Digital-signal-processing-dsp-z-transform-properties
DSP-Z変換プロパティ
この章では、Z変換の基本的なプロパティを理解します。
直線性
2つ以上の個別の信号に定数が乗算されると、それぞれのZ変換にも同じ定数が乗算されることが示されています。
数学的には、
証明-私たちはそれを知っています、
$ = \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty（a_1x_1（n）+ a_2x_2（n））Z ^ \ {-n} $
$ = a_1 \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_1（n）Z ^ \ {-n} + a_2 \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（n）Z ^ \ { -n} $
$ = a_1X_1（z）+ a_2X_2（z）$（証明済み）
ここで、ROCは$ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $です。
タイムシフト
時間シフトプロパティは、離散信号の時間領域の変化がZドメインにどのように影響するかを示します。
または$ x（n-1）\ longleftrightarrow Z ^ \ {-1} X（Z）$
証明-
$ y（P）= X（P-K）$とする
$ Y（z）= \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty y（p）Z ^ \ {-p} $
$ = \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty（x（p-k））Z ^ \ {-p} $
s = p-kとする
$ = \ sum _ \ {s =-\ infty} ^ \ infty x（s）Z ^ \ {-（s + k）} $
$ = \ sum _ \ {s =-\ infty} ^ \ infty x（s）Z ^ \ {-s} Z ^ \ {-k} $
$ = Z ^ \ {-k} [\ sum _ \ {s =-\ infty} ^ \ infty x（m）Z ^ \ {-s}] $
$ = Z ^ \ {-k} X（Z）$（したがって証明済み）
ここで、ROCはZ = 0（p> 0）またはZ =∞（p <0）と書くことができます
例
U（n）とU（n-1）は次のようにプロットできます
U（n）のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty [U（n）] Z ^ \ {-n} = 1 $
U（n-1）のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty [U（n-1）] Z ^ \ {-n} = Z ^ \ {-1} $
したがって、ここで$ x（n-n_0）= Z ^ \ {-n_0} X（Z）$（証明済み）
時間スケーリング
Time Scalingプロパティは、時間を離散形式でスケーリングしたときに信号のZドメインがどうなるかを示します。
証明-
$ y（p）= a ^ \ {p} x（p）$とする
$ Y（P）= \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty y（p）Z ^ \ {-p} $
$ = \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty a ^ px（p）Z ^ \ {-p} $
$ = \ sum _ \ {p =-\ infty} ^ \ infty x（p）[a ^ \ {-1} Z] ^ \ {-p} $
$ = X（a ^ \ {-1} Z）$（したがって証明された）
ROC：= Mod（ar1）<Mod（Z）<Mod（ar2）ここでMod = Modulus
例
Timeスケーリングプロパティを使用して、$ x（n）= a ^ n \ cos \ omega n $のZ変換を決定します。
ソリューション-
信号$ \ cos（\ omega n）$のZ変換は、
\ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty（\ cos \ omega n）Z ^ \ {-n} =（Z ^ 2-Z \ cos \ omega）/（Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1）
ここで、時間スケーリングプロパティを適用すると、$ a ^ n \ cos \ omega n $のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty（a ^ n \ cos \ omega n）Z ^ \ {-n} = X（a ^ \ {-1} Z）$
$ = [（a ^ \ {-1} Z）^ 2-（a ^ \ {-1} Z \ cos \ omega n）]/（（a ^ \ {-1} Z）^ 2-2（a ^ \ {-1} Z \ cos \ omega n）+1）$
$ = Z（Z-a \ cos \ omega）/（Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2）$
逐次分化
逐次微分プロパティは、時間領域で離散信号を時間に関して微分するとZ変換が行われることを示しています。 これを以下に示します。
証明-
方程式のLHSを考慮してください-$ \ frac \ {dx（n）} \ {dn} $
$ = x（n）-X（n-1）$
$ = x（Z）-Z ^ \ {-1} x（Z）$
