Digital-signal-processing-dsp-z-transform-inverse

DSP-Z変換インバース

周波数領域で既に表されているシステムを離散時間信号として分析する場合は、逆Z変換に進みます。

数学的には、次のように表すことができます。

ここで、x（n）は時間領域の信号で、X（Z）は周波数領域の信号です。

上記の方程式を積分形式で表現したい場合、次のように記述できます。

ここで、積分は閉じたパスC上にあります。 このパスはx（z）のROC内にあり、原点を含んでいます。

逆Z変換を見つける方法

離散形式で分析が必要な場合、逆Z変換により周波数領域信号を離散形式に変換します。 以下の4つの方法に従って、逆Z変換を決定します。

• 長分割法
• 部分分数展開法
• 残差または等高線積分法

長分割法

この方法では、信号x（z）のZ変換は、以下に示すように多項式の比として表すことができます。

さて、分子を分母で割ると、以下に示すような系列が得られます

上記のシーケンスは、与えられた信号の一連の逆Z変換を表し（n≥0の場合）、上記のシステムは因果関係があります。

ただし、n <0の場合、シリーズは次のように記述できます。

部分分数展開法

ここでも、信号は最初にN（z）/D（z）形式で表されます。

有理数の場合、次のように表されます。

$ x（z）= b_0 + b_1Z ^ \ {-1} + b_2Z ^ \ {-2} + …​ \ quad …​ \ quad …​ + b_mZ ^ \ {-m}）/（a_0 + a_1Z ^ \ {-1} + a_2Z ^ \ {-2} + …​ \ quad …​ \ quad …​ + a_nZ ^ \ {-N}）$

上記は、m <nおよびan≠0の場合は不適切です。

比率が適切でない場合（つまり、 不適切）、それを解決するために適切な形式に変換する必要があります。

残差または等高線積分法

この方法では、すべての極で$ [x（z）Z ^ \ {n-1}] $の剰余を合計することにより、逆Z変換x（n）を取得します。 数学的には、これは

ここで、$ z = \ beta $における次数mの極の剰余は