Digital-signal-processing-dsp-z-transform-introduction

DSP-Z変換の概要

エネルギーおよび電力信号用の離散時間フーリエ変換（DTFT）が存在します。 Z変換は、エネルギーまたはパワー（NENP）タイプの信号に対しても、ある程度までしか存在しません。 置換$ z = e ^ \ {jw} $は、絶対加算可能な信号の場合のみ、Z変換からDTFT変換に使用されます。

だから、べき級数の離散時間信号x（n）のZ変換は次のように書くことができます-

上記の方程式は、両側Z変換方程式を表します。

一般的に、信号がZ変換されるとき、それは次のように表すことができます-

または$ x（n）\ longleftrightarrow X（Z）$

連続時間信号の場合、ラプラス変換が使用されるため、Z変換は必要ありません。 ただし、離散時間信号はZ変換のみで分析できます。

収束領域

収束領域は、Z平面の複素変数Zの範囲です。 信号のZ変換は有限または収束的です。 したがって、ROCはZの値のセットを表し、X（Z）の値は有限です。

ROCのプロパティ

• ROCにはポールは含まれません。
• 右側の信号の場合、ROCはZ平面の円の外側になります。
• 左側の信号の場合、ROCはZ平面の円の内側になります。
• 安定性のために、ROCにはZ平面の単位円が含まれています。
• 両面信号の場合、ROCはZ平面のリングです。
• 有限時間信号の場合、ROCはZ平面全体です。

Z変換は、以下によって一意に特徴付けられます-

• X（Z）の表現
• X（Z）のROC

シグナルとそのROC

x(n)	X(Z)	ROC
$\delta(n)$	$1$	Entire Z plane
$U(n)$	$1/(1-Z^\{-1})$	Mod(Z)>1
$a^nu(n)$	$1/(1-aZ^\{-1})$	Mod(Z)>Mod(a)
$-a^nu(-n-1)$	$1/(1-aZ^\{-1})$	Mod(Z)<Mod(a)
$na^nu(n)$	$aZ\{-1}/(1-aZ\{-1})^2$	Mod(Z)>Mod(a)
$-a^nu(-n-1)$	$aZ\{-1}/(1-aZ\{-1})^2$	Mod(Z)<Mod(a)
$U(n)\cos \omega n$	$(Z^2-Z\cos \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$	Mod(Z)>1
$U(n)\sin \omega n$	$(Z\sin \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$	Mod(Z)>1

例

$ x（n）= \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $で与えられる信号のZ変換とROCを見つけましょう。ここで、系列の原点は3です。

解決策-持っている式を適用する-

$ X（z）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）Z ^ \ {-n} $

$ = \ sum _ \ {n = -1} ^ 3 x（n）Z ^ \ {-n} $

$ = x（-1）Z + x（0）+ x（1）Z ^ \ {-1} + x（2）Z ^ \ {-2} + x（3）Z ^ \ {-3} $

$ = 7Z + 3 + 4Z ^ \ {-1} + 9Z ^ \ {-2} + 5Z ^ \ {-3} $

ROCは、Z = 0、∞、-∞を除くZ平面全体です