Digital-signal-processing-quick-guide
デジタル信号処理-信号定義
定義
情報を伝達するものはすべて、信号として呼び出すことができます。 時間、温度、圧力、または音声信号やビデオ信号などの独立変数によって変化する物理量として定義することもできます。
信号の特性（振幅、形状、位相、周波数など）が変化する動作プロセスは、信号処理として知られています。
注-メイン信号に干渉する不要な信号は、ノイズと呼ばれます。 したがって、ノイズも信号ですが、望ましくありません。
信号は、その表現と処理に従って、さまざまなカテゴリに分類できます。詳細については以下で説明します。
連続時間信号
連続時間信号は、連続した時間に沿って定義されるため、連続独立変数によって表されます。 連続時間信号は、しばしばアナログ信号と呼ばれます。
このタイプの信号は、振幅と時間の両方で連続性を示します。 これらは、各瞬間に値を持ちます。 正弦関数と余弦関数は、連続時間信号の最良の例です。
上記の信号は連続時間信号の例です。なぜなら、各瞬間に信号の値を取得できるからです。
離散時間信号
離散時間で定義される信号は、離散信号と呼ばれます。 したがって、すべての独立変数には個別の値があります。 したがって、それらは一連の数字として表されます。
音声信号とビデオ信号には、連続時間形式と離散時間形式の両方で表現する特権がありますが、特定の状況では、それらは同一です。 振幅も離散的な特性を示します。 これの完璧な例はデジタル信号です。その振幅と時間は両方とも離散的です。
上の図は、一定期間にわたる離散信号の離散振幅特性を示しています。 数学的には、これらのタイプの信号は次のように定式化できます。
ここで、_n_は整数です。
これは数値xのシーケンスであり、シーケンス内のn ^ th ^数値はx [n]として表されます。
デジタル信号処理-基本的なCT信号
システムをテストするには、通常、標準または基本信号が使用されます。 これらの信号は、多くの複雑な信号の基本的な構成要素です。 したがって、それらは信号とシステムの研究において非常に重要な役割を果たします。
単位インパルスまたはデルタ関数
条件$ \ delta（t）= \ lim _ \ {\ epsilon \ to \ infty} x（t）$を満たす信号は、単位インパルス信号として知られています。 この信号は、t = 0の場合は無限大になり、t≠0の場合はゼロになり、その曲線の下の領域は常に1になります。 デルタ関数は、t = 0でexcunit_impulse.jpgeptのどこでも振幅がゼロです。
単位インパルス信号の特性
- δ（t）は偶数信号です。
- δ（t）はエネルギーでも電力でもない（NENP）信号の例です。
- 単位インパルス信号の面積は次のように記述できます。
- 信号の重みまたは強度は次のように記述できます。
- 加重インパルス信号の面積は次のように書くことができます-
ユニットステップ信号
次の2つの条件を満たす信号、-
- $ U（t）= 1（when \ quad t \ geq 0）および$
- $ U（t）= 0（when \ quad t <0）$
単位ステップ信号として知られています。
t = 0で不連続性を示す特性があります。 不連続点では、信号値は信号値の平均によって与えられます。 この信号は、不連続点の直前と直後に取得されました（ギブの現象による）。
タイムスケールされた別のステップ信号にステップ信号を追加すると、結果は単一になります。 これは電力タイプの信号であり、電力の値は0.5です。 RMS（二乗平均平方根）値は0.707で、その平均値も0.5です。
ランプ信号
ステップ信号を統合すると、ランプ信号が生成されます。 r（t）で表されます。 ランプ信号は、条件$ r（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {t} U（t）dt = tU（t）$も満たします。 それはエネルギーでも電力（NENP）タイプの信号でもありません。
パラボラ信号
ランプ信号の積分は放物線信号につながります。 p（t）で表されます。 放物線信号も条件$ p（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {t} r（t）dt =（t ^ \ {2}/2）U（t）$を満たします。 それはエネルギーでも電力（NENP）タイプの信号でもありません。
シグナム機能
この関数は次のように表されます
これは、電源タイプの信号です。 その電力値とRMS（二乗平均平方根）値は両方とも1です。 signum関数の平均値はゼロです。
シンク関数
また、正弦の関数であり、次のように書かれています-
Sinc関数のプロパティ
- エネルギー型の信号です。
- $ Sinc（0）= \ lim _ \ {t \ to 0} \ frac \ {\ sin \ Pi t} \ {\ Pi t} = 1 $
- $ Sinc（\ infty）= \ lim _ \ {t \ to \ infty} \ frac \ {\ sin \ Pi \ infty} \ {\ Pi \ infty} = 0 $（sinπ∞の範囲は-1〜+1の間で変化しますしかし、無限大で割ったものはすべてゼロに等しい）
- $ \ sin c（t）= 0 ⇒ \ sin \ Pi t = 0 $の場合 + $ \ Rightarrow \ Pi t = n \ Pi $ + $ \ Rightarrow t = n（n \ neq 0）$
正弦波信号
本質的に連続的な信号は、連続信号として知られています。 正弦波信号の一般的な形式は
ここに、
A =信号の振幅
ω=信号の角周波数（ラジアンで測定）
φ=信号の位相角（ラジアンで測定）
この信号の傾向は、一定期間後に繰り返されるため、周期信号と呼ばれます。 信号の期間は次のとおりです。
正弦波信号の概略図を以下に示します。
長方形関数
信号は、次の条件を満たしている場合、矩形関数型と呼ばれます-
Y軸に関して対称であるため、この信号は偶数信号と呼ばれます。
三角パルス信号
次の条件を満たす信号は、三角信号と呼ばれます。
この信号は、Y軸に関して対称です。 したがって、偶数信号とも呼ばれます。
デジタル信号処理-基本的なDT信号
連続時間領域で基本信号をどのように表現できるかを見てきました。 基本信号が離散時間領域でどのように表されるかを見てみましょう。
ユニットインパルスシーケンス
離散時間領域ではδ（n）として示され、次のように定義できます。
ユニットステップ信号
離散時間単位ステップ信号は次のように定義されます。
上の図は、離散ステップ関数のグラフィカルな表現を示しています。
単位ランプ機能
離散単位ランプ関数は次のように定義できます-
上記の図は、個別のランプ信号のグラフ表示を示しています。
放物線関数
離散単位放物線関数はp（n）として示され、次のように定義できます。
単位ステップ関数に関しては、次のように記述できます。
上記の図は、放物線列のグラフィカルな表現を示しています。
正弦波信号
すべての連続時間信号は周期的です。 離散時間正弦波シーケンスは、周期的である場合とそうでない場合があります。 それらはωの値に依存します。 離散時間信号が周期的であるためには、角周波数ωは2πの有理倍数でなければなりません。
離散正弦波信号を上の図に示します。
正弦波信号の離散形式は、形式で表すことができます-
ここで、A、ω、およびφには通常の意味があり、nは整数です。 離散正弦波信号の期間は次のように与えられます-
ここで、Nとmは整数です。
DSP-CT信号の分類
連続時間信号は、信号に対して実行されるさまざまな条件または操作に従って分類できます。
偶数および奇数信号
偶数信号
信号は、次の条件を満たしていると言われます。
ここでの信号の時間反転は、振幅の変化を意味しません。 たとえば、以下に示す三角波を考えます。
三角信号は偶数信号です。 なぜなら、それはY軸について対称です。 Y軸の鏡像と言えます。
次の図に示すように、別の信号を検討してください。
上記の信号は、Y軸に関して対称であることがわかります。
奇数信号
次の条件を満たす場合、信号は奇数と呼ばれます
ここでは、時間反転と振幅変化の両方が同時に起こります。
上の図では、ステップ信号x（t）を見ることができます。 奇数信号かどうかをテストするには、まず時間反転を行います。 x（-t）および結果は図に示すとおりです。 次に、結果の信号の振幅を逆にします。 –x（-t）と、図に示す結果が得られます。
最初の波形と3番目の波形を比較すると、それらが同じであることがわかります。 x（t）= -x（-t）、これは基準を満たします。 したがって、上記の信号は奇数信号です。
偶数および奇数信号に関連するいくつかの重要な結果を以下に示します。
- 偶数×偶数=偶数
- 奇数×奇数=偶数
- 偶数×奇数=奇数
- 偶数±偶数=偶数
- 奇数±奇数=奇数
- 偶数±奇数=偶数でも奇数でもない
信号を偶数または奇数の形式に表現
偶数または奇数のタイプに直接分類できない信号もあります。 これらは、偶数信号と奇数信号の両方の組み合わせとして表されます。
ここで、x〜e〜（t）は偶数信号を表し、x〜o〜（t）は奇数信号を表します
And
例
信号の偶数部分と奇数部分を見つける$ x（n）= t + t ^ \ {2} + t ^ \ {3} $
解決策-x（n）を反転すると、
x（-n）= -t + t ^ \ {2} -t ^ \ {3}
今、式によると、偶数部分
x _ \ {e}（t）= \ frac \ {x（t）+ x（-t）} \ {2}
= \ frac \ {[（t + t ^ \ {2} + t ^ \ {3}）+（-t + t ^ \ {2} -t ^ \ {3}）]} \ {2}
= t ^ \ {2}
同様に、式によると、奇数部分は
x _ \ {0}（t）= \ frac \ {[x（t）-x（-t）]} \ {2}
= \ frac \ {[（t + t ^ \ {2} + t ^ \ {3}）-（-t + t ^ \ {2} -t ^ \ {3}）]} \ {2}
= t + t ^ \ {3}
周期的および非周期的信号
定期的な信号
定期的な信号は、一定の時間間隔の後に繰り返されます。 これを方程式形式で次のように示すことができます-
ここで、n =整数（1,2,3……）
T =基本時間（FTP）≠0および≠∞
基本時間（FTP）は、信号が周期的である時間の最小の正の固定値です。
振幅Aの三角信号が上の図に示されています。 ここでは、信号は1秒ごとに繰り返されます。 したがって、信号は周期的であり、そのFTPは1秒であると言えます。
非周期信号
簡単に言えば、周期的ではない信号は本質的に非周期的です。 明らかなように、これらの信号は間隔を置いても繰り返されません。
非周期信号は特定の形式に従いません。したがって、特定の数学的方程式でそれらを説明することはできません。
エネルギーおよび電力信号
信号は、含まれる総エネルギーが有限で非ゼロ（0 <E <∞）の場合に限り、エネルギー信号と呼ばれます。 したがって、すべてのエネルギータイプの信号について、正規化された合計信号は有限であり、ゼロではありません。
正弦波AC電流信号は、ある場合には正の半サイクルにあり、次の半サイクルでは負になるため、エネルギータイプ信号の完璧な例です。 したがって、その平均電力はゼロになります。
ロスレスコンデンサは、エネルギータイプ信号の完璧な例でもあります。これは、ソースに接続されると最適レベルまで充電され、ソースが除去されると、負荷を介して同量のエネルギーを消費し、平均電力をゼロ。
有限信号x（t）の場合、エネルギーはEとして記号化でき、次のように記述されます。
エネルギータイプ信号のスペクトル密度は、さまざまな周波数レベルで分布するエネルギー量を示します。
電力タイプ信号
信号は、正規化された平均電力が有限でゼロでない場合にのみ、電力タイプ信号と呼ばれます。 （0 <p <∞）。 パワータイプの信号の場合、正規化された平均パワーは有限であり、ゼロではありません。 ほぼすべての周期信号は電力信号であり、それらの平均電力は有限でゼロではありません。
数学的形式では、信号x（t）のパワーは次のように記述できます。
エネルギー信号と電力信号の違い
次の表は、エネルギー信号と電力信号の違いをまとめたものです。
| Power signal | Energy Signal |
|---|---|
| Practical periodic signals are power signals. | Non-periodic signals are energy signals. |
| Here, Normalized average power is finite and non-zero. | Here, total normalized energy is finite and non-zero. |
|
Mathematically, P = \ lim _ \ {T \ rightarrow \ infty} 1/T \ int _ \ {-T/2} ^ \ {+ T/2} x ^ \ {2}（t）dt a |
数学的には、 E = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {+ \ infty} x ^ \ {2}（t）dt |
| Existence of these signals is infinite over time. | These signals exist for limited period of time. |
| Energy of power signal is infinite over infinite time. | Power of the energy signal is zero over infinite time. |
解決された例
- 例1 *-信号のパワーを見つける$ z（t）= 2 \ cos（3 \ Pi t + 30 ^ \ {o}）+ 4 \ sin（3 \ Pi +30 ^ \ {o}）$
解決策-上記の2つの信号は、周波数項が互いに同じであり、位相差も同じであるため、互いに直交しています。 したがって、総電力は個々の電力の合計になります。
$ z（t）= x（t）+ y（t）$とする
ここで、$ x（t）= 2 \ cos（3 \ Pi t + 30 ^ \ {o}）$および$ y（t）= 4 \ sin（3 \ Pi +30 ^ \ {o}）$
$ x（t）のべき乗= \ frac \ {2 ^ \ {2}} \ {2} = 2 $
$ y（t）のべき乗= \ frac \ {4 ^ \ {2}} \ {2} = 8 $
したがって、$ P（z）= p（x）+ p（y）= 2 + 8 = 10 $…Ans。
- 例2 *-$ x（t）= t ^ \ {2} + j \ sin t $の信号が共役かどうかをテストしますか？
解決策-ここでは、t ^ 2 ^である実数部は偶数であり、$ \ sin t $である奇数部（虚数）は奇数です。 したがって、上記の信号は共役信号です。
- 例3 *-$ X（t）= \ sin \ omega t $が奇数信号か偶数信号かを確認します。
解決策-与えられた$ X（t）= \ sin \ omega t $
時間反転により、$ \ sin（-\ omega t）$が得られます
しかし、$ \ sin（-\ phi）=-\ sin \ phi $であることはわかっています。
したがって、
これは、信号が奇数になる条件を満たしています。 したがって、$ \ sin \ omega t $は奇数信号です。
DSP-DT信号の分類
連続時間信号と同様に、離散時間信号は信号の条件または操作に従って分類できます。
偶数および奇数信号
偶数信号
信号は、次の条件を満たす場合、偶数または対称であると言われます。
ここで、x（-1）= x（1）、x（-2）= x（2）およびx（-n）= x（n）であることがわかります。 したがって、それは偶数信号です。
奇数信号
信号は、次の条件を満たす場合に奇数と呼ばれます。
図から、x（1）= -x（-1）、x（2）= -x（2）およびx（n）= -x（-n）であることがわかります。 したがって、非対称信号と同様に奇数です。
周期的および非周期的信号
離散時間信号は、次の条件を満たしている場合にのみ周期的です-
ここで、x（n）信号はN周期後に繰り返されます。 これは、コサイン信号を考慮することで最もよく理解できます-
信号が周期的になるためには、次の条件が満たされる必要があります。
i.e. $ 2 \ pi f _ \ {0} N $は$ 2 \ pi $の整数倍です
離散正弦波信号の周波数は、$ 2 \ pi $の整数倍で分離されます。
エネルギーおよび電力信号
エネルギー信号
離散時間信号のエネルギーはEで示されます。 数学的には、次のように書くことができます。
$ x（n）$の個々の値を2乗して加算すると、エネルギー信号が得られます。 ここで、$ x（n）$はエネルギー信号であり、そのエネルギーは時間とともに有限です。つまり、$ 0 <E <\ infty $
電源信号
離散信号の平均電力はPとして表されます。 数学的には、これは次のように書くことができます。
ここで、電力は有限です。 0 <P <∞。 ただし、いくつかの信号がありますが、これらの信号はエネルギー型でも電力型でもありません。
DSP-その他の信号
