DSP-DFT時間周波数変換

$ \ omega = 2 \ pi K/N $および$ N \ rightarrow \ inftyの場合、\ omega $は連続変数になり、合計を$-\ infty $から$ + \ infty $に制限することがわかります。

したがって、

離散時間フーリエ変換（DTFT）

$ X（e ^ \ {j \ omega}）= \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty x（n）e ^ \ {-j \ omega n} $

ここで、$ X（e ^ \ {j \ omega}）$は、ωおよび周期2πで連続的かつ周期的です。…eq（1）

Now,

$ x_p（n）= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} NC_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} $…フーリエ級数から

$ x_p（n）= \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} NC_ke ^ \ {j2 \ pi nk/N} \ times \ frac \ { 2 \ pi} \ {N} $

上記の理由により、ωは連続し、$ \ frac \ {2 \ pi} \ {N} \ rightarrow d \ omega $になります。

$ x（n）= \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {n = 0} ^ \ {2 \ pi} X（e ^ \ {j \ omega}）e ^ \ {j \オメガn} d \ omega $…eq（2）

逆離散時間フーリエ変換

象徴的に、

$ x（n）\ Longleftrightarrow x（e ^ \ {j \ omega}）$（フーリエ変換ペア）

非周期的シーケンスx（n）の離散時間フーリエ変換の存在に必要かつ十分な条件は、絶対加算可能です。

つまり、$ \ sum _ \ {n =-\ infty} ^ \ infty | x（n）| <\ infty $

DTFTのプロパティ

線形：$ a_1x_1（n）+ a_2x_2（n）\ Leftrightarrow a_1X_1（e ^ \ {j \ omega}）+ a_2X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
タイムシフト-$ x（n-k）\ Leftrightarrow e ^ \ {-j \ omega k} .X（e ^ \ {j \ omega}）$
時間反転-$ x（-n）\ Leftrightarrow X（e ^ \ {-j \ omega}）$
周波数シフト-$ e ^ \ {j \ omega _0n} x（n）\ Leftrightarrow X（e ^ \ {j（\ omega-\ omega _0）}）$
微分周波数領域-$ nx（n）= j \ frac \ {d} \ {d \ omega} X（e ^ \ {j \ omega}）$
コンボリューション-$ x_1（n）* x_2（n）\ Leftrightarrow X_1（e ^ \ {j \ omega}）\ times X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
乗算-$ x_1（n）\ times x_2（n）\ Leftrightarrow X_1（e ^ \ {j \ omega}）* X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
相関-$ y _ \ {x_1 \ times x_2}（l）\ Leftrightarrow X_1（e ^ \ {j \ omega}）\ times X_2（e ^ \ {j \ omega}）$
変調定理-$ x（n）\ cos \ omega _0n = \ frac \ {1} \ {2} [X_1（e ^ \ {j（\ omega + \ omega _0}）* X_2（e ^ \ { jw}）$
対称性-$ x ^ *（n）\ Leftrightarrow X ^ *（e ^ \ {-j \ omega}）$; + $ x ^ *（-n）\ Leftrightarrow X ^ *（e ^ \ {j \ omega}）$; + $ Real [x（n）] \ Leftrightarrow X _ \ {even}（e ^ \ {j \ omega}）$; + $ Imag [x（n）] \ Leftrightarrow X _ \ {odd}（e ^ \ {j \ omega}）$; + $ x _ \ {even}（n）\ Leftrightarrow Real [x（e ^ \ {j \ omega}）] $; + $ x _ \ {odd}（n）\ Leftrightarrow Imag [x（e ^ \ {j \ omega}）] $;
* Parsevalの定理*-$ \ sum _ \ {-\ infty} ^ \ infty | x_1（n）| ^ 2 = \ frac \ {1} \ {2 \ pi} \ int _ \ {-\ pi} ^ \ {\ pi} | X_1（e ^ \ {j \ omega}）| ^ 2d \ omega $

前に、周波数領域でのサンプリングを研究しました。その基本的な知識があれば、周波数領域で$ X（e ^ \ {j \ omega}）$をサンプリングするので、そのサンプリングされたデータから便利なデジタル分析を行うことができます。したがって、DFTは時間領域と周波数領域の両方でサンプリングされます。仮定$ x（n）= x_p（n）$

したがって、DFTは次のように与えられます-

$ X（k）= DFT [x（n）] = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）e ^ \ {-\ frac \ {j2 \ pi nk} \ {N}} $、k = 0,1、…。、N−1…eq（3）

そして、IDFTはによって与えられます-

$ X（n）= IDFT [X（k）] = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} X（k）e ^ \ {\ frac \ {j2 \ pi nk} \ {N}} $、n = 0,1、…。、N−1…eq（4）

$ \ therefore x（n）\ Leftrightarrow X（k）$

回転因子

これは$ W_N $として示され、$ W_N = e ^ \ {-j2 \ pi/N} $として定義されます。その大きさは常に統一されています。 $ W_N = -2 \ pi/N $のフェーズ。これは単位円上のベクトルであり、計算の便宜上使用されます。数学的に、それは次のように示すことができます-

