離散数学-確率

カウントの概念に密接に関連しているのは確率です。カードゲーム、スロットマシン、宝くじなど、偶然のゲームの結果を推測しようとすることがよくあります。つまり特定の結果が得られる可能性または確率を見つけようとします。

確率*は、イベントの発生の可能性を見つけることとして概念化できます。数学的には、ランダムなプロセスとその結果の研究です。確率の法則は、遺伝学、天気予報、世論調査、株式市場などのさまざまな分野に広く適用されます。

基本概念

確率論は17世紀にフランスの数学者、ブレーズパスカルとピエールドフェルマーによって発明されました。彼らは偶然の数学的問題を扱っていました。

確率の詳細に進む前に、いくつかの定義の概念を理解しましょう。

ランダム実験-すべての可能な結果が既知であり、正確な出力を事前に予測できない実験は、ランダム実験と呼ばれます。公正なコインを投げることは、ランダム実験の例です。

サンプルスペース-実験を実行するとき、すべての可能な結果の集合Sはサンプルスペースと呼ばれます。コインを投げると、サンプルスペースは$ S = \ left \\ {H、T \ right \} $

イベント-サンプル空間のサブセットはイベントと呼ばれます。コインを投げた後、トップに立つことはイベントです。

「確率」という言葉は、特定のイベントが発生する可能性を意味します。言えるのは、確率という考え方を使用して、それらが発生する可能性がどれだけ高いかです。

$ Probability \：of \：occurence \：of \：an \：event = \ frac \ {Total \：number \：of \：favourable \：results} \ {Total \：number \：of \：Outcomes} $

イベントの発生は0％から100％の間で変化するため、確率は0から1の間で変化します。

確率を見つける手順

ステップ1-実験のすべての可能な結果を計算します。

ステップ2-実験の好ましい結果の数を計算します。

ステップ3-対応する確率式を適用します。

コインを投げる

コインが投げられた場合、2つの可能な結果があります-ヘッド$（H）$またはテール$（T）$

したがって、結果の合計数= 2

したがって、先頭に頭$（H）$を取得する確率は1/2であり、末尾に$（T）$を取得する確率は1/2です。

サイコロを投げる

サイコロが投げられると、6つの可能性のある結果がトップになります-$ 1、2、3、4、5、6 $。

いずれかの数字の確率は1/6です

偶数を取得する確率は3/6 = 1/2です

奇数を取得する確率は3/6 = 1/2です

デッキからカードを取り出す

52枚のカードのデッキから、1枚のカードが選ばれた場合、エースが引かれる確率を見つけ、また、ダイヤモンドが引かれる確率を見つけます。

可能な結果の総数-52

エースであることの結果− 4

エースになる確率= 4/52 = 1/13

ダイヤモンドである確率= 13/52 = 1/4

確率公理

イベントの確率は常に0から1まで変化します。 $ [0 \ leq P（x）\ leq 1] $
不可能なイベントの場合、確率は0であり、特定のイベントの場合、確率は1です。
あるイベントの発生が別のイベントの影響を受けない場合、それらは相互に排他的であるか、互いに素と呼ばれます。 + $ A_1、A_2 …. A_n $が相互に排他的/互いに素なイベントの場合、$ P（A_i \ cap A_j）= \ emptyset $ for $ i \ ne j $および$ P（A_1 \ cup A_2 \ cup。 … A_n）= P（A_1）+ P（A_2）+ ….. P（A_n）$

確率の特性

補完的な2つのイベント$ x $と$ \ overline \ {x} $がある場合、補完的なイベントの確率は- + p（\ overline \ {x}）= 1-p（x）
2つの互いに素なイベントAおよびBの場合、2つのイベントの結合の確率- + $ P（A \ cup B）= P（A）+ P（B）$
イベントAが別のイベントBのサブセットである場合（つまり、 $ A \ subset B $）、Aの確率はBの確率以下です。したがって、$ A \ subset B $は$ P（A）\ leq p（B）$を意味します

