンクの数は、バイナリ検索ツリーの高さです。

バイナリ検索ツリー

BSTでキーを検索するアルゴリズム

BST_Search(x, k)
if ( x = NIL or k = Value[x] )
   return x;
if ( k < Value[x])
   return BST_Search (left[x], k);
else
   return BST_Search (right[x], k)

バイナリ検索ツリーの複雑さ

Average Case Worst case
Space Complexity O(n) O(n)
Search Complexity O(log n) O(n)
Insertion Complexity O(log n) O(n)
Deletion Complexity O(log n) O(n)

離散数学-スパニングツリー

接続された無向グラフ$ G $のスパニングツリーは、$ G $のすべての頂点を最小限に含むツリーです。 グラフには、多数のスパニングツリーが含まれる場合があります。

スパンのグラフ スパニングツリー

最小スパニングツリー

重み付きの接続された無向グラフ$ G $のすべての可能なスパニングツリーの重み以下の割り当てられた重みを持つスパニングツリーは、最小スパニングツリー(MST)と呼ばれます。 スパニングツリーの重みは、スパニングツリーの各エッジに割り当てられたすべての重みの合計です。

最小スパニングツリー

クラスカルのアルゴリズム

Kruskalのアルゴリズムは、接続された重み付きグラフの最小スパニングツリーを見つける貪欲なアルゴリズムです。 すべての頂点を含むそのグラフのツリーを見つけ、ツリー内のすべてのエッジの合計重みは、考えられるすべてのスパニングツリー以下です。

アルゴリズム

  • ステップ1 *-指定されたグラフ$ G(V、E)$のすべてのエッジを、エッジの重みに従って昇順で配置します。
  • ステップ2 *-グラフから最小の重み付きエッジを選択し、これまでに形成されたスパニングツリーでサイクルを形成するかどうかを確認します。
  • ステップ3 *-サイクルがない場合、このエッジをスパニングツリーに含めます。それ以外の場合は破棄します。
  • ステップ4 *-スパニングツリーに$(V-1)$個のエッジが残るまで、ステップ2とステップ3を繰り返します。

問題

Kruskalのアルゴリズムを使用して、次のグラフGの最小スパニングツリーを検索するとします。

クラスカルの問題

溶液

上記のグラフから、次の表を作成します-

Edge No. Vertex Pair Edge Weight
E1 (a, b) 20
E2 (a, c) 9
E3 (a, d) 13
E4 (b, c) 1
E5 (b, e) 4
E6 (b, f) 5
E7 (c, d) 2
E8 (d, e) 3
E9 (d, f) 14

今、私たちはエッジの重みに関して昇順でテーブルを再配置します-

Edge No. Vertex Pair Edge Weight
E4 (b, c) 1
E7 (c, d) 2
E8 (d, e) 3
E5 (b, e) 4
E6 (b, f) 5
E2 (a, c) 9
E3 (a, d) 13
E9 (d, f) 14
E1 (a, b) 20

Kruskal頂点エッジの追加 Kruskal頂点エッジ1の追加 image:/discrete_mathematics/images2kvertex_adding_vertex_edge2を追加

最後の図で5つのエッジすべてを取得したので、アルゴリズムを停止します。これは最小スパニングツリーであり、その総重みは$(1 + 2 + 3 + 5 + 9)= 20 $です。

プリムのアルゴリズム

1930年に数学者であるVojtech JarnikとRobert Cによって発見されたPrimのアルゴリズム Primは、接続された重み付きグラフの最小全域木を見つける貪欲なアルゴリズムです。 すべての頂点を含むそのグラフのツリーを見つけ、ツリー内のすべてのエッジの合計重みは、考えられるすべてのスパニングツリー以下です。 プリムのアルゴリズムは、密なグラフでは高速です。

アルゴリズム

  • グラフからランダムに選択された単一の頂点で最小スパニングツリーを初期化します。
  • すべての頂点がツリーに含まれるまで、手順3と4を繰り返します。
  • まだツリーにない頂点にツリーを接続するエッジを選択します。これにより、エッジの重みが最小になり、エッジを含めることでサイクルが形成されません。
  • 選択したエッジとそれがツリーに接続する頂点を追加します。