他の信号があります。これは、それらに対して実行された操作の結果です。 いくつかの一般的なタイプの信号を以下で説明します。
共役信号
条件$ x（t）= x *（-t）$を満たす信号は、共役信号と呼ばれます。
$ x（t）= a（t）+ jb（t）$ … eqnとしましょう。 1
したがって、$ x（-t）= a（-t）+ jb（-t）$
そして、$ x *（-t）= a（-t）-jb（-t）$ … eqn。 2
条件により、$ x（t）= x *（-t）$
導出された方程式1と2の両方を比較すると、実数部は偶数であるのに対し、虚数部は奇数であることがわかります。 これは、信号が共役型になるための条件です。
共役反対称信号
条件$ x（t）= -x *（-t）$を満たす信号は、共役反対称信号と呼ばれます
$ x（t）= a（t）+ jb（t）$ … eqnとしましょう。 1
したがって、$ x（-t）= a（-t）+ jb（-t）$
そして、$ x *（-t）= a（-t）-jb（-t）$
$ -x *（-t）= -a（-t）+ jb（-t）$ … eqn 2
条件別$ x（t）= -x *（-t）$
ここで、共役信号に対して行ったのと同じように、両方の式をもう一度比較します。 ここでは、実数部が奇数で、虚数部が偶数であることがわかります。 これは、信号が共役非対称型になるための条件です。
例
与えられた信号を$ x（t）= \ sin t + jt ^ \ {2} $とします。
ここで、$ \ sin t $である実数部は奇数であり、$ t ^ 2 $である虚数部は偶数です。 したがって、この信号は共役反対称信号として分類できます。
どの機能も2つの部分に分けることができます。 1つの部分は共役対称であり、他の部分は共役反対称です。 したがって、任意の信号x（t）は次のように記述できます。
ここで、$ xcs（t）$は共役対称信号であり、$ xcas（t）$は共役反対称信号です
And
半波対称信号
信号が条件$ cx（t）= -x（t \ pm（\ frac \ {T _ \ {0}} \ {2}））$を満たす場合、半波対称信号と呼ばれます。 ここでは、信号の振幅反転と時間シフトが半分の時間で行われます。 半波対称信号の場合、平均値はゼロになりますが、状況が逆転する場合はそうではありません。
上の図Aに示すように、信号x（t）を考えます。 最初のステップは、信号を時間シフトして$ x [t-（\ frac \ {T} \ {2}）] $にすることです。 したがって、新しい信号は図Bに示すように変更されます。 次に、信号の振幅を逆にします。 図Cに示すように、$-x [t-（\ frac \ {T} \ {2}）] $にします。 この信号は、半時間のシフトと振幅の反転後に繰り返されるため、半波対称信号です。
直交信号
2つの信号x（t）およびy（t）は、次の2つの条件を満たす場合に直交すると言われます。
- 条件1 *-$ \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（t）y（t）= 0 $ [非周期信号の場合]
- 条件2 *-$ \ int x（t）y（t）= 0 $ [周期信号の場合]
奇数の高調波（3 ^ rd ^、5 ^ th ^、7 ^ th ^ …など）を含み、周波数が異なる信号は、互いに直交しています。
三角関数型信号では、サイン関数とコサイン関数も互いに直交します。提供される場合、それらは同じ周波数を持ち、同じ位相にあります。 同様に、DC（直流信号）と正弦波信号も互いに直交しています。 x（t）とy（t）が2つの直交信号で、$ z（t）= x（t）+ y（t）$の場合、z（t）のパワーとエネルギーは次のように記述できます。
例
信号を分析します：$ z（t）= 3 + 4 \ sin（2 \ pi t + 30 ^ 0）$
ここでは、信号はDC信号（3）と1つの正弦関数で構成されています。 そのため、特性上、この信号は直交信号であり、その中の2つのサブ信号は相互に直交しています。
DSP-信号シフトの操作
シフトとは、時間領域（Y軸周辺）または振幅領域（X軸周辺）での信号の移動を意味します。 したがって、シフトを時間シフトと振幅シフトという2つのカテゴリに分類できます。これらについては、後で説明します。
タイムシフト
時間シフトとは、時間領域で信号をシフトすることです。 数学的には、次のように書くことができます
このK値は正の場合もあれば、負の場合もあります。 k値の符号に従って、右シフトおよび左シフトと呼ばれる2種類のシフトがあります。
ケース1（K> 0）
Kがゼロより大きい場合、信号のシフトは時間領域で「左」に向かって行われます。 したがって、このタイプのシフトは、信号の左シフトとして知られています。
例
ケース2（K <0）
Kがゼロ未満の場合、信号のシフトは時間領域で右に向かって行われます。 したがって、このタイプのシフトは右シフトとして知られています。
例
以下の図は、信号を2だけ右にシフトすることを示しています。
振幅シフト
振幅シフトとは、振幅ドメイン（X軸周辺）で信号をシフトすることです。 数学的には、次のように表すことができます-
このK値は正でも負でもかまいません。 したがって、以下で説明する2種類の振幅シフトがあります。
ケース1（K> 0）
Kがゼロより大きい場合、信号のシフトはx軸の上方に向かって発生します。 したがって、このタイプのシフトは上方シフトとして知られています。
例
次のように与えられる信号x（t）を考えてみましょう。
新しい信号を次のように書くことができるように、K = + 1を取ったとします-
$ y（t）\ rightarrow x（t）+ 1 $したがって、y（t）は最終的に次のように記述できます。
ケース2（K <0）
Kがゼロより小さい場合、X軸の下方への信号のシフトが発生します。 そのため、信号の下方シフトと呼ばれます。
例
次のように与えられる信号x（t）を考えてみましょう。
K = -1を使用して、新しい信号を次のように記述できるようにします。
$ y（t）\ rightarrow x（t）-1 $したがって、y（t）は最終的に次のように記述できます。
DSP-信号スケーリングの操作
信号のスケーリングとは、定数に信号の時間または振幅を乗算することを意味します。
時間スケーリング
定数が時間軸に乗算される場合、それは時間スケーリングとして知られています。 これは数学的に次のように表すことができます。
$ x（t）\ rightarrow y（t）= x（\ alpha t）$または$ x（\ frac \ {t} \ {\ alpha}）$;ここで、α≠0
したがって、y軸は同じで、x軸の大きさは定数の符号（正または負）に応じて減少または増加します。 したがって、スケーリングは、以下で説明するように2つのカテゴリに分類することもできます。
時間圧縮
アルファがゼロより大きい場合、信号の振幅はアルファで除算されますが、Y軸の値は変わりません。 これは時間圧縮として知られています。
例
下の図のように示される信号x（t）を考えてみましょう。 alphaの値を2としてみましょう。 そのため、y（t）はx（2t）になります。これを図に示します。
明らかに、上の図から、y軸の時間の大きさは同じままですが、x軸の振幅は4から2に減少することがわかります。 したがって、これは時間圧縮の場合です。
時間の延長
時間を定数アルファで除算すると、信号のY軸の大きさがアルファ倍され、X軸の大きさはそのままになります。 したがって、これは時間拡張型信号と呼ばれます。
例
大きさ1の平方信号x（t）を考えてみましょう。 $ x（t）\ rightarrow y（t）\ rightarrow x（\ frac \ {t} \ {3}）$のように、定数3で時間スケールすると、信号の振幅は3倍に変更されます。下の図に示されています。
振幅スケーリング
定数と信号の振幅の乗算により、振幅スケーリングが発生します。 定数の符号に応じて、振幅スケーリングまたは減衰のいずれかになります。 方形波信号x（t）=Π（t/4）を考えてみましょう。
別の関数y（t）= 2Π（t/4）を定義するとします。 この場合、y軸の値は2倍になり、時間軸の値はそのままになります。 これを以下の図に示します。
z（t）= 0.5Π（t/4）であるz（t）として定義された別の矩形波関数を考えます。 ここで、関数z（t）の振幅はx（t）の振幅の半分になります。 時間軸は同じままで、振幅軸は半分になります。 これを以下の図に示します。
DSP-信号反転の操作
信号の時間が-1で乗算されるたびに、信号は反転します。 Y軸またはX軸に関する鏡像を生成します。 これは、信号の反転として知られています。
反転は、信号の時間または振幅に-1を乗算するかどうかの条件に基づいて、2つのタイプに分類できます。
時間反転
信号の時間に-1を掛けると、信号の時間反転と呼ばれます。 この場合、信号はY軸の鏡像を生成します。 数学的には、これは次のように書くことができます。
これは、次の例で最もよく理解できます。
上記の例では、Y軸を中心に信号が反転していることがはっきりとわかります。 したがって、これも時間スケーリングの一種ですが、ここではスケーリング量は常に（-1）です。
振幅反転
信号の振幅に-1を掛けると、振幅反転と呼ばれます。 この場合、信号はX軸の鏡像を生成します。 数学的には、これは次のように書くことができます。
次の例を考えてください。 振幅の反転がはっきりと見られます。
DSP-信号の差別化に関する操作
信号に対して実行される2つの非常に重要な操作は、微分と統合です。
分化
信号x（t）の微分は、時間に対するその信号の勾配表現を意味します。 数学的には、次のように表されます。
OPAMPの差別化の場合、この方法論は非常に役立ちます。 式を使用するのではなく、グラフィカルに信号を簡単に区別できます。 ただし、条件は、信号が長方形または三角形のいずれかでなければならないということです。これはほとんどの場合に発生します。
| Original Signal | Differentiated Signal |
|---|---|
| Ramp | Step |
| Step | Impulse |
| Impulse | 1 |
上記の表は、微分後の信号の状態を示しています。 たとえば、ランプ信号は微分後にステップ信号に変換されます。 同様に、単位ステップ信号はインパルス信号になります。
例
与えられた信号を$ x（t）= 4 [r（t）-r（t-2）] $とします。 この信号がプロットされると、以下の図の左側の信号のようになります。 今、私たちの目的は、与えられた信号を区別することです。
まず、与えられた方程式の微分を始めます。 微分後のランプ信号が単位ステップ信号を与えることがわかります。
したがって、結果の信号y（t）は次のように記述できます。
$ y（t）= \ frac \ {dx（t）} \ {dt} $
$ = \ frac \ {d4 [r（t）-r（t-2）]} \ {dt} $
$ = 4 [u（t）-u（t-2）] $
これで、この信号が最終的にプロットされます。これは、上の図の右側に示されています。
DSP-シグナル統合の操作
信号の統合とは、特定の時間領域でその信号を加算して、変更された信号を取得することです。 数学的には、これは次のように表すことができます-
ここでも、ほとんどの場合、数学的積分を行って結果の信号を見つけることができますが、長方形の形式でグラフィカルに描かれた信号については、すぐに連続して直接積分することができます。 差別化と同様に、ここでもテーブルを参照して結果をすばやく取得します。
| Original Signal | Integrated Signal |
|---|---|
| 1 | impulse |
| Impulse | step |
| Step | Ramp |
例
信号$ x（t）= u（t）-u（t-3）$を考えてみましょう。 以下の図-1に示します。 明らかに、ステップ信号であることがわかります。 次に、統合します。 表を参照すると、ステップ信号を積分するとランプ信号が得られることがわかります。
ただし、数学的に計算し、
$ y（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {t} x（t）dt $
$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {t} [u（t）-u（t-3）] dt $
$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {t} u（t）dt- \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {t} u（t-3）dt $
$ = r（t）-r（t-3）$
同じことが図-2に示すようにプロットされています。
DSP-信号畳み込みの操作
時間領域での2つの信号の畳み込みは、周波数領域での表現の乗算と同等です。 数学的には、2つの信号の畳み込みを次のように書くことができます。
畳み込みの手順
- 信号x〜1〜（t）を取得し、そこにt = pを入れて、x〜1〜（p）になるようにします。
- 信号x〜2〜（t）を取得してステップ1を実行し、x〜2〜（p）にします。
- 信号の折り畳み、つまり x〜2〜（-p）。
- 上記の信号の時間シフトを行うx〜2〜[-（p-t）]
- 次に、両方の信号の乗算を行います。 i.e. $ x _ \ {1}（p）.x _ \ {2} [−（p−t）] $
例
ステップ信号u（t）をそれ自体の種類で畳み込みましょう。
$ y（t）= u（t） *u（t）$
$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} [u（p）.u [-（p-t）] dp $
このtは、以下の図に示すように、ゼロより大きくても小さくてもかまいません。
したがって、上記の場合、結果は次の可能性で発生します
$ y（t）= \ begin \ {cases} 0、およびif \ quad t <0 \\\ int _ \ {0} ^ \ {t} 1dt、およびfor \ quad t> 0 \ end \ {cases} $
$ = \ begin \ {cases} 0、＆if \ quad t <0 \\ t、＆t> 0 \ end \ {cases} = r（t）$
畳み込みの特性
可換
畳み込みの順序は重要ではないと述べており、数学的に次のように示すことができます。
連想
それは、3つの信号を含む畳み込みの順序は何でもよいと述べています。 数学的には、次のように表示できます。
分配的
最初に2つの信号を追加してから、その畳み込みを3番目の信号に加えることができます。 これは、2つの信号を3番目の信号で個別に畳み込み、最後に追加することに相当します。 数学的には、これは次のように書くことができます。
Area
信号が2つの信号の畳み込みの結果である場合、信号の領域はそれらの個々の信号の乗算です。 数学的にこれは書くことができます
$ y（t）= x _ \ {1}* x _ \ {2}（t）$の場合
次に、y（t）の面積= x〜1〜（t）の面積x x〜2〜（t）の面積
スケーリング
2つの信号を未知の定数「a」にスケーリングし、畳み込みを行うと、結果の信号も同じ定数「a」に畳み込まれ、以下に示すようにその量で除算されます。
もし、$ x _ \ {1}（t）* x _ \ {2}（t）= y（t）$
次に、$ x _ \ {1}（at）* x _ \ {2}（at）= \ frac \ {y（at）} \ {a}、\ ne 0 $
ディレイ
信号y（t）が2つの信号x1（t）とx2（t）の畳み込みの結果であると仮定します。 2つの信号がそれぞれ時間t1とt2だけ遅延する場合、結果の信号y（t）は（t1 + t2）だけ遅延します。 数学的に、それは次のように書くことができます-
もし、$ x _ \ {1}（t）* x _ \ {2}（t）= y（t）$
次に、$ x _ \ {1}（t-t _ \ {1}）* x _ \ {2}（t-t _ \ {2}）= y [t-（t _ \ {1} + t _ \ {2}） ] $
解決された例
- 例1 *-信号u（t-1）とu（t-2）の畳み込みを見つけます。
解決策-与えられた信号はu（t-1）とu（t-2）です。 それらの畳み込みは以下に示すように行うことができます-
$ y（t）= u（t-1）* u（t-2）$
$ y（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {+ \ infty} [u（t-1）.u（t-2）] dt $
$ = r（t-1）+ r（t-2）$
$ = r（t-3）$
- 例2 *-2つの信号の畳み込みを見つける
*$ x _ \ {1}（n）= \ lbrace 3、-2、2 \ rbrace $*$ x _ \ {2}（n）= \ begin \ {cases} 2、＆0 \ leq n \ leq 4 \\ 0、＆x>他の場所\ end \ {cases} $
ソリューション-
x〜2〜（n）は$ x _ \ {2}（n）= \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $としてデコードできます
x〜1〜（n）には以前に$ = \ lbrace 3、-2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} $が与えられています
