Discrete-mathematics-propositional-logic
離散数学-命題論理
数学的論理の規則は、数学的ステートメントを推論する方法を指定します。 ギリシャの哲学者アリストテレスは、論理的推論の先駆者でした。 論理的推論は、数学の多くの分野、したがってコンピューターサイエンスの理論的基盤を提供します。 コンピューティングマシンの設計、人工知能、プログラミング言語のデータ構造の定義など、コンピューターサイエンスに多くの実用的なアプリケーションがあります。
- 命題論理*は、「真」と「偽」の真理値を割り当てることができるステートメントに関係しています。 目的は、これらのステートメントを個別にまたは複合的に分析することです。
前置詞論理–定義
命題は、真理値が「true」または真理値が「false」の宣言文の集まりです。 命題は命題変数と接続詞で構成されます。 命題変数は大文字（A、Bなど）で示します。 接続詞は命題変数を接続します。
命題のいくつかの例を以下に示します-
- 「Man is Mortal」、真理値「TRUE」を返します
- 「12 + 9 = 3 – 2」、真理値「FALSE」を返します
以下は命題ではありません-
- 「Aは2未満です」。 これは、Aの特定の値を指定しない限り、ステートメントが真か偽かを判断できないためです。
コネクティブ
命題論理では、一般に5つの接続詞を使用します-
- または（$ \ lor $）
- AND（$ \ land $）
- 否定/NOT（$ \ lnot $）
- 含意/if-then（$ \ rightarrow $）
- （$ \ Leftrightarrow $）の場合のみ。
- OR（$ \ lor $）*-命題変数AまたはBの少なくともいずれかが真である場合、2つの命題AおよびB（$ A \またはB $と表記）のOR演算は真です。
真理値表は次のとおりです-
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | True |
| False | True | True |
| False | False | False |
- AND（$ \ land $）*-命題変数AとBの両方が真の場合、2つの命題AおよびB（$ A \ land B $と記述）のAND演算は真です。
真理値表は次のとおりです-
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | False |
| False | True | False |
| False | False | False |
否定（$ \ lnot $）-命題A（$ \ lnot A $と表記）の否定は、Aが真の場合は偽、Aが偽の場合は真です。
真理値表は次のとおりです-
| A | ¬ A |
|---|---|
| True | False |
| False | True |
含意/if-then（$ \ rightarrow $）-含意$ A \ rightarrow B $は命題「if A、then B」です。 Aが真でBが偽の場合は偽です。 残りのケースは真実です。
真理値表は次のとおりです-
| A | B | A → B |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | False |
| False | True | True |
| False | False | True |
（$ \ Leftrightarrow $）-$ A \ Leftrightarrow B $の場合にのみ、pとqが同じ場合に真となる2条件論理結合です。 両方ともfalseまたは両方ともtrueです。
真理値表は次のとおりです-
| A | B | A ⇔ B |
|---|---|---|
| True | True | True |
| True | False | False |
| False | True | False |
| False | False | True |
トートロジー
トートロジーは、命題変数のすべての値に常に当てはまる式です。
例-証明$ \ lbrack（A \ rightarrow B）\ land A \ rbrack \ rightarrow B $はトートロジーです
真理値表は次のとおりです-
| A | B | A → B | (A → B) ∧ A | [( A → B ) ∧ A] → B |
|---|---|---|---|---|
| True | True | True | True | True |
| True | False | False | False | True |
| False | True | True | False | True |
| False | False | True | False | True |
$ \ lbrack（A \ rightarrow B）\ land A \ rbrack \ rightarrow B $のすべての値を見ることができるように、それはトートロジーです。
矛盾
矛盾とは、命題変数のすべての値に対して常に偽となる式です。
例-証明$（A \またはB）\ land \ lbrack（\ lnot A）\ land（\ lnot B）\ rbrack $は矛盾している
真理値表は次のとおりです-
| A | B | A ∨ B | ¬ A | ¬ B | (¬ A) ∧ ( ¬ B) | (A ∨ B) ∧ [( ¬ A) ∧ (¬ B)] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| True | True | True | False | False | False | False |
| True | False | True | False | True | False | False |
| False | True | True | True | False | False | False |
| False | False | False | True | True | True | False |
$（A \またはB）\ land \ lbrack（\ lnot A）\ land（\ lnot B）\ rbrack $のすべての値が「False」であることがわかりますが、これは矛盾です。
不測の事態
偶発事象は、命題変数のすべての値に対していくつかの真と偽の両方の値を持つ式です。
例-$（A \またはB）\ land（\ lnot A）$偶発性を証明する
