Digital-signal-processing-dsp-z-transform-solved-examples

DSP-Z変換の解決例

例1

すべての初期条件がゼロの場合、システム$ s（n + 2）-3s（n + 1）+ 2s（n）= \ delta（n）$の応答を見つけます。

解決策-上記の式の両側でZ変換を行うと、

$ \ Rightarrow S（z）\ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S（z）= \ frac \ {1} \ {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac \ {1} \ {（z-2）（z-1）} = \ frac \ {\ alpha _1} \ {z-2} + \ frac \ {\ alpha _2} \ {z-1} $

$ \ Rightarrow S（z）= \ frac \ {1} \ {z-2}-\ frac \ {1} \ {z-1} $

上記の方程式の逆Z変換を行うと、

$ S（n）= Z ^ \ {-1} [\ frac \ {1} \ {Z-2}]-Z ^ \ {-1} [\ frac \ {1} \ {Z-1}] $

$ = 2 ^ \ {n-1} -1 ^ \ {n-1} = -1 + 2 ^ \ {n-1} $

例2

以下のように差分方程式が記述されているシステムのシステム関数H（z）と単位サンプル応答h（n）を見つけます。

$ y（n）= \ frac \ {1} \ {2} y（n-1）+ 2x（n）$

ここで、y（n）とx（n）はそれぞれシステムの出力と入力です。

解決策-上記の差分方程式のZ変換をとると、

$ y（z）= \ frac \ {1} \ {2} Z ^ \ {-1} Y（Z）+ 2X（z）$

$ = Y（Z）[1- \ frac \ {1} \ {2} Z ^ \ {-1}] = 2X（Z）$

$ = H（Z）= \ frac \ {Y（Z）} \ {X（Z）} = \ frac \ {2} \ {[1- \ frac \ {1} \ {2} Z ^ \ {- 1}]} $

このシステムには、$ Z = \ frac \ {1} \ {2} $および$ Z = 0 $および$ H（Z）= \ frac \ {2} \ {[1- \ frac \ {1}に極があります。 \ {2} Z ^ \ {-1}]} $

したがって、上記の逆Z変換を行うと、次のようになります。

$ h（n）= 2（\ frac \ {1} \ {2}）^ nU（n）$

実施例３

次の場合にY（z）、n≥0を決定します−

$ y（n）+ \ frac \ {1} \ {2} y（n-1）-\ frac \ {1} \ {4} y（n-2）= 0 \ quad given \ quad y（-1 ）= y（-2）= 1 $

ソリューション-上記の方程式にZ変換を適用すると、

$ Y（Z）+ \ frac \ {1} \ {2} [Z ^ \ {-1} Y（Z）+ Y（-1）]-\ frac \ {1} \ {4} [Z ^ \ {-2} Y（Z）+ Z ^ \ {-1} Y（-1）+4（-2）] = 0 $

$ \ Rightarrow Y（Z）+ \ frac \ {1} \ {2Z} Y（Z）+ \ frac \ {1} \ {2}-\ frac \ {1} \ {4Z ^ 2} Y（Z） -\ frac \ {1} \ {4Z}-\ frac \ {1} \ {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y（Z）[1+ \ frac \ {1} \ {2Z}-\ frac \ {1} \ {4Z ^ 2}] = \ frac \ {1} \ {4Z}-\ frac \ { 1} \ {2} $

$ \ Rightarrow Y（Z）[\ frac \ {4Z ^ 2 + 2Z-1} \ {4Z ^ 2}] = \ frac \ {1-2Z} \ {4Z} $

$ \ Rightarrow Y（Z）= \ frac \ {Z（1-2Z）} \ {4Z ^ 2 + 2Z-1} $