同様に、$ x _ \ {2}（z）= 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {-3} + 2Z ^ \ {-4} $
結果の信号、
$ X（Z）= X _ \ {1}（Z）X _ \ {2}（z）$
$ = \ lbrace 3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {- 3} + 2Z ^ \ {-4} \ rbrace $
$ = 6 + 2Z ^ \ {-1} + 6Z ^ \ {-2} + 6Z ^ \ {-3} + 6Z ^ \ {-4} + 6Z ^ \ {-5} $
上記の逆Z変換を行うと、結果の信号は次のようになります。
$ x（n）= \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $最初の原点
- 例3 *-次の2つの信号の畳み込みを決定します-
*$ x（n）= \ lbrace 2,1,0,1 \ rbrace $**$ h（n）= \ lbrace 1,2,3,1 \ rbrace $*ソリューション-
信号のZ変換を取得すると、
$ x（z）= 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-3} $
そして、$ h（n）= 1 + 2Z ^ \ {-1} + 3Z ^ \ {-2} + Z ^ \ {-3} $
2つの信号の畳み込みは、それらのZ変換の乗算を意味します
それは$ Y（Z）= X（Z）\ times h（Z）$
$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ \ {-1} + 3Z ^ \ {-2} + Z ^ \ {- 3} \ rbrace $
$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ \ {-1} + 8Z ^ \ {-2} + 6Z ^ \ {-3} + 3Z ^ \ {-4} + 3Z ^ \ {-5} + Z ^ \ { -6} \ rbrace $
逆Z変換を行うと、結果の信号は次のように記述できます。
$ y（n）= \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $
デジタル信号処理-静的システム
一部のシステムにはフィードバックがあり、一部のシステムにはフィードバックがありません。 フィードバックシステムを持たないものは、その出力は入力の現在の値のみに依存します。 当時のデータの過去の価値は存在しません。 これらのタイプのシステムは、静的システムとして知られています。 将来の価値にも依存しません。
これらのシステムには過去の記録がないため、メモリもありません。 したがって、すべての静的システムはメモリのないシステムです。 この概念をよりよく理解するために例を挙げましょう。
例
次のシステムが静的システムであるかどうかを確認しましょう。
- $ y（t）= x（t）+ x（t-1）$
- $ y（t）= x（2t）$
- $ y（t）= x = \ sin [x（t）] $
a）$ y（t）= x（t）+ x（t-1）$
ここで、x（t）は現在の値です。 時間の過去の値とは関係ありません。 したがって、それは静的なシステムです。 ただし、x（t-1）の場合、t = 0とすると、過去の値に依存するx（-1）になります。 したがって、静的ではありません。 したがって、ここでy（t）は静的システムではありません。
b）$ y（t）= x（2t）$
t = 2を代入すると、結果はy（t）= x（4）になります。 繰り返しますが、これは将来の価値に依存します。 したがって、静的システムでもありません。
c）$ y（t）= x = \ sin [x（t）] $
この式では、サイン関数を扱っています。 サイン関数の範囲は-1〜+1の範囲内です。 したがって、x（t）に代入する値が何であれ、-1から+1の間になります。 したがって、過去または将来の価値に依存していないと言えます。 したがって、それは静的なシステムです。
上記の例から、次の結論を引き出すことができます-
- タイムシフトがあるシステムは静的ではありません。
- 振幅シフトを持つシステムも静的ではありません。
- 統合と差別化のケースも静的ではありません。
デジタル信号処理-動的システム
システムがその瞬間の信号の過去および将来の値に依存している場合、それは動的システムとして知られています。 静的システムとは異なり、これらはメモリレスシステムではありません。 過去および将来の値を保存します。 そのため、メモリが必要です。 いくつかの例を通してこの理論をよりよく理解しましょう。
例
次のシステムが動的かどうかを調べます。
*a）$ y（t）= x（t + 1）$*この場合、方程式にt = 1を入力すると、将来の依存値であるx（2）に変換されます。 ここでは、入力として1を指定していますが、x（2）の値を示しているためです。 それは将来の依存信号なので、明らかに動的システムです。
*b）$ y（t）= Real [x（t）] $*この場合、どの値を入力しても、その実時間信号が表示されます。 将来の値や過去の値に依存しません。 したがって、動的システムではなく、静的システムです。
*c）$ y（t）= Even [x（t）] $*ここで、t = 1を代入すると、1つの信号はx（1）を示し、別の信号は過去の値であるx（-1）を示します。 同様に、t = -1とすると、1つの信号はx（-1）を表示し、別の信号は将来の値であるx（1）を表示します。 したがって、明らかに動的システムの場合です。
*d）$ y（t）= \ cos [x（t）] $*この場合、システムは余弦関数であるため、-1から+1の間の値の特定の領域を持ちます。 したがって、指定する値に関係なく、指定された制限内で結果が得られます。 したがって、それは静的なシステムです
上記の例から、次の結論を引き出すことができます-
- すべてのタイムシフトケース信号は動的信号です。
- 時間スケーリングの場合も、すべての信号は動的信号です。
- 統合ケース信号は動的信号です。
デジタル信号処理-因果システム
以前は、システムが将来の値や過去の値から独立して、静的になる必要があることがわかりました。 この場合、条件はほとんど変更なしでほぼ同じです。 ここで、システムが原因となるためには、将来の値のみから独立している必要があります。 つまり、過去の依存関係が原因でシステムが問題になることはありません。
因果システムは、実際的または物理的に実現可能なシステムです。 これをよりよく理解するために、いくつかの例を考えてみましょう。
例
次の信号を考えてみましょう。
*a）$ y（t）= x（t）$*ここで、信号はxの現在の値にのみ依存しています。 たとえば、t = 3を代入すると、その時点の結果のみが表示されます。 したがって、将来の価値に依存しないため、因果システムと呼ぶことができます。
*b）$ y（t）= x（t-1）$*ここで、システムは過去の値に依存します。 たとえば、t = 3を代入すると、式はx（2）になります。これは入力に対する過去の値です。 決して、将来の価値に依存します。 したがって、このシステムは因果システムでもあります。
*c）$ y（t）= x（t）+ x（t + 1）$*この場合、システムには2つの部分があります。 先ほど説明したように、x（t）の部分は現在の値のみに依存します。 そのため、問題はありません。 ただし、x（t + 1）の場合、t = 1にすると式は将来値であるx（2）に減少するため、明らかに将来値に依存します。 したがって、それは因果関係ではありません。
DSP-非因果システム
非因果システムは、因果システムとは正反対です。 システムがその時点の入力の将来の値に依存している場合、そのシステムは非因果的システムと呼ばれます。
例
いくつか例を挙げて、これをよりよく理解してみましょう。
*a）$ y（t）= x（t + 1）$*このシステムについても、因果システムですでに議論しています。 どんな入力に対しても、システムを将来の価値にまで縮小します。 たとえば、t = 2とすると、x（3）になります。これは将来の値です。 したがって、システムは非因果的です。
*b）$ y（t）= x（t）+ x（t + 2）$*この場合、x（t）は純粋に現在値に依存する関数です。 t = 3の場合、x（5）の値が得られるため、x（t + 2）関数は将来依存することを既に説明しました。 したがって、それは非因果関係です。
*c）$ y（t）= x（t-1）+ x（t）$*このシステムでは、指定された入力の現在および過去の値に依存します。 代入する値が何であれ、将来の依存関係を示すことはありません。 明らかに、それは非因果的なシステムではありません。むしろ、因果システムです。
DSP-反因果システム
反因果システムは、非因果システムのほんの少し修正されたバージョンです。 システムは、入力の将来の値のみに依存します。 現在または過去の値に依存しません。
例
次のシステムが反因果的かどうかを調べます。
*a）$ y（t）= x（t）+ x（t-1）$*システムには2つのサブ機能があります。 1つのサブ関数x（t + 1）は入力の将来の値に依存しますが、別のサブ関数x（t）は現在のみに依存します。 システムは将来価値に加えて現在価値にも依存しているため、このシステムは反因果ではありません。
*b）$ y（t）= x（t + 3）$*上記のシステムを分析すると、システムはシステムの将来の値のみに依存していることがわかります。 t = 0とすると、x（3）になります。これは将来の値です。 このシステムは、反因果システムの完璧な例です。
デジタル信号処理-線形システム
線形システムは、重ね合わせの法則に従います。 この法則は、システムの線形性を証明するために必要かつ十分な条件です。 これとは別に、システムは2種類の法則の組み合わせです-
- 加法性の法則
- 均一性の法則
上の図には、均一性の法則と相加性の法則の両方が示されています。 ただし、システムが線形であるかどうかを確認する他の条件がいくつかあります。
条件は-
- 入力がゼロの場合、出力はゼロでなければなりません。
- システムに非線形演算子が存在しないようにする必要があります。
非線形演算子の例-
（a）三角演算子-Sin、Cos、Tan、Cot、Sec、Cosecなど。
（b）指数、対数、モジュラス、平方、キューブなど。
（c）sa（i/p）、Sinc（i/p）、Sqn（i/p）など。
入力xまたは出力yのいずれかに、これらの非線形演算子を含めることはできません。
例
次のシステムが線形かどうかを調べてみましょう。
*a）$ y（t）= x（t）+ 3 $*このシステムは、最初の条件に違反するため、線形システムではありません。 入力をゼロとして、x（t）= 0にすると、出力はゼロになりません。
*b）$ y（t）= \ sin tx（t）$*このシステムでは、入力をゼロとして指定すると、出力はゼロになります。 したがって、最初の条件は明らかに満たされています。 繰り返しますが、x（t）に適用された非線形演算子はありません。 したがって、2番目の条件も満たされます。 したがって、システムは線形システムです。
*c）$ y（t）= \ sin（x（t））$*上記のシステムでは、x（t）= 0を入力すると、出力もsin（0）= 0になるため、最初の条件が満たされます。 ただし、x（t）を操作する非線形演算子があるため、2番目の条件は満たされません。 したがって、システムは線形ではありません。
DSP-非線形システム
このシステムを定義したい場合、線形ではないシステムは非線形システムであると言えます。 この場合、明らかに、線形システムで違反されているすべての条件が満たされる必要があります。
条件
- 適用される入力がゼロの場合、出力はゼロであってはなりません。
- 任意の非線形演算子を入力または出力に適用して、システムを非線形にすることができます。
例
与えられたシステムが線形か非線形かを調べるため。
*a）$ y（t）= e ^ \ {x（t）} $*上記のシステムでは、入力をゼロにすると出力が1になるため、最初の条件が満たされます。 さらに、指数非線形演算子が入力に適用されます。 明らかに、これは非線形システムの場合です。
*b）$ y（t）= x（t + 1）+ x（t-1）$*上記のタイプのシステムは、過去と将来の両方の価値を扱います。 ただし、入力をゼロにする場合、その値は存在しません。 したがって、入力がゼロの場合、入力の時間スケールおよび時間シフトされたバージョンもゼロになり、最初の条件に違反します。 繰り返しますが、非線形演算子は存在しません。 したがって、2番目の条件にも違反します。 明らかに、このシステムは非線形システムではありません。むしろそれは線形システムです。
DSP-時不変システム
時不変システムの場合、出力と入力はある時間単位だけ遅延する必要があります。 入力で提供される遅延は、時間不変システムの出力に反映される必要があります。
例
*a）$ y（T）= x（2T）$*上記の式の場合、最初にシステムを通過し、次に時間遅延を通過します（図の上部に示すように）。出力は$ x（2T-2t）$になります。 現在、同じ式が最初に時間遅延を通過し、次にシステムを通過します（図の下の部分を参照）。 出力は$ x（2T-t）$になります。
したがって、システムは時不変システムではありません。
*b）$ y（T）= \ sin [x（T）] $*信号が最初にシステムを通過し、次に時間遅延プロセスを通過した場合、出力は$ \ sin x（T-t）$になります。 同様に、システムが最初に時間遅延を通過し、次にシステムを通過すると、出力は$ \ sin x（T-t）$になります。 両方の出力が同じであることがはっきりとわかります。 したがって、システムは時不変です。
DSP-時変システム
時変システムの場合も、出力と入力はある時定数で遅延する必要がありますが、入力での遅延は出力で反映されません。 すべての時間スケーリングのケースは、時変システムの例です。 同様に、システム関係の係数が時間の関数である場合、システムも時間バリアントです。
例
*a）$ y（t）= x [\ cos T] $*上記の信号が最初にシステムを通過してから時間遅延を通過した場合、出力は$ x \ cos（T-t）$になります。 最初に遅延時間を経てからシステムを通過すると、$ x（\ cos T-t）$になります。 出力が同じではないため、システムは時間的に変化します。
*b）$ y（T）= \ cos T.x（T）$*上記の式が最初にシステムを通過してから時間遅延を通過した場合、出力は$ \ cos（T-t）x（T-t）$になります。 ただし、式が最初に時間遅延を通過し、次にシステムを通過した場合、出力は$ \ cos T.x（T-t）$になります。 出力が同じではないため、明らかにシステムは時間的に変化します。
デジタル信号処理-安定したシステム
安定したシステムは、BIBO（有界出力の有界入力）条件を満たす。 ここで、有界とは振幅が有限であることを意味します。 安定したシステムの場合、出力はすべての瞬間において、境界または有限である必要があり、有限または境界入力である必要があります。
有界入力のいくつかの例は、サイン、コサイン、DC、シグナム、および単位ステップの関数です。
例
*a）$ y（t）= x（t）+ 10 $*ここで、一定の制限された入力に対して、一定の制限された出力、つまり $ x（t）= 2、y（t）= 12 $を置くと、自然界に制限されます。 したがって、システムは安定しています。
*b）$ y（t）= \ sin [x（t）] $*与えられた式では、正弦関数には値の明確な境界があり、-1から+1の間にあることがわかります。 したがって、x（t）で代入する値に関係なく、境界内の値を取得します。 したがって、システムは安定しています。
デジタル信号処理-不安定なシステム
不安定なシステムはBIBOの条件を満たしません。 したがって、制限された入力の場合、不安定なシステムの場合には制限された出力を期待できません。
例
*a）$ y（t）= tx（t）$*ここで、有限の入力に対して、有限の出力を期待することはできません。 たとえば、$ x（t）= 2 \ Rightarrow y（t）= 2t $を配置する場合。 tの値がわからないため、これは有限値ではありません。 だから、それはどこからでも及ぶことができます。 したがって、このシステムは安定していません。 不安定なシステムです。
*b）$ y（t）= \ frac \ {x（t）} \ {\ sin t} $*前に説明したように、サイン関数の範囲は-1から+1までです。しかし、ここでは、分母に存在しています。 したがって、最悪のシナリオでは、t = 0に設定して正弦関数がゼロになると、システム全体が無限になります。 したがって、このタイプのシステムはまったく安定していません。 明らかに、これは不安定なシステムです。
DSP-システムプロパティの解決例
- 例1 *-$ y（t）= x *（t）$が線形か非線形かを確認します。
ソリューション-関数は入力の共役を表します。 これは、均質性の第一法則と加法性の法則、または2つの規則のいずれかによって検証できます。 ただし、ルールを使用した検証ははるかに簡単なので、その方法を使用します。
