Digital-signal-processing-dsp-z-transform-existence

DSP-Z変換の存在

システム機能を持つシステムは、すべての極が単位円の内側にある場合にのみ安定します。 まず、システムが原因かどうかを確認します。 システムが因果関係の場合は、BIBOの安定性の判断に進みます。ここで、BIBOの安定性とは、制限された出力条件に対する制限された入力を指します。

これは次のように書くことができます。

$ Mod（X（Z））<\ infty $

$ = Mod（\ sum x（n）Z ^ \ {-n}）<\ infty $

$ = \ sum Mod（x（n）Z ^ \ {-n}）<\ infty $

$ = \ sum Mod [x（n）（re ^ \ {jw}）^ \ {-n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x（n）r ^ \ {-n}] Mod [e ^ \ {-jwn}] <\ infty $

$ = \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty Mod [x（n）r ^ \ {-n}] <\ infty $

上記の式は、Z変換の存在条件を示しています。

ただし、DTFT信号の存在条件は

例1

信号のZ変換を見つけようとします。

$ x（n）=-（-0.5）^ \ {-n} u（-n）+ 3 ^ nu（n）$

$ =-（-2）^ nu（n）+ 3 ^ nu（n）$

解決策-ここでは、$-（-2）^ nu（n）$の場合、ROCは左側にあり、Z <2

$ 3 ^ nu（n）$の場合、ROCは右側にあり、Z> 3

したがって、ここでは共通領域がないため、信号のZ変換は存在しません。

例2

によって与えられる信号のZ変換を見つけようとします。

$ x（n）= -2 ^ nu（-n-1）+（0.5）^ nu（n）$

解決策-ここでは、$-2 ^ nu（-n-1）$の場合、信号のROCは左側でZ <2

信号の場合、$（0.5）^ nu（n）$ ROCは右側にあり、Z> 0.5

したがって、0.5 <Z <2として形成される共通ROC

したがって、Z変換は次のように記述できます。

$ X（Z）= \ lbrace \ frac \ {1} \ {1-2Z ^ \ {-1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac \ {1} \ {（1-0.5Z）^ \ {-1} } \ rbrace $

実施例３

$ x（n）= 2 ^ \ {r（n）} $として与えられる、信号のZ変換を見つけてみましょう。

ソリューション-r（n）はランプ信号です。 したがって、信号は次のように記述できます。

$ x（n）= 2 ^ \ {nu（n）} \ lbrace 1、n <0（u（n）= 0）\ quad and \ quad2 ^ n、n \ geq 0（u（n）= 1） \ rbrace $

$ = u（-n-1）+ 2 ^ nu（n）$

ここで、信号$ u（-n-1）$およびROC Z <1の場合、および$ 2 ^ nu（n）$の場合ROCはZ> 2です。

そのため、信号のZ変換は存在しません。

Z-因果系の変換

因果システムは、$ h（n）= 0、n <0 $として定義できます。 因果システムの場合、ROCはZ平面の円の外側になります。

$ H（Z）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {\ infty} h（n）Z ^ \ {-n} $

上記の方程式を展開すると、

$ H（Z）= h（0）+ h（1）Z ^ \ {-1} + h（2）Z ^ \ {-2} + …​ \ quad …​ \ quad …​ $

$ = N（Z）/D（Z）$

因果システムの場合、伝達関数の拡張にはZの正のべき乗は含まれません。 因果系の場合、分子の順序は分母の順序を超えることはできません。 これは

$ \ lim _ \ {z \ rightarrow \ infty} H（Z）= h（0）= 0 \ quad or \ quad Finite $

因果系の安定性のために、伝達関数の極はZ平面の単位円の内側になければなりません。

反因果システムのZ変換

反因果システムは$ h（n）= 0、n \ geq 0 $として定義できます。 反因果系の場合、伝達関数の極はZ平面の単位円の外側になければなりません。 反因果システムの場合、ROCはZ平面の円の内側にあります。