Discrete-mathematics-group-theory
離散数学-グループ理論
セミグループ
バイナリ演算$ ´\ omicron´ $（合成）を伴う有限または無限集合$´S´ $は、以下の2つの条件を同時に保持する場合、セミグループと呼ばれます-
- Closure -Sのすべてのペア$（a、b）\に対して、セット$ S $に\ :( a \ omicron b）$が存在しなければなりません。
- 結合-すべての要素$ a、b、c \ in S、（a \ omicron b）\ omicron c = a \ omicron（b \ omicron c）$が成り立つ必要があります。
例
加算演算を伴う正の整数のセット（ゼロを除く）は、セミグループです。 たとえば、$ S = \ lbrace 1、2、3、\ dots \ rbrace $
ここで、クロージャプロパティは、すべてのペア$（a、b）\ in Sに関して保持され、（a + b）$はセットSに存在します。 たとえば、$ 1 + 2 = 3 \ in S] $
連想プロパティは、すべての要素$ a、b、c \ in S、（a + b）+ c = a （b + c）$にも適用されます。 たとえば、$（1 + 2） 3 = 1 +（2 + 3）= 5 $
モノイド
モノイドは、アイデンティティ要素を持つセミグループです。 集合Sの恒等要素（$ e $またはEで示される）は、すべての要素$ a \ in S $に対して、$（a \ omicron e）= a $のような要素です。 アイデンティティー要素は、ユニット要素*とも呼ばれます。 したがって、モノイドは3つのプロパティを同時に保持します- *Closure、Associative、Identity element 。
例
乗算演算を伴う正の整数のセット（ゼロを除く）はモノイドです。 $ S = \ lbrace 1、2、3、\ dots \ rbrace $
ここで、クロージャプロパティは、すべてのペア$（a、b）\ in Sに関して保持され、（a \ times b）$はセットSに存在します。 [たとえば、$ 1 \ times 2 = 2 \ in S $など]
連想プロパティは、すべての要素$ a、b、c \ in S、（a \ times b）\ times c = a \ times（b \ times c）$ [たとえば、$（1 \ times 2）\ times 3 = 1 \ times（2 \ times 3）= 6 $など]
Identityプロパティは、すべての要素$ a \ in S、（a \ times e）= a $にも適用されます[たとえば、$（2 \ times 1）= 2、（3 \ times 1）= 3 $など]。 ここで、ID要素は1です。
グループ
グループは、逆要素を持つモノイドです。 セットSの逆要素（Iで示される）は、各要素$ a \ in S $に対して、$（a \ omicron I）=（I \ omicron a）= a $のような要素です。 したがって、グループは4つのプロパティを同時に保持します。i）クロージャ、ii）連想、iii）アイデンティティ要素、iv）逆要素。 グループGの順序はGの要素の数であり、グループ内の要素の順序は最小正の整数nであるため、anはそのグループGの単位元です。
例
$ N \ times N $の非特異行列のセットは、行列乗算演算の下でグループを形成します。
2つの$ N \ times N $非特異行列の積も、クロージャプロパティを保持する$ N \ times N $非特異行列です。
行列の乗算自体は結合的です。 したがって、連想プロパティが保持されます。
$ N \ times N $非特異行列のセットには、恒等要素プロパティを保持する恒等行列が含まれています。
すべての行列が非特異であるため、それらはすべて非特異行列でもある逆要素を持っています。 したがって、逆特性も成り立ちます。
アーベルグループ
アーベル群Gは、要素ペア$（a、b）\ in G $が常に可換則を保持するグループです。 したがって、グループは5つのプロパティを同時に保持します。i）クロージャ、ii）連想、iii）アイデンティティ要素、iv）逆要素、v）可換。
例
加算演算を伴う正の整数のセット（ゼロを含む）はアーベル群です。 $ G = \ lbrace 0、1、2、3、\ dots \ rbrace $
ここで、クロージャプロパティは、すべてのペア$（a、b）\ in Sに関して保持され、（a + b）$はセットSに存在します。 [たとえば、$ 1 + 2 = 2 \ in S $など]