システムへの入力がゼロの場合、出力もゼロになる傾向があります。 したがって、最初の条件が満たされます。 入力でも出力でも使用される非線形演算子はありません。 したがって、システムは線形です。
- 例2 *-$ y（t）= \ begin \ {cases} x（t + 1）、＆t> 0 \\ x（t-1）、＆t \ leq 0 \ end \ {cases}かどうかを確認します$は線形または非線形です
解決策-明らかに、時間がゼロ以下になると、入力がゼロになることがわかります。 したがって、ゼロ入力では出力もゼロであり、最初の条件が満たされていると言えます。
繰り返しますが、入力にも出力にも非線形演算子は使用されていません。 したがって、システムは線形です。
- 例3 *-$ y（t）= \ sin t.x（t）$が安定しているかどうかを確認します。
解決策-x（t）の値を3としているとします。 ここで、サイン関数はそれに乗算され、サイン関数の最大値と最小値は-1から+1の間で変化します。
したがって、関数全体の最大値と最小値も-3〜+3の間で変化します。 したがって、システムは安定しているのは、ここでは制限された出力に対して制限された入力を取得しているからです。
DSP-Z変換の概要
エネルギーおよび電力信号用の離散時間フーリエ変換（DTFT）が存在します。 Z変換は、エネルギーまたはパワー（NENP）タイプの信号に対しても、ある程度までしか存在しません。 置換$ z = e ^ \ {jw} $は、絶対加算可能な信号の場合のみ、Z変換からDTFT変換に使用されます。
だから、べき級数の離散時間信号x（n）のZ変換は次のように書くことができます-
上記の方程式は、両側Z変換方程式を表します。
一般的に、信号がZ変換されるとき、それは次のように表すことができます-
または$ x（n）\ longleftrightarrow X（Z）$
連続時間信号の場合、ラプラス変換が使用されるため、Z変換は必要ありません。 ただし、離散時間信号はZ変換のみで分析できます。
収束領域
収束領域は、Z平面の複素変数Zの範囲です。 信号のZ変換は有限または収束的です。 したがって、ROCはZの値のセットを表し、X（Z）の値は有限です。
ROCのプロパティ
- ROCにはポールは含まれません。
- 右側の信号の場合、ROCはZ平面の円の外側になります。
- 左側の信号の場合、ROCはZ平面の円の内側になります。
- 安定性のために、ROCにはZ平面の単位円が含まれています。
- 両面信号の場合、ROCはZ平面のリングです。
- 有限時間信号の場合、ROCはZ平面全体です。
Z変換は、以下によって一意に特徴付けられます-
- X（Z）の表現
- X（Z）のROC
シグナルとそのROC
| x(n) | X(Z) | ROC |
|---|---|---|
| $\delta(n)$ | $1$ | Entire Z plane |
| $U(n)$ | $1/(1-Z^\{-1})$ | Mod(Z)>1 |
| $a^nu(n)$ | $1/(1-aZ^\{-1})$ | Mod(Z)>Mod(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $1/(1-aZ^\{-1})$ | Mod(Z)<Mod(a) |
| $na^nu(n)$ | $aZ\{-1}/(1-aZ\{-1})^2$ | Mod(Z)>Mod(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $aZ\{-1}/(1-aZ\{-1})^2$ | Mod(Z)<Mod(a) |
| $U(n)\cos \omega n$ | $(Z^2-Z\cos \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod(Z)>1 |
| $U(n)\sin \omega n$ | $(Z\sin \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod(Z)>1 |
例
$ x（n）= \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $で与えられる信号のZ変換とROCを見つけましょう。ここで、系列の原点は3です。
解決策-持っている式を適用する-
$ X（z）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）Z ^ \ {-n} $
$ = \ sum _ \ {n = -1} ^ 3 x（n）Z ^ \ {-n} $
$ = x（-1）Z + x（0）+ x（1）Z ^ \ {-1} + x（2）Z ^ \ {-2} + x（3）Z ^ \ {-3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ \ {-1} + 9Z ^ \ {-2} + 5Z ^ \ {-3} $
ROCは、Z = 0、∞、-∞を除くZ平面全体です
DSP-Z変換プロパティ
この章では、Z変換の基本的なプロパティを理解します。
直線性
2つ以上の個別の信号に定数が乗算されると、それぞれのZ変換にも同じ定数が乗算されることが示されています。
数学的には、
証明-私たちはそれを知っています、
$ = \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty（a_1x_1（n）+ a_2x_2（n））Z ^ \ {-n} $
$ = a_1 \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_1（n）Z ^ \ {-n} + a_2 \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（n）Z ^ \ { -n} $
$ = a_1X_1（z）+ a_2X_2（z）$（証明済み）
ここで、ROCは$ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $です。
タイムシフト
時間シフトプロパティは、離散信号の時間領域の変化がZドメインにどのように影響するかを示します。
または$ x（n-1）\ longleftrightarrow Z ^ \ {-1} X（Z）$
証明-
$ y（P）= X（P-K）$とする
$ Y（z）= \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty y（p）Z ^ \ {-p} $
$ = \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty（x（p-k））Z ^ \ {-p} $
s = p-kとする
$ = \ sum _ \ {s =-\ infty} ^ \ infty x（s）Z ^ \ {-（s + k）} $
$ = \ sum _ \ {s =-\ infty} ^ \ infty x（s）Z ^ \ {-s} Z ^ \ {-k} $
$ = Z ^ \ {-k} [\ sum _ \ {s =-\ infty} ^ \ infty x（m）Z ^ \ {-s}] $
$ = Z ^ \ {-k} X（Z）$（したがって証明済み）
ここで、ROCはZ = 0（p> 0）またはZ =∞（p <0）と書くことができます
例
U（n）とU（n-1）は次のようにプロットできます
U（n）のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty [U（n）] Z ^ \ {-n} = 1 $
U（n-1）のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty [U（n-1）] Z ^ \ {-n} = Z ^ \ {-1} $
したがって、ここで$ x（n-n_0）= Z ^ \ {-n_0} X（Z）$（証明済み）
時間スケーリング
Time Scalingプロパティは、時間を離散形式でスケーリングしたときに信号のZドメインがどうなるかを示します。
証明-
$ y（p）= a ^ \ {p} x（p）$とする
$ Y（P）= \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty y（p）Z ^ \ {-p} $
$ = \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty a ^ px（p）Z ^ \ {-p} $
$ = \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty x（p）[a ^ \ {-1} Z] ^ \ {-p} $
$ = X（a ^ \ {-1} Z）$（したがって証明された）
ROC：= Mod（ar1）<Mod（Z）<Mod（ar2）ここでMod = Modulus
例
Timeスケーリングプロパティを使用して、$ x（n）= a ^ n \ cos \ omega n $のZ変換を決定します。
ソリューション-
信号$ \ cos（\ omega n）$のZ変換は、
\ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty（\ cos \ omega n）Z ^ \ {-n} =（Z ^ 2-Z \ cos \ omega）/（Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1）
ここで、時間スケーリングプロパティを適用すると、$ a ^ n \ cos \ omega n $のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty（a ^ n \ cos \ omega n）Z ^ \ {-n} = X（a ^ \ {-1} Z）$
$ = [（a ^ \ {-1} Z）^ 2-（a ^ \ {-1} Z \ cos \ omega n）]/（（a ^ \ {-1} Z）^ 2-2（a ^ \ {-1} Z \ cos \ omega n）+1）$
$ = Z（Z-a \ cos \ omega）/（Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2）$
逐次分化
逐次微分プロパティは、時間領域で離散信号を時間に関して微分するとZ変換が行われることを示しています。 これを以下に示します。
証明-
方程式のLHSを考慮してください-$ \ frac \ {dx（n）} \ {dn} $
$ = x（n）-X（n-1）$
$ = x（Z）-Z ^ \ {-1} x（Z）$
$ =（1-Z ^ \ {-1}）x（Z）$（証明済み）
ROC：R1 <Mod（Z）<R2
例
$ x（n）= n ^ 2u（n）$で与えられる信号のZ変換を見つけましょう
プロパティによって、私たちは書くことができます
$ Zz [nU（n）] = -Z \ frac \ {dZ [U（n）]} \ {dz} $
$ = -Z \ frac \ {d [\ frac \ {Z} \ {Z-1}]} \ {dZ} $
$ = Z/（（Z-1）^ 2 $
$ = y（let）$
Z [n.y]は、プロパティを再度適用することで見つけることができます。
$ Z（n、y）= -Z \ frac \ {dy} \ {dz} $
$ = -Z \ frac \ {d [Z/（Z-1）^ 3]} \ {dz} $
$ = Z（Z + 1）/（Z-1）^ 2 $
畳み込み
これは、畳み込みが離散信号形式で行われるときのシステムのZ領域の変化を示しています。
$ x_1（n）* x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（Z）.X_2（Z）$
証明-
$ X（Z）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）Z ^ \ {-n} $
$ = \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty [\ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）x_2（n-k）] Z ^ \ {-n} $
$ = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[\ sum_n ^ \ infty x_2（n-k）Z ^ \ {-n}] $
$ = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[\ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（nk）Z ^ \ {-（nk）} Z ^ \ { -k}] $
n-k = lとすると、上記の式は次のように書かれます-
$ X（Z）= \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[Z ^ \ {-k} \ sum _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x_2（l）Z ^ \ {-l}] $
$ = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）X_2（Z）Z ^ \ {-k} $
$ = X_2（Z）\ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（Z）Z ^ \ {-k} $
$ = X_1（Z）.X_2（Z）$（したがって証明済み）
ROC：$ ROC \ bigcap ROC2 $
例
2つの信号によって与えられる畳み込みを見つけましょう
$ x_1（n）= \ lbrace 3、-2,2 \ rbrace $ …（eq。 1)
$ x_2（n）= \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad and \ quad 0 \ quad他の場所\ rbrace $ …（eq。 2)
最初の方程式のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_1（n）Z ^ \ {-n} $
$ = 3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} $
2番目の信号のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（n）Z ^ \ {-n} $
$ = 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {-3} + 2Z ^ \ {-4} $
したがって、上記の2つの信号の畳み込みは次のように与えられます-
$ X（Z）= [x_1（Z）^ * x_2（Z）] $
$ = [3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2}] \ times [2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {-3} + 2Z ^ \ {-4}] $
$ = 6 + 2Z ^ \ {-1} + 6Z ^ \ {-2} + 6Z ^ \ {-3} + … \ quad … \ quad … $
取得した逆Z変換を使用すると、
$ x（n）= \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $
初期値定理
x（n）が因果シーケンスであり、X（z）としてZ変換がある場合、初期値定理は次のように記述できます。
$ X（n）（at \ quad n = 0）= \ lim _ \ {z \ to \ infty} X（z）$
証明-私たちはそれを知っています、
$ X（Z）= \ sum _ \ {n = 0} ^ \ infty x（n）Z ^ \ {-n} $
上記のシリーズを展開すると、次のようになります。
$ = X（0）Z ^ 0 + X（1）Z ^ \ {-1} + X（2）Z ^ \ {-2} + … \ quad … $
$ = X（0）\ times 1 + X（1）Z ^ \ {-1} + X（2）Z ^ \ {-2} + … \ quad … $
上記の場合、Z→∞の場合、$ Z ^ \ {-n} \ rightarrow 0 $（n> 0であるため）
したがって、私たちは言うことができます。
$ \ lim _ \ {z \ to \ infty} X（z）= X（0）$（したがって証明済み）
最終値定理
最終値定理は、信号のZ変換がX（Z）として表され、極がすべて円の内側にある場合、その最終値はx（n）またはX（∞）として示され、 −
$ X（\ infty）= \ lim _ \ {n \ to \ infty} X（n）= \ lim _ \ {z \ to 1} [X（Z）（1-Z ^ \ {-1}）] $
条件-
- 因果システムにのみ適用されます。
- $ X（Z）（1-Z ^ \ {-1}）$には、Z平面の単位円内に極が必要です。
証明-私たちはそれを知っています