$ =（1-Z ^ \ {-1}）x（Z）$（証明済み）
ROC：R1 <Mod（Z）<R2
例
$ x（n）= n ^ 2u（n）$で与えられる信号のZ変換を見つけましょう
プロパティによって、私たちは書くことができます
$ Zz [nU（n）] = -Z \ frac \ {dZ [U（n）]} \ {dz} $
$ = -Z \ frac \ {d [\ frac \ {Z} \ {Z-1}]} \ {dZ} $
$ = Z/（（Z-1）^ 2 $
$ = y（let）$
Z [n.y]は、プロパティを再度適用することで見つけることができます。
$ Z（n、y）= -Z \ frac \ {dy} \ {dz} $
$ = -Z \ frac \ {d [Z/（Z-1）^ 3]} \ {dz} $
$ = Z（Z + 1）/（Z-1）^ 2 $
畳み込み
これは、畳み込みが離散信号形式で行われるときのシステムのZ領域の変化を示しています。
$ x_1（n）* x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（Z）.X_2（Z）$
証明-
$ X（Z）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）Z ^ \ {-n} $
$ = \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty [\ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）x_2（n-k）] Z ^ \ {-n} $
$ = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[\ sum_n ^ \ infty x_2（n-k）Z ^ \ {-n}] $
$ = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[\ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（nk）Z ^ \ {-（nk）} Z ^ \ { -k}] $
n-k = lとすると、上記の式は次のように書かれます-
$ X（Z）= \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）[Z ^ \ {-k} \ sum _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x_2（l）Z ^ \ {-l}] $
$ = \ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（k）X_2（Z）Z ^ \ {-k} $
$ = X_2（Z）\ sum _ \ {k =-\ infty} ^ \ infty x_1（Z）Z ^ \ {-k} $
$ = X_1（Z）.X_2（Z）$（したがって証明済み）
ROC：$ ROC \ bigcap ROC2 $
例
2つの信号によって与えられる畳み込みを見つけましょう
$ x_1（n）= \ lbrace 3、-2,2 \ rbrace $ …（eq。 1)
$ x_2（n）= \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad and \ quad 0 \ quad他の場所\ rbrace $ …（eq。 2)
最初の方程式のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_1（n）Z ^ \ {-n} $
$ = 3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} $
2番目の信号のZ変換は次のように記述できます。
$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x_2（n）Z ^ \ {-n} $
$ = 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {-3} + 2Z ^ \ {-4} $
したがって、上記の2つの信号の畳み込みは次のように与えられます-
$ X（Z）= [x_1（Z）^ * x_2（Z）] $
$ = [3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2}] \ times [2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {-3} + 2Z ^ \ {-4}] $
$ = 6 + 2Z ^ \ {-1} + 6Z ^ \ {-2} + 6Z ^ \ {-3} + … \ quad … \ quad … $
取得した逆Z変換を使用すると、
$ x（n）= \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $
初期値定理
x（n）が因果シーケンスであり、X（z）としてZ変換がある場合、初期値定理は次のように記述できます。
$ X（n）（at \ quad n = 0）= \ lim _ \ {z \ to \ infty} X（z）$
証明-私たちはそれを知っています、
$ X（Z）= \ sum _ \ {n = 0} ^ \ infty x（n）Z ^ \ {-n} $
上記のシリーズを展開すると、次のようになります。
$ = X（0）Z ^ 0 + X（1）Z ^ \ {-1} + X（2）Z ^ \ {-2} + … \ quad … $
$ = X（0）\ times 1 + X（1）Z ^ \ {-1} + X（2）Z ^ \ {-2} + … \ quad … $