問題

Primのアルゴリズムを使用して、次のグラフGの最小スパニングツリーを検索するとします。

Prim

溶液

ここでは、頂点「a」から始めて進みます。

prim 'Vertex a added prim' Vertex cb added [[File:/discrete_mathematics/prim_vertex_d_e_addtex’added.jpg%20]%20image:/discrete_mathematics/prim_vertex_f_added.jpg|prim 'Vertex f added]]

これは最小のスパニングツリーであり、その合計重みは$(1 + 2 + 3 + 5 + 9)= 20 $です。

ブール式と関数

ブール代数は論理の代数です。 0(False)と1(True)の2つの離散値を持つ変数を扱います。論理的に重要な操作。 シンボリックロジックを操作する最も早い方法は、ジョージブールによって発明され、その後ブール代数として知られるようになりました。

ブール代数は、スイッチング理論、基本的な電子回路の構築、デジタルコンピューターの設計に幅広く適用できるため、コンピューターサイエンスの不可欠なツールになりました。

ブール関数

  • ブール関数*は特別な種類の数学関数$ f:X ^ n \ rightarrow X $次数、ここで$ X = \ lbrace \ {0、1} \ rbrace $はブール領域で、nは非-負の整数。 ブール入力からブール出力を導出する方法について説明します。

-Let、$ F(A、B)= A’B ’$。 これは、ブール変数の順序付きペアのセットからセット$ \ lbrace \ {0、1} \ rbrace $への次数2の関数です。ここで、$ F(0、0)= 1、F(0、1)= 0 、F(1、0)= 0 $および$ F(1、1)= 0 $

ブール式

  • ブール式*は常にブール値を生成します。 ブール式は、ブール定数(TrueまたはFalse)、ブール変数、および論理接続詞の組み合わせで構成されます。 各ブール式はブール関数を表します。

-$ AB’C $はブール式です。

ブールID

二重補数法

$ \ sim(\ sim A)= A $

補則

$ A + \ sim A = 1 $(またはフォーム)

$A . \ sim A = 0 $(およびフォーム)

べき等法

$ A + A = A $(ORフォーム)

$A . A = A $(ANDフォーム)

アイデンティティ法

$ A + 0 = A $(ORフォーム)

$A . 1 = A $(およびフォーム)

支配法

$ A + 1 = 1 $(またはフォーム)

$A . 0 = 0 $(およびフォーム)

可換法

$ A + B = B + A $(ORフォーム)

$A. B = B A $(およびフォーム)

連想法

$ A (B + C)=(A + B) C $(ORフォーム)

$A. (B . C)=(A。 B) . C $(ANDフォーム)

吸収法

$A. (A + B)= A $

$ A +(A。 B)= A $

簡素化法

$A . (\ sim A + B)= A B$

$ A +(\ sim A。 B)= A + B $

分配法

$ A +(B。 C)=(A + B)。 (A + C)$

$A . (B + C)=(A。 B)+(A。 C)$

デモルガンの法則

$ \ sim(A。 B)= \ sim A + \ sim B $

$ \ sim(A + B)= \ sim A \ sim B $

正規形

ブール式の場合、2種類の正準形があります-

  • ミンタームの合計(SOM)フォーム
  • maxterms(POM)形式の積

Sumterm of Minterms(SOM)またはSum of Products(SOP)フォーム

mintermは、直接形式または補完形式のいずれかで取得されたすべての変数の積です。 ブール関数は、その1分項の合計として表現でき、関数の逆関数はその0分項の合計として表現できます。 したがって、

F(変数のリスト)= ∑(1-mintermインデックスのリスト)

and

F '(変数のリスト)= ∑(0最小項インデックスのリスト)

A B C Term Minterm
0 0 0 x’y’z’ m0
0 0 1 x’y’z m1
0 1 0 x’yz’ m2
0 1 1 x’yz m3
1 0 0 xy’z’ m4
1 0 1 xy’z m5
1 1 0 xyz’ m6
1 1 1 xyz m7