$ Z ^ + [x（n + 1）-x（n）] = \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ sum _ \ {n = 0} ^ kZ ^ \ {-n} [x（n + 1 ）-x（n）] $
$ \ Rightarrow Z ^ + [x（n + 1）]-Z ^ + [x（n）] = \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ sum _ \ {n = 0} ^ kZ ^ \ {-n } [x（n + 1）-x（n）] $
$ \ Rightarrow Z [X（Z）^ +-x（0）]-X（Z）^ + = \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ sum _ \ {n = 0} ^ kZ ^ \ {-n } [x（n + 1）-x（n）] $
ここで、片側Z変換の高度なプロパティを適用できます。 したがって、上記の式は次のように書き直すことができます。
$ Z ^ + [x（n + 1）] = Z [X（2）^ +-x（0）Z ^ 0] = Z [X（Z）^ +-x（0）] $
今、上記の方程式にz = 1を入れて、上記の方程式を展開することができます-
$ \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ {[x（1）-x（0）+ x（6）-x（1）+ x（3）-x（2）+ … \ quad。 .. \ quad … + x（x + 1）-x（k）]} $
これは次のように定式化できます。
$ X（\ infty）= \ lim _ \ {n \ to \ infty} X（n）= \ lim _ \ {z \ to 1} [X（Z）（1-Z ^ \ {-1}）] $（したがって証明済み）
例
信号が次の式で与えられるx（n）の初期値と最終値を見つけましょう。
$ X（Z）= 2 + 3Z ^ \ {-1} + 4Z ^ \ {-2} $
解決策-最初に、定理を適用して信号の初期値を見つけましょう
$ x（0）= \ lim _ \ {z \ to \ infty} X（Z）$
$ = \ lim _ \ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ \ {-1} + 4Z ^ \ {-2}] $
$ = 2 （\ frac \ {3} \ {\ infty}）（\ frac \ {4} \ {\ infty}）= 2 $
ここで、定理を適用した信号の最終値を見つけましょう
$ x（\ infty）= \ lim _ \ {z \ to \ infty} [（1-Z ^ \ {-1}）X（Z）] $
$ = \ lim _ \ {z \ to \ infty} [（1-Z ^ \ {-1}）（2 + 3Z ^ \ {-1} + 4Z ^ \ {-2}）] $
$ = \ lim _ \ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ \ {-1} + Z ^ \ {-2} -4Z ^ \ {-3}] $
$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $
- Z変換のその他のプロパティを以下にリストします*-
頻度の差別化
離散信号が時間に対して微分されると、信号のZドメインの変化を示します。
$ nx（n）\ longleftrightarrow -Z \ frac \ {dX（z）} \ {dz} $
ROCは次のように記述できます。
$ r_2 <Mod（Z）<r_1 $
例
Zドメインの離散信号が$ x（n）\ longleftrightarrow X（Z）= log（1 + aZ ^ \ {-1}）$で与えられる周波数の微分を通じてx（n）の値を見つけましょう
プロパティによって、私たちはそれを書くことができます
$ nx（n）\ longleftrightarrow -Z \ frac \ {dx（Z）} \ {dz} $
$ = -Z [\ frac \ {-aZ ^ \ {-2}} \ {1 + aZ ^ \ {-1}}] $
$ =（aZ ^ \ {-1}）/（1 + aZ ^ \ {-1}）$
$ = 1-1/（1 + aZ ^ \ {-1}）$
$ nx（n）= \ delta（n）-（-a）^ nu（n）$
$ \ Rightarrow x（n）= 1/n [\ delta（n）-（-a）^ nu（n）] $
時間の乗算
離散信号レベルで乗算が行われると、信号のZドメインの変化を与えます。
$ x_1（n）.x_2（n）\ longleftrightarrow（\ frac \ {1} \ {2 \ Pi j}）[X1（Z） *X2（Z）] $
時間の活用
これは、Zドメインの共役離散信号の表現を示しています。
$ X ^* （n）\ longleftrightarrow X ^ *（Z ^ *）$
DSP-Z変換の存在
システム機能を持つシステムは、すべての極が単位円の内側にある場合にのみ安定します。 まず、システムが原因かどうかを確認します。 システムが因果関係の場合は、BIBOの安定性の判断に進みます。ここで、BIBOの安定性とは、制限された出力条件に対する制限された入力を指します。
これは次のように書くことができます。
$ Mod（X（Z））<\ infty $
$ = Mod（\ sum x（n）Z ^ \ {-n}）<\ infty $
$ = \ sum Mod（x（n）Z ^ \ {-n}）<\ infty $
$ = \ sum Mod [x（n）（re ^ \ {jw}）^ \ {-n}] <0 $
$ = \ sum Mod [x（n）r ^ \ {-n}] Mod [e ^ \ {-jwn}] <\ infty $
$ = \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod [x（n）r ^ \ {-n}] <\ infty $
上記の式は、Z変換の存在条件を示しています。
ただし、DTFT信号の存在条件は
例1
信号のZ変換を見つけようとします。
$ x（n）=-（-0.5）^ \ {-n} u（-n）+ 3 ^ nu（n）$
$ =-（-2）^ nu（n）+ 3 ^ nu（n）$
解決策-ここでは、$-（-2）^ nu（n）$の場合、ROCは左側にあり、Z <2
$ 3 ^ nu（n）$の場合、ROCは右側にあり、Z> 3
したがって、ここでは共通領域がないため、信号のZ変換は存在しません。
例2
によって与えられる信号のZ変換を見つけようとします。
$ x（n）= -2 ^ nu（-n-1）+（0.5）^ nu（n）$
解決策-ここでは、$-2 ^ nu（-n-1）$の場合、信号のROCは左側でZ <2
信号の場合、$（0.5）^ nu（n）$ ROCは右側にあり、Z> 0.5
したがって、0.5 <Z <2として形成される共通ROC
したがって、Z変換は次のように記述できます。
$ X（Z）= \ lbrace \ frac \ {1} \ {1-2Z ^ \ {-1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac \ {1} \ {（1-0.5Z）^ \ {-1} } \ rbrace $
実施例３
$ x（n）= 2 ^ \ {r（n）} $として与えられる、信号のZ変換を見つけてみましょう。
ソリューション-r（n）はランプ信号です。 したがって、信号は次のように記述できます。
$ x（n）= 2 ^ \ {nu（n）} \ lbrace 1、n <0（u（n）= 0）\ quad and \ quad2 ^ n、n \ geq 0（u（n）= 1） \ rbrace $
$ = u（-n-1）+ 2 ^ nu（n）$
ここで、信号$ u（-n-1）$およびROC Z <1の場合、および$ 2 ^ nu（n）$の場合ROCはZ> 2です。
そのため、信号のZ変換は存在しません。
Z-因果系の変換
因果システムは、$ h（n）= 0、n <0 $として定義できます。 因果システムの場合、ROCはZ平面の円の外側になります。
$ H（Z）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {\ infty} h（n）Z ^ \ {-n} $
上記の方程式を展開すると、
$ H（Z）= h（0）+ h（1）Z ^ \ {-1} + h（2）Z ^ \ {-2} + … \ quad … \ quad … $
$ = N（Z）/D（Z）$
因果システムの場合、伝達関数の拡張にはZの正のべき乗は含まれません。 因果系の場合、分子の順序は分母の順序を超えることはできません。 これは
$ \ lim _ \ {z \ rightarrow \ infty} H（Z）= h（0）= 0 \ quad or \ quad Finite $
因果系の安定性のために、伝達関数の極はZ平面の単位円の内側になければなりません。
反因果システムのZ変換
反因果システムは$ h（n）= 0、n \ geq 0 $として定義できます。 反因果系の場合、伝達関数の極はZ平面の単位円の外側になければなりません。 反因果システムの場合、ROCはZ平面の円の内側にあります。
DSP-Z変換インバース
周波数領域で既に表されているシステムを離散時間信号として分析する場合は、逆Z変換に進みます。
数学的には、次のように表すことができます。
ここで、x（n）は時間領域の信号で、X（Z）は周波数領域の信号です。
上記の方程式を積分形式で表現したい場合、次のように記述できます。
ここで、積分は閉じたパスC上にあります。 このパスはx（z）のROC内にあり、原点を含んでいます。
逆Z変換を見つける方法
離散形式で分析が必要な場合、逆Z変換により周波数領域信号を離散形式に変換します。 以下の4つの方法に従って、逆Z変換を決定します。
- 長分割法
- 部分分数展開法
- 残差または等高線積分法
長分割法
この方法では、信号x（z）のZ変換は、以下に示すように多項式の比として表すことができます。
さて、分子を分母で割ると、以下に示すような系列が得られます
上記のシーケンスは、与えられた信号の一連の逆Z変換を表し（n≥0の場合）、上記のシステムは因果関係があります。
ただし、n <0の場合、シリーズは次のように記述できます。
部分分数展開法
ここでも、信号は最初にN（z）/D（z）形式で表されます。
有理数の場合、次のように表されます。
$ x（z）= b_0 + b_1Z ^ \ {-1} + b_2Z ^ \ {-2} + … \ quad … \ quad … + b_mZ ^ \ {-m}）/（a_0 + a_1Z ^ \ {-1} + a_2Z ^ \ {-2} + … \ quad … \ quad … + a_nZ ^ \ {-N}）$
上記は、m <nおよびan≠0の場合は不適切です。
比率が適切でない場合（つまり、 不適切）、それを解決するために適切な形式に変換する必要があります。
残差または等高線積分法
この方法では、すべての極で$ [x（z）Z ^ \ {n-1}] $の剰余を合計することにより、逆Z変換x（n）を取得します。 数学的には、これは
ここで、$ z = \ beta $における次数mの極の剰余は
DSP-Z変換の解決例
例1
すべての初期条件がゼロの場合、システム$ s（n + 2）-3s（n + 1）+ 2s（n）= \ delta（n）$の応答を見つけます。
解決策-上記の式の両側でZ変換を行うと、
$ \ Rightarrow S（z）\ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $
$ \ Rightarrow S（z）= \ frac \ {1} \ {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac \ {1} \ {（z-2）（z-1）} = \ frac \ {\ alpha _1} \ {z-2} + \ frac \ {\ alpha _2} \ {z-1} $
$ \ Rightarrow S（z）= \ frac \ {1} \ {z-2}-\ frac \ {1} \ {z-1} $
上記の方程式の逆Z変換を行うと、
$ S（n）= Z ^ \ {-1} [\ frac \ {1} \ {Z-2}]-Z ^ \ {-1} [\ frac \ {1} \ {Z-1}] $
$ = 2 ^ \ {n-1} -1 ^ \ {n-1} = -1 + 2 ^ \ {n-1} $
例2
以下のように差分方程式が記述されているシステムのシステム関数H（z）と単位サンプル応答h（n）を見つけます。
$ y（n）= \ frac \ {1} \ {2} y（n-1）+ 2x（n）$
ここで、y（n）とx（n）はそれぞれシステムの出力と入力です。
解決策-上記の差分方程式のZ変換をとると、
$ y（z）= \ frac \ {1} \ {2} Z ^ \ {-1} Y（Z）+ 2X（z）$
$ = Y（Z）[1- \ frac \ {1} \ {2} Z ^ \ {-1}] = 2X（Z）$
$ = H（Z）= \ frac \ {Y（Z）} \ {X（Z）} = \ frac \ {2} \ {[1- \ frac \ {1} \ {2} Z ^ \ {- 1}]} $
このシステムには、$ Z = \ frac \ {1} \ {2} $および$ Z = 0 $および$ H（Z）= \ frac \ {2} \ {[1- \ frac \ {1}に極があります。 \ {2} Z ^ \ {-1}]} $
したがって、上記の逆Z変換を行うと、次のようになります。
$ h（n）= 2（\ frac \ {1} \ {2}）^ nU（n）$
実施例３
次の場合にY（z）、n≥0を決定します−
$ y（n）+ \ frac \ {1} \ {2} y（n-1）-\ frac \ {1} \ {4} y（n-2）= 0 \ quad given \ quad y（-1 ）= y（-2）= 1 $
ソリューション-上記の方程式にZ変換を適用すると、
$ Y（Z）+ \ frac \ {1} \ {2} [Z ^ \ {-1} Y（Z）+ Y（-1）]-\ frac \ {1} \ {4} [Z ^ \ {-2} Y（Z）+ Z ^ \ {-1} Y（-1）+4（-2）] = 0 $
$ \ Rightarrow Y（Z）+ \ frac \ {1} \ {2Z} Y（Z）+ \ frac \ {1} \ {2}-\ frac \ {1} \ {4Z ^ 2} Y（Z） -\ frac \ {1} \ {4Z}-\ frac \ {1} \ {4} = 0 $
$ \ Rightarrow Y（Z）[1+ \ frac \ {1} \ {2Z}-\ frac \ {1} \ {4Z ^ 2}] = \ frac \ {1} \ {4Z}-\ frac \ { 1} \ {2} $
$ \ Rightarrow Y（Z）[\ frac \ {4Z ^ 2 + 2Z-1} \ {4Z ^ 2}] = \ frac \ {1-2Z} \ {4Z} $
$ \ Rightarrow Y（Z）= \ frac \ {Z（1-2Z）} \ {4Z ^ 2 + 2Z-1} $
デジタル信号処理-DFTの概要
連続時間信号フーリエ変換と同様に、離散時間フーリエ変換を使用して、離散シーケンスを等価な周波数領域表現とLTI離散時間システムに表現し、さまざまな計算アルゴリズムを開発できます。
連続F.TのX（jω）は、x（n）の連続関数です。 ただし、DFTはそのスペクトルX（ω）のサンプルでx（n）を表すことを扱います。 したがって、この数学的ツールは、便利な表現において計算上非常に重要です。 このツールを使用して、周期的シーケンスと非周期的シーケンスの両方を処理できます。 周期を無限に拡張して、周期シーケンスをサンプリングする必要があります。
周波数領域サンプリング
導入から、周波数領域サンプリングをどのように進めるかを知る必要があることは明らかです。 サンプリングX（ω）。 したがって、サンプリングされたフーリエ変換とDFTの関係は、次の方法で確立されます。
同様に、周期Nを無限に拡張することにより、周期シーケンスをこのツールに適合させることができます。
非周期シーケンスを$ X（n）= \ lim _ \ {N \ to \ infty} x_N（n）$とする
フーリエ変換の定義、
$ X（\ omega）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ \ {-jwn} X（K \ delta \ omega）$ … eq（1）
ここで、X（ω）は、δωラジアン間隔ごとに定期的にサンプリングされます。
X（ω）は2πラジアンで周期的であるため、基本的な範囲のサンプルのみが必要です。 サンプルは、周波数範囲0≤ω≤2πの等距離間隔の後に取得されます。 等間隔の間隔は、$ \ delta \ omega = \ frac \ {2 \ pi} \ {N} k $ラジアンです。
評価中、$ \ omega = \ frac \ {2 \ pi} \ {N} k $