連想プロパティは、すべての要素$ a、b、c \ in S、（a + b）+ c = a （b + c）$ [たとえば、$（1 +2） 3 = 1 +（2 + 3）= 6 $など]
Identityプロパティは、すべての要素$ a \ in S、（a \ times e）= a $にも適用されます[たとえば、$（2 \ times 1）= 2、（3 \ times 1）= 3 $など]。 ここで、ID要素は1です。
可換プロパティは、すべての要素$ a \ in S、（a \ times b）=（b \ times a）$にも当てはまります[たとえば、$（2 \ times 3）=（3 \ times 2）= 3 $などに]
巡回グループとサブグループ
- サイクリックグループ*は、単一の要素で生成できるグループです。 巡回グループのすべての要素は、ジェネレータと呼ばれる特定の要素の累乗です。 循環グループは、ジェネレーター「g」によって生成され、グループの他のすべての要素がジェネレーター「g」の累乗として記述できるようになります。
例
乗算演算下の複素数$ \ lbrace 1、-1、i、-i \ rbrace $のセットは、巡回グループです。
2つのジェネレーターがあります-$ i $および$ –i $は$ i ^ 1 = i、i ^ 2 = -1、i ^ 3 = -i、i ^ 4 = 1 $、および$（– i）^ 1として= -i、（–i）^ 2 = -1、（–i）^ 3 = i、（–i）^ 4 = 1 $グループのすべての要素をカバーします。 したがって、これは循環グループです。
注-*サイクリックグループ*は常にアーベルグループですが、すべてのアーベルグループがサイクリックグループではありません。 加算中の有理数は循環的ではなくアーベル的です。
サブグループ Hは、4つのプロパティ（ Closure、Associative、Identity element 、および Inverse ）を同時に満たす場合、グループG（$ H≤G $で示される）のサブセットです。
グループG全体を含まないグループGのサブグループHは、適切なサブグループ（$ H <G $で示される）と呼ばれます。 サイクリックグループのサブグループはサイクリックであり、アーベルサブグループもアーベルです。
例
グループを$ G = \ lbrace 1、i、-1、-i \ rbrace $とする
次に、いくつかのサブグループは$ H_1 = \ lbrace 1 \ rbrace、H_2 = \ lbrace 1、-1 \ rbrace $、
これはサブグループではありません-$ H_3 = \ lbrace 1、i \ rbrace $ $（i）^ \ {-1} = -i $は$ H_3 $にないため
半順序セット（POSET）
部分的に順序付けられたセットは、再帰的、反対称的、推移的であるバイナリ関係を持つセットで構成されます。 「部分的に順序付けられたセット」はPOSETと略されます。
例
- $（\ le）$以下の2項演算の下での実数のセットはポーズです。 セット$ S = \ lbrace 1、2、3 \ rbrace $とし、操作は$ \ le $です+リレーションは$ \ lbrace（1、1）、（2、2）、（3、3）になります、（1、2）、（1、3）、（2、3）\ rbrace $ +この関係Rは、$ \ lbrace（1、1）、（2、2）、（3、3）\ rbraceのように再帰的です。 \ in R $ +この関係Rは、 $ \ lbrace（1、2）、（1、3）、（2、3）\ rbrace \ in R \ and \ \ lbrace（1、2）のように、非対称です。 、（1、3）、（2、3）\ rbrace∉R $ +この関係Rは、$ \ lbrace（1,2）、（2,3）、（1,3）\ rbrace \ in Rとしても推移的です。 $。 +したがって、これは poset です。
- 操作「到達可能性」の下の有向非巡回グラフの頂点セットはポーズです。
ハッセ図
ポーズのハッセ図は有向グラフであり、その頂点はそのポーズの要素であり、アークはポーズのペア（x、y）をカバーします。 ポーズ$ x <y $の場合、点xはハッセ図の点yよりも低く表示されます。 ポーズで$ x <y <z $の場合、矢印は暗黙的であるためxとzの間に表示されません。
例
