DSP-信号畳み込みの操作

時間領域での2つの信号の畳み込みは、周波数領域での表現の乗算と同等です。数学的には、2つの信号の畳み込みを次のように書くことができます。

畳み込みの手順

信号x〜1〜（t）を取得し、そこにt = pを入れて、x〜1〜（p）になるようにします。
信号x〜2〜（t）を取得してステップ1を実行し、x〜2〜（p）にします。
信号の折り畳み、つまり x〜2〜（-p）。
上記の信号の時間シフトを行うx〜2〜[-（p-t）]
次に、両方の信号の乗算を行います。 i.e. $ x _ \ {1}（p）.x _ \ {2} [−（p−t）] $

例

ステップ信号u（t）をそれ自体の種類で畳み込みましょう。

$ y（t）= u（t） *u（t）$

$ = \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {\ infty} [u（p）.u [-（p-t）] dp $

このtは、以下の図に示すように、ゼロより大きくても小さくてもかまいません。

コンボリューションの例

したがって、上記の場合、結果は次の可能性で発生します

$ y（t）= \ begin \ {cases} 0、およびif \ quad t <0 \\\ int _ \ {0} ^ \ {t} 1dt、およびfor \ quad t> 0 \ end \ {cases} $

$ = \ begin \ {cases} 0、＆if \ quad t <0 \\ t、＆t> 0 \ end \ {cases} = r（t）$

畳み込みの特性

可換

畳み込みの順序は重要ではないと述べており、数学的に次のように示すことができます。

連想

それは、3つの信号を含む畳み込みの順序は何でもよいと述べています。数学的には、次のように表示できます。

分配的

最初に2つの信号を追加してから、その畳み込みを3番目の信号に加えることができます。これは、2つの信号を3番目の信号で個別に畳み込み、最後に追加することに相当します。数学的には、これは次のように書くことができます。

Area

信号が2つの信号の畳み込みの結果である場合、信号の領域はそれらの個々の信号の乗算です。数学的にこれは書くことができます

$ y（t）= x _ \ {1}* x _ \ {2}（t）$の場合

次に、y（t）の面積= x〜1〜（t）の面積x x〜2〜（t）の面積

スケーリング

2つの信号を未知の定数「a」にスケーリングし、畳み込みを行うと、結果の信号も同じ定数「a」に畳み込まれ、以下に示すようにその量で除算されます。

もし、$ x _ \ {1}（t）* x _ \ {2}（t）= y（t）$

次に、$ x _ \ {1}（at）* x _ \ {2}（at）= \ frac \ {y（at）} \ {a}、\ ne 0 $

ディレイ

信号y（t）が2つの信号x1（t）とx2（t）の畳み込みの結果であると仮定します。 2つの信号がそれぞれ時間t1とt2だけ遅延する場合、結果の信号y（t）は（t1 + t2）だけ遅延します。数学的に、それは次のように書くことができます-

もし、$ x _ \ {1}（t）* x _ \ {2}（t）= y（t）$

次に、$ x _ \ {1}（t-t _ \ {1}）* x _ \ {2}（t-t _ \ {2}）= y [t-（t _ \ {1} + t _ \ {2}） ] $

解決された例

例1 *-信号u（t-1）とu（t-2）の畳み込みを見つけます。

解決策-与えられた信号はu（t-1）とu（t-2）です。それらの畳み込みは以下に示すように行うことができます-

$ y（t）= u（t-1）* u（t-2）$

$ y（t）= \ int _ \ {-\ infty} ^ \ {+ \ infty} [u（t-1）.u（t-2）] dt $

$ = r（t-1）+ r（t-2）$

$ = r（t-3）$

例2 *-2つの信号の畳み込みを見つける

*$ x _ \ {1}（n）= \ lbrace 3、-2、2 \ rbrace $*

$ x _ \ {2}（n）= \ begin \ {cases} 2、＆0 \ leq n \ leq 4 \\ 0、＆x>他の場所\ end \ {cases} $

ソリューション-

x〜2〜（n）は$ x _ \ {2}（n）= \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $としてデコードできます

x〜1〜（n）には以前に$ = \ lbrace 3、-2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} $が与えられています

同様に、$ x _ \ {2}（z）= 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {-3} + 2Z ^ \ {-4} $

結果の信号、

$ X（Z）= X _ \ {1}（Z）X _ \ {2}（z）$

$ = \ lbrace 3-2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-2} + 2Z ^ \ {- 3} + 2Z ^ \ {-4} \ rbrace $

$ = 6 + 2Z ^ \ {-1} + 6Z ^ \ {-2} + 6Z ^ \ {-3} + 6Z ^ \ {-4} + 6Z ^ \ {-5} $

上記の逆Z変換を行うと、結果の信号は次のようになります。

$ x（n）= \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $最初の原点

例3 *-次の2つの信号の畳み込みを決定します-

*$ x（n）= \ lbrace 2,1,0,1 \ rbrace $*

*$ h（n）= \ lbrace 1,2,3,1 \ rbrace $*

ソリューション-

信号のZ変換を取得すると、

$ x（z）= 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-3} $

そして、$ h（n）= 1 + 2Z ^ \ {-1} + 3Z ^ \ {-2} + Z ^ \ {-3} $

2つの信号の畳み込みは、それらのZ変換の乗算を意味します

それは$ Y（Z）= X（Z）\ times h（Z）$

$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ \ {-1} + 2Z ^ \ {-3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ \ {-1} + 3Z ^ \ {-2} + Z ^ \ {- 3} \ rbrace $

$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ \ {-1} + 8Z ^ \ {-2} + 6Z ^ \ {-3} + 3Z ^ \ {-4} + 3Z ^ \ {-5} + Z ^ \ { -6} \ rbrace $

逆Z変換を行うと、結果の信号は次のように記述できます。

$ y（n）= \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $

Digital-signal-processing-dsp-operations-on-signals-convolution

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