$ X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ \ {-j2 \ pi nk/N}、$ ..eq（2）
ここで、k = 0,1、……N-1
上記を細分化し、合計の順序を交換した後
$ X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）] e ^ \ {-j2 \ pi nk/N} $ … eq（3）
$ \ sum _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）= x_p（n）= a \ quad periodic \ quad function \ quad of \ quad period \ quad N \ quad and \ quad its \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} C_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} $
ここで、n = 0,1、……、N-1; 「p」-周期的なエンティティまたは機能を表します
フーリエ係数は、
$ C_k = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x_p（n）e ^ \ {-j2 \ pi nk/N} $ k = 0,1 、…、N-1 … eq（4）
方程式3と4を比較すると、
$ NC_k = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）$ k = 0,1、…、N-1 … eq（5）
$ NC_k = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= X（e ^ \ {jw}）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_p（n ）e ^ \ {-j2 \ pi nk/N} $ … eq（6）
フーリエ級数展開から、
$ x_p（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} NC_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）e ^ \ {j2 \ pi nk/N} $ … eq（7）
ここで、n = 0,1、…、N-1
ここでは、X（ω）から周期信号を取得しました。 $ x（n）$は、時間領域にエイリアスがない場合にのみ、$ x_p（n）$から抽出できます。 $ N \ geq L $
N = $ x_p（n）$の期間L = $ x（n）$の期間
$ x（n）= \ begin \ {cases} x_p（n）、＆0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0、およびその他の場合\ end \ {cases} $
この方法でマッピングが実現されます。
DFTのプロパティ
直線性
信号の組み合わせのDFTは、個々の信号のDFTの合計に等しいと述べています。 DFTがそれぞれX〜1〜（ω）およびX〜2〜（ω）である2つの信号x〜1〜（n）およびx〜2〜（n）を取ります。 もしそうなら、
$ x_1（n）\ rightarrow X_1（\ omega）$ and $ x_2（n）\ rightarrow X_2（\ omega）$
次に、$ ax_1（n）+ bx_2（n）\ rightarrow aX_1（\ omega）+ bX_2（\ omega）$
ここで、 a および b は定数です。
対称
DFTの対称性は、DTFT対称性を導出したのと同様の方法で導出できます。 シーケンスx（n）のDFTはX（K）で表されることがわかっています。 ここで、x（n）とX（K）が複素数値シーケンスである場合、次のように表すことができます
$ x（n）= x_R（n）+ jx_1（n）、0 \ leq n \ leq N-1 $
そして、$ X（K）= X_R（K）+ jX_1（K）、0 \ leq K \ leq N-1 $
双対性
DFTがX（K）として与えられる信号x（n）を考えてみましょう。 有限期間シーケンスをX（N）とします。 双対定理によると、
もし、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$
次に、$ X（N）\ longleftrightarrow Nx [（（-k））_ N] $
したがって、DFTがわかっている場合にこの定理を使用すると、有限期間のシーケンスを簡単に見つけることができます。
複雑な共役特性
信号x（n）があり、そのDFTはX（K）としても知られているとします。 ここで、信号の複素共役がx *（n）として与えられる場合、以下に示す定理を使用することにより、多くの計算を行うことなくDFTを簡単に見つけることができます。
もし、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$
次に、$ x *（n）\ longleftrightarrow X *（（K））_ N = X *（N-K）$
循環周波数シフト
シーケンスx（n）と複素指数シーケンス$ e ^ \ {j2 \ Pi kn/N} $との乗算は、周波数でL単位だけDFTの循環シフトに相当します。 これは、循環時間シフトプロパティのデュアルです。
もし、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）$
次に、$ x（n）e ^ \ {j2 \ Pi Kn/N} \ longleftrightarrow X（（K-L））_ N $
2つのシーケンスの乗算
2つの信号x〜1〜（n）とx〜2〜（n）があり、それぞれのDFTがX〜1〜（k）とX〜2〜（K）である場合、時系列の信号の乗算はDFTの循環たたみ込み。
もし、$ x_1（n）\ longleftrightarrow X_1（K）\ quad \＆\ quad x_2（n）\ longleftrightarrow X_2（K）$
次に、$ x_1（n）\ times x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（K）©X_2（K）$
パーセバルの定理
複素数値シーケンスx（n）およびy（n）の場合、一般的に
If、$ x（n）\ longleftrightarrow X（K）\ quad \＆\ quad y（n）\ longleftrightarrow Y（K）$
次に、$ \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）y ^ *（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ { N-1} X（K）Y ^ *（K）$
DSP-DFT時間周波数変換
$ \ omega = 2 \ pi K/N $および$ N \ rightarrow \ inftyの場合、\ omega $は連続変数になり、合計を$-\ infty $から$ + \ infty $に制限することがわかります。
したがって、
離散時間フーリエ変換（DTFT）
$ X（e ^ \ {j \ omega}）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ \ {-j \ omega n} $
ここで、$ X（e ^ \ {j \ omega}）$は、ωおよび周期2πで連続的かつ周期的です。…eq（1）
Now,
$ x_p（n）= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} NC_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} $…フーリエ級数から
$ x_p（n）= \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} NC_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} \ times \ frac \ { 2 \ pi} \ {N} $
上記の理由により、ωは連続し、$ \ frac \ {2 \ pi} \ {N} \ rightarrow d \ omega $になります。
$ x（n）= \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {n = 0} ^ \ {2 \ pi} X（e ^ \ {j \ omega}）e ^ \ {j \オメガn} d \ omega $…eq（2）
逆離散時間フーリエ変換
象徴的に、
$ x（n）\ Longleftrightarrow x（e ^ \ {j \ omega}）$（フーリエ変換ペア）
非周期的シーケンスx（n）の離散時間フーリエ変換の存在に必要かつ十分な条件は、絶対加算可能です。
つまり、$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty | x（n）| <\ infty $
DTFTのプロパティ
- 線形：$ a_1x_1（n）+ a_2x_2（n）\ Leftrightarrow a_1X_1（e ^ \ {j \ omega}）+ a_2X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
- タイムシフト-$ x（n-k）\ Leftrightarrow e ^ \ {-j \ omega k} .X（e ^ \ {j \ omega}）$
- 時間反転-$ x（-n）\ Leftrightarrow X（e ^ \ {-j \ omega}）$
- 周波数シフト-$ e ^ \ {j \ omega _0n} x（n）\ Leftrightarrow X（e ^ \ {j（\ omega-\ omega _0）}）$
- 微分周波数領域-$ nx（n）= j \ frac \ {d} \ {d \ omega} X（e ^ \ {j \ omega}）$
- コンボリューション-$ x_1（n）* x_2（n）\ Leftrightarrow X_1（e ^ \ {j \ omega}）\ times X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
- 乗算-$ x_1（n）\ times x_2（n）\ Leftrightarrow X_1（e ^ \ {j \ omega}）* X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
- 相関-$ y _ \ {x_1 \ times x_2}（l）\ Leftrightarrow X_1（e ^ \ {j \ omega}）\ times X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
- 変調定理-$ x（n）\ cos \ omega _0n = \ frac \ {1} \ {2} [X_1（e ^ \ {j（\ omega + \ omega _0}）* X_2（e ^ \ { jw}）$
- 対称性-$ x ^ *（n）\ Leftrightarrow X ^ *（e ^ \ {-j \ omega}）$; + $ x ^ *（-n）\ Leftrightarrow X ^ *（e ^ \ {j \ omega}）$; + $ Real [x（n）] \ Leftrightarrow X _ \ {even}（e ^ \ {j \ omega}）$; + $ Imag [x（n）] \ Leftrightarrow X _ \ {odd}（e ^ \ {j \ omega}）$; + $ x _ \ {even}（n）\ Leftrightarrow Real [x（e ^ \ {j \ omega}）] $; + $ x _ \ {odd}（n）\ Leftrightarrow Imag [x（e ^ \ {j \ omega}）] $;
- * Parsevalの定理*-$ \ sum _ \ {-\ infty} ^ \ infty | x_1（n）| ^ 2 = \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} | X_1（e ^ \ {j \ omega}）| ^ 2d \ omega $
前に、周波数領域でのサンプリングを研究しました。 その基本的な知識があれば、周波数領域で$ X（e ^ \ {j \ omega}）$をサンプリングするので、そのサンプリングされたデータから便利なデジタル分析を行うことができます。 したがって、DFTは時間領域と周波数領域の両方でサンプリングされます。 仮定$ x（n）= x_p（n）$
したがって、DFTは次のように与えられます-
$ X（k）= DFT [x（n）] = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）e ^ \ {-\ frac \ {j2 \ pi nk} \ {N}} $、k = 0,1、…。、N−1…eq（3）
そして、IDFTはによって与えられます-
$ X（n）= IDFT [X（k）] = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} X（k）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ pi nk} \ {N}} $、n = 0,1、…。、N−1…eq（4）
$ \ therefore x（n）\ Leftrightarrow X（k）$
回転因子
これは$ W_N $として示され、$ W_N = e ^ \ {-j2 \ pi/N} $として定義されます。 その大きさは常に統一されています。 $ W_N = -2 \ pi/N $のフェーズ。 これは単位円上のベクトルであり、計算の便宜上使用されます。 数学的に、それは次のように示すことができます-
$ W_N ^ r = W_N ^ \ {r \ pm N} = W_N ^ \ {r \ pm 2N} = … $
- rと周期Nの関数です。 + N = 8、r = 0、1、2、3、….14、15、16、…を検討します。 + $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ \ {16} = … = … = W_8 ^ \ {32} = … = 1 = 1 \ angle 0 $
- $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ \ {17} = … = … = W_8 ^ \ {33} = … = \ frac \ {1} \ {\ sqrt 2} = j \ frac \ {1} \ {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac \ {\ pi} \ {4} $
線形変換
線形変換を理解しましょう-
私達はことを知っています、
$ DFT（k）= DFT [x（n）] = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n） .W_n ^ \ {-nk}; \ quad k = 0,1、…。、N−1 $
$ x（n）= IDFT [X（k）] = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} X（k）.W_N ^ \ {-nk }; \ quad n = 0,1、…。、N−1 $
注意-DFTの計算は、N ^ 2 ^複素乗算とN（N-1）複素加算で実行できます。
$ x_N = \ begin \ {bmatrix} x（0）\\ x（1）\\。\\。\\ x（N-1）\ end \ {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ quad signal \ quad x_N $
$ X_N = \ begin \ {bmatrix} X（0）\\ X（1）\\。\\。\\ X（N-1）\ end \ {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ quad signal \ quad X_N $
$ \ begin \ {bmatrix} 1＆1＆1＆… ＆… ＆1 \\ 1＆W_N＆W_N ^ 2＆… ＆… ＆W_N ^ \ {N-1} \\。 ＆W_N ^ 2＆W_N ^ 4＆… ＆… ＆W_N ^ \ {2（N-1）} \\。\\ 1＆W_N ^ \ {N-1}＆W_N ^ \ {2（N-1）}＆… ＆… ＆W_N ^ \ {（N-1）（N-1）} \ end \ {bmatrix} $
N-行列項の点DFTは次の式で与えられます-$ X_N = W_Nx_N $
$ W_N \ longmapsto $線形変換の行列
$ Now、\ quad x_N = W_N ^ \ {-1} X_N $
マトリックス形式のIDFTは、
