離散数学-関数

関数*は、セットの各要素に、関連するセットの要素を1つだけ割り当てます。関数は、アルゴリズムの計算の複雑さの表現、オブジェクトのカウント、シーケンスと文字列の研究など、さまざまな分野でアプリケーションを見つけます。このパートの3番目と最後の章では、機能の重要な側面に焦点を当てます。

機能-定義

関数またはマッピング（$ f：X \ rightarrow Y $として定義）は、あるセットXの要素から別のセットYの要素への関係です（XおよびYは空でないセットです）。 Xはドメインと呼ばれ、Yは関数「f」のコドメインと呼ばれます。

関数「f」は、XとYの関係であり、各$ x \ in X $に対して、$（x、y）\ in R $となる一意の$ y \ in Y $が存在します。「x」はプリイメージと呼ばれ、「y」は関数fのイメージと呼ばれます。

関数は1対1または多対1であり、1対多ではありません。

単射/一対一機能

関数$ f：すべての$ b \ in B $に対して、$ f（s）= t $である$ a \ in A $が最大1つ存在する場合、\ rightarrow B $は単射関数または1対1関数です。。

つまり、$ a_1 \ ne a_2 $が$ f（a1）\ ne f（a2）$を意味する場合、関数 f は単射です。

例

$ f：N \ rightarrow N、f（x）= 5x $は単射です。
$ f：N \ rightarrow N、f（x）= x ^ 2 $は単射です。
$ f：R \ rightarrow R、f（x）= x ^ 2 $は単射ではなく、$（-x）^ 2 = x ^ 2 $

単射/オント機能

関数$ f：fの画像がその範囲に等しい場合、\ rightarrow B $は全射（上）です。同様に、$ b \ in B $ごとに、$ f（a）= b $となるような$ a \ in A $が存在します。これは、Bの任意のyに対して、$ y = f（x）$となるようなAの一部のxが存在することを意味します。

例

$ f：N \ rightarrow N、f（x）= x + 2 $は全射です。
$ f：R \ rightarrow R、f（x）= x ^ 2 $は、平方が負の実数を見つけることができないため、全射ではありません。

全単/1対1の特派員

関数$ f：\ rightarrow B $は、 f が単射および全射の両方である場合にのみ、全単射または1対1の対応です。

問題

関数$ f：R \ rightarrow R $が$ f（x）= 2x – 3 $で定義されていることは全単射関数であることを証明します。

説明-この関数が単射と全射の両方であることを証明する必要があります。

$ f（x_1）= f（x_2）$の場合、$ 2x_1 – 3 = 2x_2 – 3 $となり、$ x_1 = x_2 $を意味します。

したがって、fは*単射*です。

ここで、$ 2x – 3 = y $

したがって、$ x =（y + 5）/3 $はRに属し、$ f（x）= y $です。

したがって、fは*全射*です。

*f* は *surjective* と *injective* の両方であるため、 *f* は *bijective* と言えます。

関数の逆

1対1の対応する関数$ fの*逆*：A \ rightarrow B $は、関数$ gです：B \ rightarrow A $、次のプロパティを保持-

$ f（x）= y \ Leftrightarrow g（y）= x $

逆関数gが存在する場合、関数fは invertible と呼ばれます。

例

関数$ f：Z \ rightarrow Z、f（x）= x + 5 $は、逆関数$ g：Z \ rightarrow Z、g（x）= x-5 $を持つため、可逆です。
関数$ f：Z \ rightarrow Z、f（x）= x ^ 2 $は、$（-x）^ 2 = x ^ 2 $のように1対1ではないため、可逆ではありません。

機能の構成

2つの関数$ f：A \ rightarrow B $および$ g：B \ rightarrow C $は、合成$ g o f $を生成するために合成できます。これは、$（gof）（x）= g（f（x））$で定義されるAからCへの関数です

例

$ f（x）= x + 2 $および$ g（x）= 2x + 1 $とし、$（f o g）（x）$および$（g o f）（x）$を見つけます。

溶液

$（f o g）（x）= f（g（x））= f（2x + 1）= 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $

$（g o f）（x）= g（f（x））= g（x + 2）= 2（x + 2）+ 1 = 2x + 5 $

したがって、$（f o g）（x）\ neq（g o f）（x）$

作曲に関するいくつかの事実

fとgが1対1の場合、関数$（g o f）$も1対1です。
fとgが上にある場合、関数$（g o f）$も上にあります。
コンポジションは常に連想プロパティを保持しますが、可換プロパティは保持しません。

Discrete-mathematics-functions

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