Digital-signal-processing-dsp-fast-fourier-transform
DSP-高速フーリエ変換
以前のDFTメソッドでは、計算部分が長すぎることがわかりました。 それを減らしたいです。 これは、FFTまたは高速フーリエ変換によって実行できます。 そのため、FFTはアルゴリズム形式での離散フーリエ変換の計算に過ぎず、計算部分が削減されます。
FFTを使用する主な利点は、FFTを使用してFIRフィルターを設計できることです。 数学的には、FFTは次のように記述できます。
例をよく理解してみましょう。 $ x_0 \ quad to \ quad x_7 $の名前の8つのポイントを考慮しました。 一方のグループでは偶数の用語を選択し、もう一方のグループでは奇数の用語を選択します。 上記の模式図は以下に示されています-
ここでは、ポイントx〜0〜、x〜2〜、x〜4〜、およびx〜6〜は1つのカテゴリにグループ化され、同様にポイントx〜1〜、x〜3〜、x〜5〜、およびx〜7 〜は別のカテゴリに入れられました。 これで、さらに2つのグループにまとめて、計算を進めることができます。 次に、これらがさらに2つに分かれて計算にどのように役立つかを見てみましょう。
$ x [k] = \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {r = 0} ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r] W_N ^ \ {2rk} + \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {r = 0} ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r + 1] W_N ^ \ {（2r + 1）k} $
$ = \ sum _ \ {r = 0} ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r] W _ \ {N/2} ^ \ {rk} + \ sum _ \ {r = 0 } ^ \ {\ frac \ {N} \ {2} -1} x [2r + 1] W _ \ {N/2} ^ \ {rk} \ times W_N ^ k $
$ = G [k] + H [k] \ times W_N ^ k $
最初は8ポイントのシーケンスを取りましたが、後でそれをG [k]とH [k]の2つの部分に分割しました。 G [k]は偶数部分を表し、H [k]は奇数部分を表します。 私たちは図を介してそれを実現したい場合、それは以下のように示すことができます-
8ポイントH [k G [k] 1] 8ポイントH [k G [k] 2]
上の図から、次のことがわかります。
$ W_8 ^ 4 = -1 $
$ W_8 ^ 5 = -W_8 ^ 1 $
$ W_8 ^ 6 = -W_8 ^ 2 $
$ W_8 ^ 7 = -W_8 ^ 3 $
同様に、最終的な値は次のように書くことができます-
$ G [0] -H [0] = x [4] $
$ G [1] -W_8 ^ 1H [1] = x [5] $
$ G [2] -W_8 ^ 2H [2] = x [6] $
$ G [1] -W_8 ^ 3H [3] = x [7] $
上記は定期的なシリーズです。 このシステムの欠点は、Kが4ポイントを超えて分割できないことです。 さて、上記をさらに細分化しましょう。 このような構造を取得します
例
シーケンスx [n] = \ {2,1、-1、-3,0,1,2,1}を考えます。 FFTを計算します。
解決策-指定されたシーケンスはx [n] = \ {2,1、-1、-3,0,1,2,1}です。
以下に示すように用語を配置します。
