Discrete-mathematics-operators-and-postulates

演算子と仮定

グループ理論は、 group と名付けられた代数構造を定義する数学と抽象代数の分岐です。 一般に、グループは要素のセットと、そのセット上の任意の2つの要素に対する操作で構成され、そのセットでも3番目の要素を形成します。

1854年、イギリスの数学者アーサー・ケイリーは、初めてグループの現代的な定義を与えました-

'__「それらはすべて異なっており、任意の2つの製品（順序は関係ありません）、またはそれらのいずれか1つの製品自体がセットに属するようなシンボルのセットは、グループ。 これらのシンボルは、一般に変換可能[可換]ではありませんが、結合可能です。_

この章では、集合論、群論、ブール代数の基礎を形成する*演算子と仮定*について学びます。

数学システムの要素のセットは、演算子のセットといくつかの仮定で定義できます。

要素のセットで定義される*二項演算子*は、要素の各ペアにそのセットの一意の要素を割り当てるルールです。 たとえば、セット$ A = \ lbrace 1、2、3、4、5 \ rbrace $が与えられた場合、$ \ otimes $は、操作$ c = a \ otimes b $の二項演算子であると指定できます。 $ a、b、cが\ in A $になるような、$（a、b）$のペアのcを見つけるためのルール。

数学システムの*仮定*は、ルールを推測できる基本的な仮定を形成します。 仮定は-

閉鎖

セット内の要素のペアごとに、演算子がそのセットから一意の要素を見つける場合、セットは二項演算子に関して閉じられます。

例

$ A = \ lbrace 0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とする

演算$ c = a \ ast b $、任意の$ a、b \ in A $、積$ c \ in A $に対して、このセットはバイナリ演算子の下で$（\ ast）$に閉じられます。

セットは、バイナリ演算子除算$（\ div）$で閉じられません。なぜなら、操作$ c = a \ div b $では、任意の$ a、b \ in A $では、積cはセットに含まれない可能性があるからです。 A. $ a = 7、b = 2 $の場合、$ c = 3.5 $です。 ここでは、$ a、b \ in A $ですが、$ c \ notin A $です。

連想法

セットAの二項演算子$ \ otimes $は、次のプロパティを保持している場合、結合的です-

$（x \ otimes y）\ otimes z = x \ otimes（y \ otimes z）$、ここで$ x、y、z \ in A $

例

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とする

演算子と$（）$は、3つの要素$ x、y、z \ in A $に対して、プロパティ$（x + y） z = x +（y + z）$が成り立つため、結合的です。

演算子マイナス$（-）$は結合性ではありません。

（x-y）-z \ ne x-（y-z）

可換法

セットAの二項演算子$ \ otimes $は、次のプロパティを保持している場合、可換です-

$ x \ otimes y = y \ otimes x $、ここで$ x、y \ in A $

例

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とする

演算子と$（+）$は可換です。これは、任意の2つの要素$ x、y \ in A $に対して、プロパティ$ x + y = y + x $が保持されるためです。

演算子マイナス$（-）$は結合性ではありません。

x-y \ ne y-x

分配法

セットAの2つのバイナリ演算子$ \ otimes $および$ \ circledast $は、次のプロパティが成り立つ場合に演算子$ \ circledast $に分布しています-

$ x \ otimes（y \ circledast z）=（x \ otimes y）\ circledast（x \ otimes z）$、ここで$ x、y、z \ in A $

例

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace $とする

$（）$およびplus $（）$への演算子は、任意の3つの要素$ x、y、z \ in A $に対して、プロパティ$ x *（y + z）=（x *y）（x z）$が成り立つ。

ただし、これらの演算子は$ *$よりも分布的ではありません。

x +（y* z）\ ne（x + y）*（x + z）

アイデンティティ要素

セットAは、要素$ e \ in A $が存在する場合、次のプロパティが保持されるように、Aの二項演算$ \ otimes $に関するアイデンティティ要素を持っています-

$ e \ otimes x = x \ otimes e $、ここで$ x \ in A $

例

$ Z = \ lbrace 0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とする

要素1は、操作$ *$に関するアイデンティティ要素です。これは、任意の要素$ x \ in Z $に対して、

1* x = x * 1

一方、操作に$（-）$を引いたアイデンティティ要素はありません

逆

集合Aが二項演算子$ \ otimes $に関して恒等要素$ e $を持っている場合、すべての要素$ x \ in A $ごとに別の要素$ y \ in A $が存在するときは常に逆であると言われます、次のプロパティが保持されるように-

x \ otimes y = e

例

$ A = \ lbrace \ dots -4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、\ dots \ rbrace $とする

演算に$（+）$および$ e = 0 $を加えた場合、$ x +（x）= 0 $なので、要素xの逆数は$（-x）$になります。

ド・モーガンの法則

De Morganの法則は、2つの（またはそれ以上の）セットの和集合と交差点の間の補完を補うという点で、一対の変換を提供します。 法律は-

（A \ cup B） '= A' \ cap B '

（A \ cap B） '= A' \ cup B '

例

$ A = \ lbrace 1、2、3、4 \ rbrace、B = \ lbrace 1、3、5、7 \ rbrace $と

ユニバーサルセット$ U = \ lbrace 1、2、3、\ dots、9、10 \ rbrace $

$ A '= \ lbrace 5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

$ B '= \ lbrace 2、4、6、8、9、10 \ rbrace $

$ A \ cup B = \ lbrace 1、2、3、4、5、7 \ rbrace $

$ A \ cap B = \ lbrace 1、3 \ rbrace $

$（A \ cup B） '= \ lbrace 6、8、9、10 \ rbrace $

$ A '\ cap B' = \ lbrace 6、8、9、10 \ rbrace $

したがって、$（A \ cup B） '= A' \ cap B '$

$（A \ cap B） '= \ lbrace 2、4、5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

$ A '\ cup B' = \ lbrace 2、4、5、6、7、8、9、10 \ rbrace $

したがって、$（A \ cap B） '= A' \ cup B '$であることがわかります。