真理値表は次のとおりです-
| A | B | A ∨ B | ¬ A | (A ∨ B) ∧ (¬ A) |
|---|---|---|---|---|
| True | True | True | False | False |
| True | False | True | False | False |
| False | True | True | True | True |
| False | False | False | True | False |
$（A \またはB）\ land（\ lnot A）$のすべての値に「True」と「False」の両方があることがわかりますが、これは偶発事象です。
命題の等価性
次の2つの条件のいずれかが成り立つ場合、2つのステートメントXとYは論理的に同等です-
- 各ステートメントの真理値表には同じ真理値があります。
- 二条件ステートメント$ X \ Leftrightarrow Y $はトートロジーです。
例-証明$ \ lnot（A \またはB）および\ lbrack（\ lnot A）\ land（\ lnot B）\ rbrack $は同等です
1 ^ st ^メソッドによるテスト（一致する真理値表）
| A | B | A ∨ B | ¬ (A ∨ B) | ¬ A | ¬ B | [(¬ A) ∧ (¬ B)] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| True | True | True | False | False | False | False |
| True | False | True | False | False | True | False |
| False | True | True | False | True | False | False |
| False | False | False | True | True | True | True |
ここで、$ \ lnot（A \またはB）と\ lbrack（\ lnot A）\ land（\ lnot B）\ rbrack $の真理値が同じであることがわかります。したがって、ステートメントは同等です。
2 ^ nd ^メソッドによるテスト（二条件性）
| A | B | ¬ (A ∨ B ) | [(¬ A) ∧ (¬ B)] | [¬ (A ∨ B)] ⇔ [(¬ A ) ∧ (¬ B)] |
|---|---|---|---|---|
| True | True | False | False | True |
| True | False | False | False | True |
| False | True | False | False | True |
| False | False | True | True | True |
$ \ lbrack \ lnot（A \またはB）\ rbrack \ Leftrightarrow \ lbrack（\ lnot A）\ land（\ lnot B）\ rbrack $はトートロジーなので、ステートメントは同等です。
逆、逆、および反陽性
含意/if-then $（\ rightarrow）$は条件文とも呼ばれます。 それは2つの部分を持っています-
- 仮説、p
- 結論、q
前述のように、これは$ p \ rightarrow q $として示されます。
条件付きステートメントの例-「宿題をすれば罰せられない」。ここでは、「宿題をする」が仮説であり、「罰せられない」が結論である、q。
逆-条件文の逆は、仮説と結論の両方の否定です。 ステートメントが「If p、then q」の場合、逆は「If not p、then not q」になります。 したがって、$ p \ rightarrow q $の逆は$ \ lnot p \ rightarrow \ lnot q $です。
例-「宿題をすれば罰せられない」の逆は「宿題をしなければ罰せられる」ということです。
コンバース-条件文のコンバースは、仮説と結論を交換することにより計算されます。 ステートメントが「If p、then q」の場合、逆は「If q、then p」になります。 $ p \ rightarrow q $の逆は、$ q \ rightarrow p $です。
例-「宿題をすれば罰せられない」の逆は「罰せられないなら宿題をする」です。
コントラポジティブ-条件のコントラポジティブは、逆ステートメントの仮説と結論を交換することにより計算されます。 ステートメントが「If p、then q」の場合、コントラポジティブは「if not q、then p」ではなくなります。 $ p \ rightarrow q $の反正は、$ \ lnot q \ rightarrow \ lnot p $です。
例-「宿題をすれば罰せられない」の反肯定は「罰せられたら宿題をしなかった」ということです。
二元性の原理
双対性の原則では、真のステートメントについては、ユニオンを交差点に（およびその逆）交換し、ユニバーサルセットをヌルセットに（およびその逆）交換することによって得られるデュアルステートメントも真であると述べています。 ステートメントのデュアルがステートメント自体である場合、それは self-dual ステートメントと呼ばれます。
例-$（A \ cap B）\ cup C $の双対は$（A \ cup B）\ cap C $
通常のフォーム
私たちは2つの標準形式で任意の命題を変換することができます-
- 連言標準形
- 選言標準形
連言標準形
複合ステートメントは、ORで接続された変数（含まれる変数の否定）のANDを演算することにより取得される場合、結合標準形になります。 集合演算に関しては、それは、Unionsに接続された変数間の交差によって得られる複合ステートメントです。
例
- $（A \ lor B）\ land（A \ lor C）\ land（B \ lor C \ lor D）$
- $（P \ cup Q）\ cap（Q \ cup R）$
選言標準形
複合ステートメントは、ANDで接続された変数（変数の否定を含む）のORを演算することによって取得される場合、選言標準形になります。 集合演算に関しては、交差点に接続された変数間でUnionによって取得される複合ステートメントです。
例
- $（A \ land B）\ lor（A \ land C）\ lor（B \ land C \ land D）$
- $（P \ cap Q）\ cup（Q \ cap R）$