$ x_N、\ quad W_N ^ \ {-1} = \ frac \ {1} \ {N} W_N ^ $と$ W_N \ times W_N ^ = N [I] _ \ {N \の両方の式を比較する回N} $
したがって、$ W_N $は線形変換行列、直交（ユニタリ）行列です。
$ W_N $の周期的プロパティとその対称プロパティから、$ W_N ^ \ {k + N/2} = -W_N ^ k $と結論付けることができます。
円形対称
長さN≤Lの有限期間x（n）のN点DFTは、x（n）の周期的拡張のN点DFTと等価です。 期間Nの$ x_p（n）$ および$ x_p（n）= \ sum _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）$ ここで、シーケンスをシフトすると、これはk単位だけ周期的なシーケンスであるため、別の周期的なシーケンスが取得されます。 これは循環シフトとして知られており、これは
新しい有限シーケンスは次のように表すことができます
例-x（n）= \ {1,2,4,3}、N = 4とする
$ x_p ^ \ prime（n）= x（nk、modulo \ quad N）\ equiv x（（nk））_ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \クワッドシフト\クワッドおよび\クワッドN = 4、$
時計回りの方向を正の方向と想定。
$ x \ prime（n）= x（（n-2））_ 4 $を得た
$ x \ prime（0）= x（（-2））_ 4 = x（2）= 4 $
$ x \ prime（1）= x（（-1））_ 4 = x（3）= 3 $
$ x \ prime（2）= x（（-2））_ 4 = x（0）= 1 $
$ x \ prime（3）= x（（1））_ 4 = x（1）= 2 $
結論-N点シーケンスの循環シフトは、その周期的拡張の線形シフトと同等であり、逆も同様です。
円形の偶数列-$ x（N-n）= x（n）、\ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ i.e.x_p（n）= x_p（-n）= x_p（N-n）$
共役偶数-$ x_p（n）= x_p ^ *（N-n）$
循環奇数シーケンス-$ x（N-n）= -x（n）、\ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ i.e.x_p（n）= -x_p（-n）= -x_p（N-n）$
共役奇数-$ x_p（n）= -x_p ^ *（N-n）$
ここで、$ x_p（n）= x _ \ {pe} + x _ \ {po}（n）$、ここで、
$ x _ \ {pe}（n）= \ frac \ {1} \ {2} [x_p（n）+ x_p ^ *（N-n）] $
$ x _ \ {po}（n）= \ frac \ {1} \ {2} [x_p（n）-x_p ^ *（N-n）] $
任意の実信号x（n）、$ X（k）= X ^ *（N-k）$
$ X_R（k）= X_R（N-k）$
$ X_l（k）= -X_l（N-k）$
$ \ angle X（k）=-\ angle X（N-K）$
時間反転-0 ^ th ^サンプルについてサンプルを反転します。 これは次のように与えられます。
$ x（（-n））_ N = x（N-n）、\ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $
時間反転は、時計回りの方向にシーケンスのサンプルをプロットしています。 負の方向を想定。
その他の重要なプロパティ
その他の重要なIDFTプロパティ$ x（n）\ longleftrightarrow X（k）$
- 時間反転-$ x（（-n））_ N = x（N-n）\ longleftrightarrow X（（-k））_ N = X（N-k）$
- 循環時間シフト-$ x（（n-l））_ N \ longleftrightarrow X（k）e ^ \ {j2 \ pi lk/N} $
- 循環周波数シフト-$ x（n）e ^ \ {j2 \ pi ln/N} \ longleftrightarrow X（（k-l））_ N $
- 複素共役特性- + $ x ^ *（n）\ longleftrightarrow X ^ *（（-k））_ N = X ^ *（Nk）\ quad and $ + $ x ^ *（（-n））_ N = x ^ *（Nn） \ longleftrightarrow X ^ *（-k）$
- * 2つのシーケンスの乗算*- + $ x_1（n）\ longleftrightarrow X_1（k）\ quadおよび\ quad x_2（n）\ longleftrightarrow X_2（k）$ + $ \ theforefore x_1（n）x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（k）\quadⓃX_2 （k）$
- 循環たたみ込み-および2つのDFTの乗算 + $ x_1（k）\ quadⓃx_2（k）= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} x_1（n）.x_2（（mn））_ n、\ quad m = 0,1、 2、… 。、N-1 $ + $ x_1（k）\ quadⓃx_2（k）\ longleftrightarrow X_1（k）.X_2（k）$
- 循環相関-$ x（n）\ longleftrightarrow X（k）$および$ y（n）\ longleftrightarrow Y（k）$の場合、$ \ bar Y _ \ {xy} $として示される相互相関シーケンスが存在します。 $ \ bar Y _ \ {xy}（l）= \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）y ^ *（（nl））_ N = X（k）.Y ^ *（k）$
- * Parsevalの定理*-$ x（n）\ longleftrightarrow X（k）$および$ y（n）\ longleftrightarrow Y（k）$の場合 + $ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）y ^ *（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ { n = 0} ^ \ {N-1} X（k）.Y ^ *（k）$
DSP-DFT循環たたみ込み
Nの整数の長さを持つ2つの有限期間シーケンスx〜1〜（n）およびx〜2〜（n）を使用してみましょう。 それらのDFTは、それぞれX〜1〜（K）およびX〜2〜（K）です。
ここで、X〜3〜（K）として与えられる別のシーケンスx〜3〜（n）のDFTを見つけようとします。
$ X_3（K）= X_1（K）\ times X_2（K）$
上記のIDFTを取得することにより、
$ x_3（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} X_3（K）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $
上記の方程式を解いた後、最終的に、
$ x_3（n）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {m = 0} ^ \ {N-1} x_1（m）x_2 [（（nm））_ N] \ quad m = 0,1,2 … N-1 $
| Comparison points | Linear Convolution | Circular Convolution |
|---|---|---|
| Shifting | Linear shifting | Circular shifting |
| Samples in the convolution result | $N_1PLUSN_2−1$ | $Max(N_1,N_2)$ |
| Finding response of a filter | Possible | Possible with zero padding |
循環たたみ込みの方法
一般的に、循環畳み込みを実行するために採用されている2つの方法があります-
- 同心円法、
- 行列乗算法。
同心円法
$ x_1（n）$と$ x_2（n）$を2つの与えられたシーケンスとします。 $ x_1（n）$と$ x_2（n）$の循環たたみ込みの手順は次のとおりです。
- 2つの同心円を取ります。 反時計回りの方向に（等距離の連続するポイントを維持する）外側の円周上に$ x_1（n）$のN個のサンプルをプロットします。
- $ x_2（n）$をプロットするには、$ x_2（n）$のN個のサンプルを内側の円に時計回りにプロットします。開始サンプルは、$ x_1（n）$の0 ^ th ^サンプルと同じポイントに配置されます。
- 2つの円の対応するサンプルを乗算し、それらを追加して出力を取得します。
- 一度に1つのサンプルで内側の円を反時計回りに回転させます。
行列乗算法
マトリックスメソッドは、2つの指定されたシーケンス$ x_1（n）$および$ x_2（n）$をマトリックス形式で表します。
- 与えられたシーケンスの1つは、一度に1つのサンプルの循環シフトを介して繰り返され、N X Nマトリックスを形成します。
- 他のシーケンスは列行列として表されます。
- 2つの行列の乗算により、循環たたみ込みの結果が得られます。
DSP-DFT線形フィルタリング
DFTは、時間領域の畳み込みに対する代替アプローチを提供します。 周波数領域で線形フィルタリングを実行するために使用できます。
したがって、$ Y（\ omega）= X（\ omega）.H（\ omega）\ longleftrightarrow y（n）$です。
この周波数領域アプローチの問題は、$ Y（\ omega）$、$ X（\ omega）$、および$ H（\ omega）$がωの連続関数であることです。これはコンピューターでのデジタル計算には有益ではありません。 ただし、DFTは、目的を解決するために、これらの波形のサンプルバージョンを提供します。
利点は、FFTのようなより高速なDFT技術の知識があるため、時間領域アプローチと比較して、デジタルコンピューター計算用の計算効率の高いアルゴリズムを開発できることです。
有限持続時間シーケンス$ [x（n）= 0、\ quad for、n <0 \ quad and \ quad n \ geq L] $（一般化方程式）を考えて、インパルス応答$ [h（n ）= 0、\ quad forn <0 \ quad and \ quad n \ geq M] $。
畳み込み解析から、y（n）の継続時間がL + M-1であることが明らかです。
周波数領域では、
ここで、$ Y（\ omega）$はωの連続関数であり、$ L + M-1 $以上である必要がある個別のサンプル数で、一連の離散周波数でサンプリングされます。
$ \ omega = \ frac \ {2 \ pi} \ {N} k $の場合、
$ Y（\ omega）= X（k）.H（k）$、ここでk = 0,1、…。、N-1
ここで、X（k）とH（k）は、それぞれx（n）とh（n）のN点DFTです。 $ x（n）\＆h（n）$には、長さNまでゼロが埋め込まれます。 連続スペクトル$ X（\ omega）$および$ H（\ omega）$は歪みません。 $ N \ geq L + M-1 $なので、出力シーケンスy（n）のN点DFTは周波数領域でy（n）を表すのに十分であり、これらの事実はX（kのN点DFTの乗算）およびH（k）、それに続くN点IDFTの計算では、y（n）が生成されます。
これは、ゼロパディングを使用したx（n）およびH（n）のN点循環たたみ込みは、x（n）およびh（n）の線形たたみ込みに等しいことを意味します。
したがって、DFTは線形フィルタリングに使用できます。
注意-Nは常に$ L + M-1 $以上でなければなりません。 そうしないと、エイリアシング効果により出力シーケンスが破損します。
DSP-DFTセクショナルコンボリューション
長い持続時間の入力シーケンスx（n）が、2つのシーケンスを畳み込むことにより、有限持続時間のインパルス応答を持つシステムで処理されると仮定します。 DFTを介して実行される線形フィルタリングは固定サイズのデータブロックでの操作を伴うため、入力シーケンスは処理前に異なる固定サイズのデータブロックに分割されます。
その後、連続したブロックが1つずつ処理され、結果が組み合わされて最終結果が生成されます。
畳み込みは、長い入力シーケンスを異なる固定サイズのセクションに分割することで実行されるため、セクション化畳み込みと呼ばれます。 FIRフィルター処理の前に、長い入力シーケンスが固定サイズのブロックにセグメント化されます。
2つの方法は、離散畳み込みを評価するために使用されます-
- 重複保存方法
- 重複追加方法
重複保存方法
オーバーラップ保存は、非常に長い信号x（n）と有限インパルス応答（FIR）フィルターh（n）間の離散畳み込みを評価する効率的な方法の伝統的な名前です。 以下は、オーバーラップ保存方法の手順です-
入力データブロックの長さ= N = L + M-1とします。 したがって、DFTおよびIDFTの長さ=N。 各データブロックは、前のブロックのM-1個のデータポイントと、それに続くL個の新しいデータポイントを持ち、長さN = L + M-1のデータシーケンスを形成します。
- まず、各データブロックのNポイントDFTが計算されます。
- （L-1）ゼロを追加することにより、FIRフィルターのインパルス応答の長さが増加し、NポイントDFTが計算されて保存されます。
- 2つのN点DFT H（k）とX〜m〜（k）の乗算：Y '〜m〜（k）= H（k）.X〜m〜（k）、ここでK = 0,1,2 、…N-1
- 次に、IDFT [Y ′〜m〜（（k）] = y′（（n）= [y ′〜m〜（0）、y′〜m〜（1）、y ′〜m〜（2）、 ……. y '〜m〜（M-1）、y'〜m〜（M）、……. y '〜m〜（N-1）] +（ここで、N-1 = L + M-2）
- 最初のM-1ポイントはエイリアシングにより破損しているため、データレコードの長さがNであるため破棄されます。
- 最後のL点は畳み込みの結果とまったく同じなので、 + y ′〜m〜（n）= y〜m〜（n）ここで、n = M、M + 1、….N-1
- エイリアスを回避するために、各データレコードの最後のM-1要素が保存され、これらのポイントは後続のレコードに繰り越され、1 ^ st ^ M-1要素になります。
- エイリアシングを無効にするための最初のM-1ポイントが回避されるIDFTの結果と残りのLポイントは、線形畳み込みの結果として望ましい結果を構成します。
重複追加メソッド
以下は、オーバーラップ法を使用して離散畳み込みを見つける手順です-
入力データブロックサイズをLとします。 したがって、DFTとIDFTのサイズ：N = L + M-1
- 各データブロックには、最後にM-1個のゼロが追加されます。
- N点DFTを計算します。
- 2つのNポイントDFTが乗算されます：Y〜m〜（k）= H（k）.X〜m〜（k）、ここでk = 0、、1,2、…。、N-1
- IDFT [Y〜m〜（k）]は、長さNのブロックを生成します。DFTのサイズはN = L + M-1であり、M-1ゼロを追加することでシーケンスの長さをNポイントに増やしているため、エイリアシングの影響を受けません各ブロックに。
- 各ブロックの最後のM-1ポイントをオーバーラップし、後続のブロックの最初のM-1ポイントに追加する必要があります。 （理由：各データブロックはM-1ゼロで終了します）+したがって、この方法はオーバーラップ加算法として知られています。 したがって、- y（n）= \ {y〜1〜（0）、y〜1〜（1）、y〜1〜（2）、… ..、y〜1〜（L-1）、y〜1〜（L）+ y〜2〜（0）、y〜1〜（L + 1）+ y〜2〜（1）、… … ..、y〜1〜（N-1）+ y〜2〜（M-1）、y〜2〜（M）、… … … … … }
DSP-DFT離散コサイン変換
DCT（離散コサイン変換）は、線形変換または複素指数の組み合わせとしてのN入力シーケンスx（n）、0≤n≤N-1です。 その結果、x（n）が実数であっても、一般にDFT係数は複雑です。
実際のシーケンスx（n）をコサインシーケンスの線形結合として表現したN×N構造の直交変換を見つけようとします。 私たちはすでにそれを知っています-
$ X（K）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）cos \ frac \ {2 \ Pi kn} \ {N} 0 \ leq k \ leq N -1 $
そして、$ x（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} x（k）cos \ frac \ {2 \ Pi kn} \ {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $
