Discrete-mathematics-discrete-mathematical-induction
数学的帰納法
- 数学的帰納法*は、結果を証明したり、自然数のステートメントを確立したりする手法です。 このパートでは、さまざまな例を使用してメソッドを説明します。
定義
- 数学的帰納法*は、すべての自然数に当てはまるステートメント、式、または定理を証明するために使用される数学的手法です。
以下に記載されているように、技術は、ステートメントを証明するために2つのステップが含まれます-
ステップ1（基本ステップ）-ステートメントが初期値に対して真であることを証明します。
ステップ2（帰納的ステップ）-ステートメントがn ^ th ^反復（または数値_n_）に対して真である場合、（n + 1）^ th ^ _反復（または数値_n + 1）。
どうやってするの
- ステップ1 *-ステートメントが真である初期値を検討します。 n =初期値の場合、ステートメントが真であることを示す必要があります。
- ステップ2 *-n = k_のすべての値に対してステートメントが真であると仮定します。 次に、ステートメントが_n = k + 1_について真であることを証明します。 実際に_n = k + 1_を2つの部分に分割します。一方の部分は_n = k（既に証明済み）で、もう一方の部分を証明しようとします。
問題1
$ 3 ^ n-1 $は、n = 1、2、…の2の倍数です
溶液
- ステップ1 *-$ n = 1の場合、3 ^ 1-1 = 3-1 = 2 $（2の倍数）
- ステップ2 *-$ n = k $に対して$ 3 ^ n-1 $が真であると仮定しましょう。したがって、$ 3 ^ k -1 $は真です（仮定です）。
$ 3 ^ \ {k + 1} -1 $も2の倍数であることを証明する必要があります
$ 3 ^ \ {k + 1}-1 = 3 \ times 3 ^ k-1 =（2 \ times 3 ^ k）+（3 ^ k-1）$
最初の部分$（2 \ times 3k）$は2の倍数であることが確実であり、2番目の部分$（3k -1）$も以前の仮定と同じです。
したがって、$ 3 ^ \ {k + 1} – 1 $は2の倍数です。
したがって、$ 3 ^ n – 1 $は2の倍数であることが証明されています。
問題2
$ 1 + 3 + 5 + … +（2n-1）= n ^ 2 $ $ n = 1、2、\ dots $
溶液
- ステップ1 *-$ n = 1、1 = 1 ^ 2 $の場合、ステップ1が満たされます。
- ステップ2 *-ステートメントが$ n = k $に当てはまると仮定します。
したがって、$ 1 + 3 + 5 + \ dots +（2k-1）= k ^ 2 $は真です（これは仮定です）
$ 1 + 3 + 5 + …を証明する必要があります +（2（k + 1）-1）=（k + 1）^ 2 $も成り立つ
$ 1 + 3 + 5 + \ dots +（2（k + 1）-1）$
$ = 1 + 3 + 5 + \ dots +（2k + 2-1）$
$ = 1 + 3 + 5 + \ dots +（2k + 1）$
$ = 1 + 3 + 5 + \ dots （2k-1）（2k + 1）$
$ = k ^ 2 +（2k + 1）$
$ =（k + 1）^ 2 $
したがって、ステップ1を満たす$ 1 + 3 + 5 + \ dots +（2（k + 1）-1）=（k + 1）^ 2 $ hold
したがって、$ 1 + 3 + 5 + \ dots +（2n-1）= n ^ 2 $が証明されます。
問題3
すべての自然数$ n $に対して$（ab）^ n = a ^ nb ^ n $が真であることを証明する
溶液
- ステップ1 *-$ n = 1の場合、（ab）^ 1 = a ^ 1b ^ 1 = ab $、したがって、ステップ1が満たされます。
- ステップ2 *-$ n = k $についてステートメントが真であると仮定しましょう。したがって、$（ab）^ k = a ^ kb ^ k $は真です（仮定です）。
$（ab）^ \ {k + 1} = a ^ \ {k + 1} b ^ \ {k + 1} $も成り立つことを証明する必要があります
与えられた、$（ab）^ k = a ^ k b ^ k $
または、$（ab）^ k（ab）=（a ^ k b ^ k）（ab）$ [両側に 'ab’を掛ける]
または、$（ab）^ \ {k + 1} =（aa ^ k）（bb ^ k）$
または、$（ab）^ \ {k + 1} =（a ^ \ {k + 1} b ^ \ {k + 1}）$
したがって、ステップ2が証明されます。
したがって、$（ab）^ n = a ^ nb ^ n $はすべての自然数nに対して真です。
強い誘導
強い帰納法は、数学的帰納法の別の形式です。 この帰納法により、命題関数$ P（n）$がすべての正の整数$ n $に対して真であることを、次の手順を使用して証明できます-
- ステップ1（基本ステップ）-初期命題$ P（1）$が真であることを証明します。
- ステップ2（帰納的ステップ）-条件文$ [P（1）\ land P（2）\ land P（3）\ land \ dots \ land P（k）]→P（k + 1 ）$は、正の整数$ k $に対して真です。