条件付き確率

イベントBの条件付き確率は、イベントAが既に発生した場合にイベントが発生する確率です。これは、$ P（B | A）$と記述されます。

数学的に-$ P（B | A）= P（A \ cap B）/P（A）$

イベントAとBが相互に排他的である場合、イベントAの後のイベントBの条件付き確率は、イベントBの確率$ P（B）$になります。

問題1 *

国では、すべてのティーンエイジャーの50％が自転車を所有しており、すべてのティーンエイジャーの30％が自転車と自転車を所有しています。ティーンエイジャーが自転車を所有している場合、ティーンエイジャーが自転車を所有する可能性はどのくらいですか？

溶液

Aは自転車のみを所有している10代の若者のイベントであり、Bは自転車のみを所有している10代の若者のイベントであるとします。

したがって、与えられた問題から$ P（A）= 50/100 = 0.5 $および$ P（A \ cap B）= 30/100 = 0.3 $です。

$ P（B | A）= P（A \ cap B）/P（A）= 0.3/0.5 = 0.6 $

したがって、ティーンエイジャーが自転車を所有している場合、ティーンエイジャーが自転車を所有する確率は60％です。

問題2 *

クラスでは、全生徒の50％がクリケットをプレイし、全生徒の25％がクリケットとバレーボールをプレイします。学生がクリケットをする場合、学生がバレーボールをする確率はどのくらいですか？

溶液

Aはクリケットのみをプレーする学生のイベントであり、Bはバレーボールのみをプレーする学生のイベントであると仮定します。

したがって、与えられた問題から$ P（A）= 50/100 = 0.5 $および$ P（A \ cap B）= 25/100 = 0.25 $です。

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup/P \ lgroup A \ rgroup = 0.25/0.5 = 0.5 $

したがって、生徒がクリケットをする場合、生徒がバレーボールをする確率は50％です。

問題3 *

優れたラップトップ6台と欠陥のあるラップトップ3台が混在しています。欠陥のあるラップトップを見つけるために、それらはすべてランダムに1つずつテストされます。最初の2回のピックで両方の欠陥のあるラップトップを見つける可能性はどのくらいですか？

溶液

Aを最初のテストで欠陥のあるラップトップを見つけるイベントとし、Bを2番目のテストで欠陥のあるラップトップを見つけるイベントとします。

したがって、$ P（A \ cap B）= P（A）P（B | A）= 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $

ベイズの定理

定理-AとBが相互に排他的な2つのイベントである場合、$ P（A）$はAの確率、$ P（B）$はBの確率、$ P（A | B）$は確率AのBが真であると仮定します。 $ P（B | A）$は、Aが真である場合のBの確率であり、ベイズの定理は次のように述べます-

P（A | B）= \ frac \ {P（B | A）P（A）} \ {\ sum _ \ {i = 1} ^ \ {n} P（B | Ai）P（Ai）}

ベイズの定理の応用

サンプルスペースのすべてのイベントが相互に排他的なイベントである場合。
各$ A_i $の$ P（A_i \ cap B）$または各$ A_i $の$ P（A_i）$と$ P（B | A_i）$のいずれかがわかっている場合。

問題

3つのペンスタンドを検討してください。最初のペンスタンドには、2つの赤いペンと3つの青いペンが含まれています。 2つ目は3つの赤いペンと2つの青いペンがあります。 3番目のペンには4つの赤いペンと1つの青いペンがあります。各ペンスタンドが選択される確率は同じです。 1本のペンがランダムに描画される場合、それが赤ペンである確率はどのくらいですか？

溶液

$ A_i $をi ^ th ^ペンスタンドが選択されるイベントとします。

ここで、i = 1,2,3。

ペンスタンドを選択する確率は等しいため、$ P（A_i）= 1/3 $

Bを赤ペンが描画されるイベントとします。

最初のペンスタンドの5本のペンから赤ペンが選択される確率、

$ P（B | A_1）= 2/5 $

2番目のペンスタンドの5本のペンから赤ペンが選択される確率、

$ P（B | A_2）= 3/5 $

3番目のペンスタンドの5本のペンから赤ペンが選択される確率、

$ P（B | A_3）= 4/5 $

ベイズの定理によると、

$ P（B）= P（A_1）.P（B | A_1）+ P（A_2）.P（B | A_2）+ P（A_3）.P（B | A_3）$

$ = 1/3 2/5 \：+ \：1/3。 3/5 \：+ \：1/3。 4/5$

$ = 3/5 $

Discrete-mathematics-probability

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