これは、N点列x（n）が実数で偶数の場合に可能です。 したがって、$ x（n）= x（N-n）、0 \ leq n \ leq（N-1）$です。 結果のDFT自体は本物であり、均一です。 これらのことから、シーケンスの「偶数拡張」の2NポイントDFTを取得することにより、任意のNポイントの実シーケンスに対して離散コサイン変換を適用できる可能性があることが明らかになります。
DCTは、基本的に画像と音声の処理に使用されます。 また、画像や音声信号の圧縮にも使用されます。
$ DFT [s（n）] = S（k）= \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {2N-1} s（n）W _ \ {2N} ^ \ {nk}、\ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $
$ S（k）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）W _ \ {2N} ^ \ {nk} + \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = N} ^ \ {2N-1} x（2N-n-1）W _ \ {2N} ^ \ {nk}; \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $
$ \ Rightarrow S（k）= W _ \ {2N} ^ \ {-k/2} + \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）[W _ \ {2N} ^ \ { nk} W _ \ {2N} ^ \ {k/2} + W _ \ {2N} ^ \ {-nk} W _ \ {2N} ^ \ {-k/2}]; \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $
$ \ Rightarrow S（k）= W _ \ {2N} ^ \ {\ frac \ {k} \ {2}} \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）\ cos [\ frac \ {\ pi} \ {N}（n + \ frac \ {1} \ {2}）k]; \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $
DCTは、
$ V（k）= 2 \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）\ cos [\ frac \ {\ pi} \ {2}（n + \ frac \ {1} \ { 2}）k] \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $
$ \ Rightarrow V（k）= W _ \ {2N} ^ \ {\ frac \ {k} \ {2}} S（k）\ quadまたは\ quad S（k）= W _ \ {2N} ^ \ {\ frac \ {k} \ {2}} V（k）、\ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $
$ \ Rightarrow V（k）= 2R [W _ \ {2N} ^ \ {\ frac \ {k} \ {2}} \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）W_ \ {2N} ^ \ {nk}]、\ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $
DSP-DFT解決例
例1
シーケンス$ x（n）= \ frac \ {1 ^ n} \ {4} u（n）$のParsevalの定理を検証する
ソリューション-$ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ infty | x_1（n）| ^ 2 = \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} | X_1（e ^ \ {j \ omega}）| ^ 2d \ omega $
L.H.S $ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ infty | x_1（n）| ^ 2 $
$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} x（n）x ^ *（n）$
$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {-\ infty} ^ \ infty（\ frac \ {1} \ {4}）^ \ {2n} u（n）= \ frac \ {1} \ {1- \ frac \ {1} \ {16}} = \ frac \ {16} \ {15} $
R.H.S. $ X（e ^ \ {j \ omega}）= \ frac \ {1} \ {1- \ frac \ {1} \ {4} ej \ omega} = \ frac \ {1} \ {1-0.25 \ cos \ omega + j0.25 \ sin \ omega} $
$ \ Longleftrightarrow X ^ *（e ^ \ {j \ omega}）= \ frac \ {1} \ {1-0.25 \ cos \ omega-j0.25 \ sin \ omega} $
計算、$ X（e ^ \ {j \ omega}）。X ^ *（e ^ \ {j \ omega}）$
$ = \ frac \ {1} \ {（1-0.25 \ cos \ omega）^ 2 +（0.25 \ sin \ omega）^ 2} = \ frac \ {1} \ {1.0625-0.5 \ cos \ omega} $
$ \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} \ frac \ {1} \ {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega $
$ \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} \ frac \ {1} \ {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega = 16/15 $
LHS = RHSであることがわかります（したがって、証明されています）。
例2
$ x（n）= 3 \ delta（n）$のN点DFTを計算します
ソリューション-私たちはそれを知っています、
$ X（K）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $
$ = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} 3 \ delta（n）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $
$ = 3 \ delta（0）\ times e ^ 0 = 1 $
したがって、$ x（k）= 3,0 \ leq k \ leq N-1 $…
実施例３
$ x（n）= 7（n-n_0）$のN点DFTを計算します
ソリューション-私たちはそれを知っています、
$ X（K）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $
x（n）の値を代入して、
$ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} 7 \ delta（n-n_0）e ^ \ {-\ frac \ {j2 \ Pi kn} \ {N}} $
$ = e ^ \ {-kj14 \ Pi kn_0/N} $…Ans
DSP-高速フーリエ変換
以前のDFTメソッドでは、計算部分が長すぎることがわかりました。 それを減らしたいです。 これは、FFTまたは高速フーリエ変換によって実行できます。 そのため、FFTはアルゴリズム形式での離散フーリエ変換の計算に過ぎず、計算部分が削減されます。
FFTを使用する主な利点は、FFTを使用してFIRフィルターを設計できることです。 数学的には、FFTは次のように記述できます。
例をよく理解してみましょう。 $ x_0 \ quad to \ quad x_7 $の名前の8つのポイントを考慮しました。 一方のグループでは偶数の用語を選択し、もう一方のグループでは奇数の用語を選択します。 上記の模式図は以下に示されています-
ここでは、ポイントx〜0〜、x〜2〜、x〜4〜、およびx〜6〜は1つのカテゴリにグループ化され、同様にポイントx〜1〜、x〜3〜、x〜5〜、およびx〜7 〜は別のカテゴリに入れられました。 これで、さらに2つのグループにまとめて、計算を進めることができます。 次に、これらがさらに2つに分かれて計算にどのように役立つかを見てみましょう。
$ x [k] = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {r = 0} ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r] W_N ^ \ {2rk} + \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {r = 0} ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r + 1] W_N ^ \ {（2r + 1）k} $
$ = \ sum _ \ {r = 0} ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r] W _ \ {N/2} ^ \ {rk} + \ sum _ \ {r = 0 } ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r + 1] W _ \ {N/2} ^ \ {rk} \ times W_N ^ k $
$ = G [k] + H [k] \ times W_N ^ k $
最初は8ポイントのシーケンスを取りましたが、後でそれをG [k]とH [k]の2つの部分に分割しました。 G [k]は偶数部分を表し、H [k]は奇数部分を表します。 私たちは図を介してそれを実現したい場合、それは以下のように示すことができます-
8ポイントH [k G [k] 1] 8ポイントH [k G [k] 2]
上の図から、次のことがわかります。
$ W_8 ^ 4 = -1 $
$ W_8 ^ 5 = -W_8 ^ 1 $
$ W_8 ^ 6 = -W_8 ^ 2 $
$ W_8 ^ 7 = -W_8 ^ 3 $
同様に、最終的な値は次のように書くことができます-
$ G [0] -H [0] = x [4] $
$ G [1] -W_8 ^ 1H [1] = x [5] $
$ G [2] -W_8 ^ 2H [2] = x [6] $
$ G [1] -W_8 ^ 3H [3] = x [7] $
上記は定期的なシリーズです。 このシステムの欠点は、Kが4ポイントを超えて分割できないことです。 さて、上記をさらに細分化しましょう。 このような構造を取得します
例
シーケンスx [n] = \ {2,1、-1、-3,0,1,2,1}を考えます。 FFTを計算します。
解決策-指定されたシーケンスはx [n] = \ {2,1、-1、-3,0,1,2,1}です。
以下に示すように用語を配置します。
DSP-インプレース計算
このメモリの効率的な使用は、FFTを計算する高速ハードウェアを設計するために重要です。 インプレース計算という用語は、このメモリ使用量を説明するために使用されます。
時系列のデシメーション
この構造では、すべてのポイントをバイナリ形式で表します。 0と1で。 次に、これらの構造を逆にします。 その後取得するシーケンスは、ビット反転シーケンスとして知られています。 これは、時系列の間引きとしても知られています。 8点DFTのインプレース計算は、以下に示すように表形式で示されています-
| POINTS | BINARY FORMAT | REVERSAL | EQUIVALENT POINTS |
|---|---|---|---|
| 0 | 000 | 000 | 0 |
| 1 | 001 | 100 | 4 |
| 2 | 010 | 010 | 2 |
| 3 | 011 | 110 | 6 |
| 4 | 100 | 001 | 1 |
| 5 | 101 | 101 | 5 |
| 6 | 110 | 011 | 3 |
| 7 | 111 | 111 | 7 |
周波数シーケンスのデシメーション
タイムシーケンスとは別に、Nポイントシーケンスを周波数で表すこともできます。 それをよりよく理解するために4点のシーケンスを取りましょう。
シーケンスを$ x [0]、x [1]、x [2]、x [3]、x [4]、x [5]、x [6]、x [7] $とします。 最初に、2つのポイントを1つのグループにグループ化します。 数学的には、このシーケンスは次のように記述できます。
次に、シーケンス番号0〜3の1つのグループと、シーケンス4〜7の別のグループを作成します。 今、数学的にこれは次のように表示できます。
nをrで置き換えましょう。r= 0、1、2…。（N/2-1）。 数学的には、
私たちは最初の4つのポイント（x [0]、x [1]、x [2]、x [3]）を最初に取り、それらを数学的に次のように表現しようとします-
$ \ sum _ \ {n = 0} ^ 3x [n] W_8 ^ \ {nk} + \ sum _ \ {n = 0} ^ 3x [n + 4] W_8 ^ \ {（n + 4）k} $
$ = \ lbrace \ sum _ \ {n = 0} ^ 3x [n] + \ sum _ \ {n = 0} ^ 3x [n + 4] W_8 ^ \ {（4）k} \ rbrace \ times W_8 ^ \ { nk} $
今$ X [0] = \ sum _ \ {n = 0} ^ 3（X [n] + X [n + 4]）$
$ X [1] = \ sum _ \ {n = 0} ^ 3（X [n] + X [n + 4]）W_8 ^ \ {nk} $
$ = [X [0] -X [4] +（X [1] -X [5]）W_8 ^ 1 +（X [2] -X [6]）W_8 ^ 2 +（X [3] -X [7]）W_8 ^ 3 $
さらに2つの部分に分割できます。つまり、4ポイントシーケンスとして分割する代わりに、2ポイントシーケンスに分割できます。
DSP-コンピューター支援設計
FIRフィルターは、コンピューターを使用したフィルターの設計に役立ちます。 例を挙げて、その仕組みを見てみましょう。 以下に、目的のフィルターの図を示します。
コンピューターの設計を行っている間、連続グラフ全体を離散値に分割します。 特定の制限内で、離散的な大きさを持つ64、256または512（など）個の部品に分割します。
上記の例では、-πから+πまでの範囲を制限しています。 256の部分に分割しました。 ポイントは、H（0）、H（1）、….H（256）までとして表すことができます。 ここでは、IDFTアルゴリズムを適用します。これにより、線形位相特性が得られます。
フィルターの特定の順序に興味がある場合があります。 9次フィルタを通して上記の設計を実現したいとしましょう。 したがって、フィルター値はh0、h1、h2….h9として取得します。 数学的には、次のように表示できます
多数の転位がある場合、最大のポイントを取ります。
たとえば、上の図では、ポイントBとCの間で急激な傾斜の低下があります。 そのため、このポイントではより多くの離散値を取得しようとしますが、ポイントCとDの間には一定の勾配があります。 そこで、離散値の数を減らします。
上記のフィルターを設計するには、次のように最小化プロセスを実行します。
$ H（e ^ \ {j \ omega1}）= h_0 + h_1e ^ \ {-j \ omega1} + h_2e ^ \ {-2j \ omega1} + ….. + h_9e ^ \ {-9j \ omega1} $
$ H（e ^ \ {j \ omega2}）= h_0 + h_1e ^ \ {-j \ omega2} + h_2e ^ \ {-2j \ omega2} + ….. + h_9e ^ \ {-9j \ omega2} $
同様に
$（e ^ \ {j \ omega1000}）= h_0 + h_1eH ^ \ {-j \ omega1000} h_2e ^ \ {-2j \ omega1000} + ….. + h_9 + e ^ \ {-9j \ omega1000} $
上記の方程式を行列形式で表すと、
1000×1行列をB、1000×9行列をA、9×1行列を$ \ hat \ {h} $とします。
したがって、上記の行列を解くために、
$ \ hat \ {h} = [A ^ TA] ^ \ {-1} A ^ \ {T} B $
$ = [A ^ \ {* T} A] ^ \ {-1} A ^ \ { *T} B $
ここで、A ^* ^は行列Aの複素共役を表します。