$ \ lbrace 1、2、3のサブセットのポーズ\ rbrace = \ lbrace \ emptyset、\ lbrace 1 \ rbrace、\ lbrace 2 \ rbrace、\ lbrace 3 \ rbrace、\ lbrace 1、2 \ rbrace、\ lbrace 1 、3 \ rbrace、\ lbrace 2、3 \ rbrace、\ lbrace 1、2、3 \ rbrace \ rbrace $は、次のハッセ図で示されます-
線形順序セット
線形順序セットまたは合計順序セットは、要素のすべてのペアが比較可能な部分順序セットです。 $ a \ le b $または$ b \ le a $のいずれかが成り立つ場合、要素$ a、b \ in S $は比較可能と言われます。 三分法は、この合計順序セットを定義します。 完全に順序付けられたセットは、セットSのaおよびbのすべての値に対して、プロパティ$ \ lbrace a \ lor b、a \ land b \ rbrace = \ lbrace a、b \ rbrace $を持つ分布格子として定義できます。
例
\ subseteqによって順序付けられた$ \ lbrace a、b \ rbrace $のパワーセットは、パワーセット$ P = \ lbrace \ emptyset、\ lbrace a \ rbrace、\ lbrace b \ rbrace、\のすべての要素として完全に順序付けられたセットです。 lbrace a、b \ rbrace \ rbrace $は同等です。
非合計注文セットの例
演算xがyを除算する$ S = \ lbrace 1、2、3、4、5、6 \ rbrace $のセットは、完全に順序付けられたセットではありません。
ここで、すべての$（x、y）\ in S、x | y $は保持する必要がありますが、2 | 3、2は3を分割しないため、または3は2を分割しません。 したがって、完全に順序付けられたセットではありません。
格子
ラティスは、すべてのペア$ \ lbrace a、b \ rbrace \ in L $が最小の上限（$ a \またはb $で示される）と最大の下限（ $ a \ land b $で示されます）。 LUB $（\ lbrace a、b \ rbrace）$は、aとbの結合と呼ばれます。 GLB $（\ lbrace a、b \ rbrace）$は、aとbの出会いと呼ばれます。
例
この上の図は、$ \ lbrace a、b \ rbrace \ in L $の各ペアごとにGLBとLUBが存在するため、格子です。
上記の図は、$ GLB（a、b）$と$ LUB（e、f）$が存在しないため、格子ではありません。
他のいくつかの格子は以下で説明されています-
有界格子
格子Lは、要素1が最大で要素0が最小の場合、有界格子になります。
補完格子
ラティスLが有界ラティスであり、ラティス内のすべての要素に補数がある場合、ラティスLは補数格子になります。 $ \ exists x（x \ land x ’= 0 and x \ lor x’ = 1）$の場合、要素xには補数x ’があります
分配格子
ラティスが次の2つの配布プロパティを満たす場合、ラティスラティスと呼ばれます。
- $ a \ lor（b \ land c）=（a \ lor b）\ land（a \ lor c）$
- $ a \ land（b \ lor c）=（a \ land b）\ lor（a \ land c）$
モジュラー格子
ラティスが以下の特性を満たす場合、モジュラーラティスと呼ばれます。
$ a \ land（b \ lor（a \ land d））=（a \ land b）\ lor（a \ land d）$
格子の性質
べき等プロパティ
- $ a \ lor a = a $
- $ a \ land a = a $
吸収特性
- $ a \ lor（a \ land b）= a $
- $ a \ land（a \ lor b）= a $
可換性
- $ a \ lor b = b \ lor a $
- $ a \ land b = b \ land a $
連想プロパティ
- $ a \ lor（b \ lor c）=（a \ lor b）\ lor c $
- $ a \ land（b \ land c）=（a \ land b）\ land c $
格子の双対
ラティスの双対は、「$ \ lor $」および「$ \ land $」操作を交換することによって取得されます。
例
$ \ lbrack a \ lor（b \ land c）\ rbrack \ is \ \ lbrack a \ land（b \ lor c）\ rbrack $のデュアル