上記の場合、Z→∞の場合、$ Z ^ \ {-n} \ rightarrow 0 $（n> 0であるため）
したがって、私たちは言うことができます。
$ \ lim _ \ {z \ to \ infty} X（z）= X（0）$（したがって証明済み）
最終値定理
最終値定理は、信号のZ変換がX（Z）として表され、極がすべて円の内側にある場合、その最終値はx（n）またはX（∞）として示され、 −
$ X（\ infty）= \ lim _ \ {n \ to \ infty} X（n）= \ lim _ \ {z \ to 1} [X（Z）（1-Z ^ \ {-1}）] $
条件-
- 因果システムにのみ適用されます。
- $ X（Z）（1-Z ^ \ {-1}）$には、Z平面の単位円内に極が必要です。
証明-私たちはそれを知っています
$ Z ^ + [x（n + 1）-x（n）] = \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ sum _ \ {n = 0} ^ kZ ^ \ {-n} [x（n + 1 ）-x（n）] $
$ \ Rightarrow Z ^ + [x（n + 1）]-Z ^ + [x（n）] = \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ sum _ \ {n = 0} ^ kZ ^ \ {-n } [x（n + 1）-x（n）] $
$ \ Rightarrow Z [X（Z）^ +-x（0）]-X（Z）^ + = \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ sum _ \ {n = 0} ^ kZ ^ \ {-n } [x（n + 1）-x（n）] $
ここで、片側Z変換の高度なプロパティを適用できます。 したがって、上記の式は次のように書き直すことができます。
$ Z ^ + [x（n + 1）] = Z [X（2）^ +-x（0）Z ^ 0] = Z [X（Z）^ +-x（0）] $
今、上記の方程式にz = 1を入れて、上記の方程式を展開することができます-
$ \ lim _ \ {k \ to \ infty} \ {[x（1）-x（0）+ x（6）-x（1）+ x（3）-x（2）+ … \ quad。 .. \ quad … + x（x + 1）-x（k）]} $
これは次のように定式化できます。
$ X（\ infty）= \ lim _ \ {n \ to \ infty} X（n）= \ lim _ \ {z \ to 1} [X（Z）（1-Z ^ \ {-1}）] $（したがって証明済み）
例
信号が次の式で与えられるx（n）の初期値と最終値を見つけましょう。
$ X（Z）= 2 + 3Z ^ \ {-1} + 4Z ^ \ {-2} $
解決策-最初に、定理を適用して信号の初期値を見つけましょう
$ x（0）= \ lim _ \ {z \ to \ infty} X（Z）$
$ = \ lim _ \ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ \ {-1} + 4Z ^ \ {-2}] $
$ = 2 （\ frac \ {3} \ {\ infty}）（\ frac \ {4} \ {\ infty}）= 2 $
ここで、定理を適用した信号の最終値を見つけましょう
$ x（\ infty）= \ lim _ \ {z \ to \ infty} [（1-Z ^ \ {-1}）X（Z）] $
$ = \ lim _ \ {z \ to \ infty} [（1-Z ^ \ {-1}）（2 + 3Z ^ \ {-1} + 4Z ^ \ {-2}）] $
$ = \ lim _ \ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ \ {-1} + Z ^ \ {-2} -4Z ^ \ {-3}] $
$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $
- Z変換のその他のプロパティを以下にリストします*-
頻度の差別化
離散信号が時間に対して微分されると、信号のZドメインの変化を示します。
$ nx（n）\ longleftrightarrow -Z \ frac \ {dX（z）} \ {dz} $
ROCは次のように記述できます。
$ r_2 <Mod（Z）<r_1 $
例
Zドメインの離散信号が$ x（n）\ longleftrightarrow X（Z）= log（1 + aZ ^ \ {-1}）$で与えられる周波数の微分を通じてx（n）の値を見つけましょう
プロパティによって、私たちはそれを書くことができます
$ nx（n）\ longleftrightarrow -Z \ frac \ {dx（Z）} \ {dz} $
$ = -Z [\ frac \ {-aZ ^ \ {-2}} \ {1 + aZ ^ \ {-1}}] $
$ =（aZ ^ \ {-1}）/（1 + aZ ^ \ {-1}）$
$ = 1-1/（1 + aZ ^ \ {-1}）$
$ nx（n）= \ delta（n）-（-a）^ nu（n）$
$ \ Rightarrow x（n）= 1/n [\ delta（n）-（-a）^ nu（n）] $
時間の乗算
離散信号レベルで乗算が行われると、信号のZドメインの変化を与えます。
$ x_1（n）.x_2（n）\ longleftrightarrow（\ frac \ {1} \ {2 \ Pi j}）[X1（Z） *X2（Z）] $
時間の活用
これは、Zドメインの共役離散信号の表現を示しています。
$ X ^* （n）\ longleftrightarrow X ^ *（Z ^ *）$
