Dip-fourier-series-and-transform
フーリエ級数と変換
周波数領域解析の最後のチュートリアルでは、フーリエ級数とフーリエ変換を使用して信号を周波数領域に変換することについて説明しました。
フーリエ
フーリエは1822年に数学者でした。 彼はフーリエ級数とフーリエ変換を行い、信号を周波数領域に変換します。
フーリエ級数
フーリエ級数は、周期的な信号を特定の重みで乗算すると、サインとコサインの合計に表現できること、さらに、周期的な信号を次の特性を持つ信号に分解できることを示しています。
- 信号はサインとコサインです
- 信号は互いに高調波です
絵で見ることができます
上記の信号では、最後の信号は実際には上記のすべての信号の合計です。 これがフーリエの考え方でした。
計算方法
周波数領域で見たように、画像を周波数領域で処理するには、まず画像を周波数領域に変換する必要があり、出力を逆変換して空間領域に変換する必要があります。 そのため、フーリエ級数とフーリエ変換の両方に2つの式があります。 1つは変換用で、もう1つは空間ドメインに変換します。
フーリエ級数
フーリエ級数はこの式で表すことができます。
この式で逆数を計算できます。
フーリエ変換
フーリエ変換は、曲線下の面積が有限である非周期信号も、特定の重みを掛けた後、正弦と余弦の積分に表現できると単純に述べています。
フーリエ変換には、画像圧縮（JPEG圧縮など）、フィルタリング、画像分析など、幅広い用途があります。
フーリエ級数と変換の違い
フーリエ級数とフーリエ変換の両方がFourierによって与えられますが、それらの違いは、フーリエ級数が周期信号に適用され、フーリエ変換が非周期信号に適用されることです
画像に適用されるもの
問題は、画像、フーリエ級数、またはフーリエ変換のどれに適用されるかです。 さて、この質問に対する答えは、画像が何であるかという事実にあります。 画像は非周期的です。 また、画像は非周期的であるため、フーリエ変換を使用して周波数領域に変換します。
離散フーリエ変換
画像を処理しているため、実際にはデジタル画像なので、デジタル画像の場合は離散フーリエ変換に取り組んでいます
上記の正弦波のフーリエ項を考えます。 これには3つのことが含まれます。
- 空間周波数
- 大きさ
- 段階
空間周波数は、画像の明るさに直接関係します。 正弦波の大きさは、コントラストに直接関係します。 コントラストは、最大ピクセル強度と最小ピクセル強度の差です。 フェーズには色情報が含まれます。
2次元離散フーリエ変換の式を以下に示します。
離散フーリエ変換は実際にはサンプリングされたフーリエ変換であるため、画像を示すいくつかのサンプルが含まれています。 上記の式で、f（x、y）は画像を示し、F（u、v）は離散フーリエ変換を示します。 2次元逆離散フーリエ変換の式を以下に示します。
逆離散フーリエ変換は、フーリエ変換を画像に変換します
この信号を考慮してください
ここで、FFT振幅スペクトルを計算してからシフトFFT振幅スペクトルを計算する画像が表示され、そのシフトスペクトルの対数を取得します。