Let、$ F(x、y、z)= x 'y' z '+ x y' z + x y z '+ x y z $

または、$ F(x、y、z)= m_0 + m_5 + m_6 + m_7 $

したがって、

$ F(x、y、z)= \ sum(0、5、6、7)$

ここで、$ F(x、y、z)$の補数を見つけます

$ F '(x、y、z)= x' y z + x 'y' z + x 'y z' + x y 'z' $

または、$ F '(x、y、z)= m_3 + m_1 + m_2 + m_4 $

したがって、

$ F '(x、y、z)= \ sum(3、1、2、4)= \ sum(1、2、3、4)$

Product of Maxterms(POM)またはProduct of Sums(POS)フォーム

maxtermは、直接形式または補完形式で取得されたすべての変数の加算です。 ブール関数は、0-maxtermsの積として表現でき、関数の逆関数は、1-maxtermsの積として表現できます。 したがって、

F(変数のリスト)= $ \ pi $(0-maxtermインデックスのリスト)。

and

F '(変数のリスト)= $ \ pi $(1-maxtermインデックスのリスト)。

A B C Term Maxterm
0 0 0 x + y + z M0
0 0 1 x + y + z’ M1
0 1 0 x + y’ + z M2
0 1 1 x + y’ + z’ M3
1 0 0 x’ + y + z M4
1 0 1 x’ + y + z’ M5
1 1 0 x’ + y’ + z M6
1 1 1 x’ + y’ + z’ M7

$ F(x、y、z)=(x + y + z)とします。 (x + y + z ')。 (x + y '+ z)。 (x '+ y + z)$

または、$ F(x、y、z)= M_0。 M_1 M_2。 M_4$

したがって、

$ F(x、y、z)= \ pi(0、1、2、4)$

$ F (x、y、z)=(x + y '+ z')。 (x '+ y + z')。 (x '+ y' + z)。 (x '+ y' + z ')$

または、$ F(x、y、z)= M_3。 M_5 M_6。 M_7$

したがって、

$ F '(x、y、z)= \ pi(3、5、6、7)$

論理ゲート

ブール関数は、論理ゲートを使用して実装されます。 以下は、論理ゲートです-

NOTゲート

NOTゲートは、単一ビット入力を単一ビット出力に反転します。

A ~A
0 1
1 0

ANDゲート

ANDゲートは、すべての入力が高い場合にのみ高い出力を与える論理ゲートであり、そうでない場合は低い出力を与えます。 AND演算を示すためにドット(。)が使用されます。

A B A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

ORゲート

ORゲートは、少なくとも1つの入力が高い場合に高い出力を与える論理ゲートです。 OR演算を示すためにプラス(&plus;)が使用されます。

A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

NANDゲート

NANDゲートは、すべての入力が高い場合にのみ低い出力を与える論理ゲートであり、そうでない場合は高い出力を与えます。

A B ~(A.B)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

NORゲート

NORゲートは、両方の入力が低い場合に高い出力を与える論理ゲートであり、そうでない場合は低い出力を与えます。

A B ~(A+B)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

XOR(排他的OR)ゲート

XORゲートは、入力が異なる場合に高出力を提供する論理ゲートであり、そうでない場合は低出力を提供します。

A B A⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

X-NOR(排他的NOR)ゲート

EX-NORゲートは、入力が同じ場合に高出力を提供する論理ゲートであり、そうでない場合は低出力を提供します。

A B A X-NOR B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

ブール関数の簡素化

代数関数を使用した単純化

このアプローチでは、ブールIDを適用することにより、1つのブール式が最小化されて同等の式になります。

問題1

ブールアイデンティティを使用して、次のブール式を最小化-

F(A、B、C)= A'B + BC '+ BC + AB'C'

溶液

与えられた、$ F(A、B、C)= A’B + BC '+ BC + AB’C' $

または、$ F(A、B、C)= A’B (BC ' BC')+ BC + AB’C '$

[i等法により、BC '= BC' + BC ']

または、$ F(A、B、C)= A’B (BC ' BC)+(BC' + AB’C ')$

または、$ F(A、B、C)= A’B + B(C '+ C)+ C'(B + AB ')$

[分配法による]

または、$ F(A、B、C)= A’B + B.1 + C '(B + A)$

[(C '+ C)= 1および吸収則(B + AB')=(B + A)]

または、$ F(A、B、C)= A’B + B + C '(B + A)$

{空} [B.1 = B]

または、$ F(A、B、C)= B(A '+ 1)+ C'(B + A)$

または、$ F(A、B、C)= B.1 + C '(B + A)$

{空} [(A '+ 1)= 1]

または、$ F(A、B、C)= B + C '(B + A)$

{空} [As、B.1 = B]

または、$ F(A、B、C)= B + BC '+ AC' $

または、$ F(A、B、C)= B(1 + C ')+ AC' $

または、$ F(A、B、C)= B.1 + AC '$

[As、(1 + C ')= 1]

または、$ F(A、B、C)= B + AC '$

[As、B.1 = B]

したがって、$ F(A、B、C)= B + AC '$は最小化された形式です。

問題2

ブールアイデンティティを使用して、次のブール式を最小化-

F(A、B、C)=(A + B)(A + C)

溶液

与えられた、$ F(A、B、C)=(A + B)(A + C)$

または、$ F(A、B、C)= A.A + A.C + B.A + B.C $ [分配ルールの適用]

または、$ F(A、B、C)= A + A.C + B.A + B.C $ [I等法の適用]

または、$ F(A、B、C)= A(1 + C)+ B.A + B.C $ [分配法の適用]

または、$ F(A、B、C)= A + B.A + B.C $ [支配法の適用]

または、$ F(A、B、C)=(A + 1).A + B.C $ [分配法の適用]

または、$ F(A、B、C)= 1.A + B.C $ [支配法の適用]

または、$ F(A、B、C)= A + B.C $ [支配法の適用]

したがって、$ F(A、B、C)= A + BC $は最小化された形式です。

カルノーの地図

1953年にモーリスカルナウインによって導入されたカルノーマップ(Kマップ)は、ブール代数表現を単純化するために使用される真理値表のグリッドのような表現です。 カルノーマップには、異なる位置に0個と1個のエントリがあります。 ブール式を共通の要因とともにグループ化し、式から不要な変数を削除します。 Kマップでは、垂直または水平のセル境界を超えると、常に1つの変数のみが変更されます。

例1

任意の真理値表を以下に示します-

A B A operation B
0 0 w
0 1 x
1 0 y
1 1 z

今、私たちは上記の真理値表のkマップを作成します-

K-map 1

例2

次に、式のKマップを作成します-AB + A’B ’

K-map 2

Kマップを使用した単純化

K-mapは、隣接するセルを1つの用語に結合することにより、ブール式を簡素化するためのいくつかのルールを使用します。 ルールは以下のとおりです-

  • ルール1 *-ゼロを含むセルはグループ化できません。

K-マップルール1

間違ったグループ化

  • ルール2 *-グループには2n個のセル(nは1から始まる)を含める必要があります。

K-マップルール2

間違ったグループ化

  • ルール3 *-グループ化は水平または垂直でなければなりませんが、対角線であってはなりません。

K- map Rule3

間違った斜めのグループ化

K-マップルール3

適切な垂直グループ化

K-マップルール3

適切な水平グループ化

  • ルール4 *-グループは可能な限り広くカバーする必要があります。

K-マップルール4

不十分なグループ化

K-マップルール4

適切なグループ化

  • ルール5 *-セルの1つが他のセルとグループ化できない場合、それ自体がグループとして機能します。

K-マップルール5

適切なグループ化

  • ルール6 *-グループは重複する場合がありますが、グループはできるだけ少なくする必要があります。

K-マップルール6

適切なグループ化

  • ルール7 *-一番左のセルを一番右のセルとグループ化し、一番上のセルを一番下のセルとグループ化できます。

K-マップルール7

適切なグループ化

問題

Kマップを使用して、次のブール式を最小化-

F(A、B、C)= A'BC + A'BC '+ AB'C' + AB'C

溶液

各項はk-mapに入れられ、次のようになります-

K-map問題1

FのKマップ(A、B、C)

今、私たちは上記のルールに従って1のセルをグループ化します-

K-map問題2

FのKマップ(A、B、C)

$ A’B $と$ AB ’$と呼ばれる2つのグループがあります。 したがって、$ F(A、B、C)= A’B + AB ’= A \ oplus B $。 これは最小化された形式です。