$ W_N ^ r = W_N ^ \ {r \ pm N} = W_N ^ \ {r \ pm 2N} = … $

rと周期Nの関数です。 + N = 8、r = 0、1、2、3、….14、15、16、…を検討します。 + $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ \ {16} = … = … = W_8 ^ \ {32} = … = 1 = 1 \ angle 0 $
$ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ \ {17} = … = … = W_8 ^ \ {33} = … = \ frac \ {1} \ {\ sqrt 2} = j \ frac \ {1} \ {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac \ {\ pi} \ {4} $

線形変換

線形変換を理解しましょう-

私達はことを知っています、

$ DFT（k）= DFT [x（n）] = X（\ frac \ {2 \ pi} \ {N} k）= \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n） .W_n ^ \ {-nk}; \ quad k = 0,1、…。、N−1 $

$ x（n）= IDFT [X（k）] = \ frac \ {1} \ {N} \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} X（k）.W_N ^ \ {-nk }; \ quad n = 0,1、…。、N−1 $

注意-DFTの計算は、N ^ 2 ^複素乗算とN（N-1）複素加算で実行できます。

$ x_N = \ begin \ {bmatrix} x（0）\\ x（1）\\。\\。\\ x（N-1）\ end \ {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ quad signal \ quad x_N $

$ X_N = \ begin \ {bmatrix} X（0）\\ X（1）\\。\\。\\ X（N-1）\ end \ {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ quad signal \ quad X_N $

$ \ begin \ {bmatrix} 1＆1＆1＆… ＆… ＆1 \\ 1＆W_N＆W_N ^ 2＆… ＆… ＆W_N ^ \ {N-1} \\。＆W_N ^ 2＆W_N ^ 4＆… ＆… ＆W_N ^ \ {2（N-1）} \\。\\ 1＆W_N ^ \ {N-1}＆W_N ^ \ {2（N-1）}＆… ＆… ＆W_N ^ \ {（N-1）（N-1）} \ end \ {bmatrix} $

N-行列項の点DFTは次の式で与えられます-$ X_N = W_Nx_N $

$ W_N \ longmapsto $線形変換の行列

$ Now、\ quad x_N = W_N ^ \ {-1} X_N $

マトリックス形式のIDFTは、

$ x_N、\ quad W_N ^ \ {-1} = \ frac \ {1} \ {N} W_N ^ $と$ W_N \ times W_N ^ = N [I] _ \ {N \の両方の式を比較する回N} $

したがって、$ W_N $は線形変換行列、直交（ユニタリ）行列です。

$ W_N $の周期的プロパティとその対称プロパティから、$ W_N ^ \ {k + N/2} = -W_N ^ k $と結論付けることができます。

円形対称

長さN≤Lの有限期間x（n）のN点DFTは、x（n）の周期的拡張のN点DFTと等価です。期間Nの$ x_p（n）$ および$ x_p（n）= \ sum _ \ {l =-\ infty} ^ \ infty x（n-Nl）$ ここで、シーケンスをシフトすると、これはk単位だけ周期的なシーケンスであるため、別の周期的なシーケンスが取得されます。これは循環シフトとして知られており、これは

新しい有限シーケンスは次のように表すことができます

例-x（n）= \ {1,2,4,3}、N = 4とする

$ x_p ^ \ prime（n）= x（nk、modulo \ quad N）\ equiv x（（nk））_ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \クワッドシフト\クワッドおよび\クワッドN = 4、$

時計回りの方向を正の方向と想定。

$ x \ prime（n）= x（（n-2））_ 4 $を得た

$ x \ prime（0）= x（（-2））_ 4 = x（2）= 4 $

$ x \ prime（1）= x（（-1））_ 4 = x（3）= 3 $

$ x \ prime（2）= x（（-2））_ 4 = x（0）= 1 $

$ x \ prime（3）= x（（1））_ 4 = x（1）= 2 $

結論-N点シーケンスの循環シフトは、その周期的拡張の線形シフトと同等であり、逆も同様です。

円形の偶数列-$ x（N-n）= x（n）、\ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

$ i.e.x_p（n）= x_p（-n）= x_p（N-n）$

共役偶数-$ x_p（n）= x_p ^ *（N-n）$

循環奇数シーケンス-$ x（N-n）= -x（n）、\ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

$ i.e.x_p（n）= -x_p（-n）= -x_p（N-n）$

共役奇数-$ x_p（n）= -x_p ^ *（N-n）$

ここで、$ x_p（n）= x _ \ {pe} + x _ \ {po}（n）$、ここで、

$ x _ \ {pe}（n）= \ frac \ {1} \ {2} [x_p（n）+ x_p ^ *（N-n）] $

$ x _ \ {po}（n）= \ frac \ {1} \ {2} [x_p（n）-x_p ^ *（N-n）] $

任意の実信号x（n）、$ X（k）= X ^ *（N-k）$

$ X_R（k）= X_R（N-k）$

$ X_l（k）= -X_l（N-k）$

$ \ angle X（k）=-\ angle X（N-K）$

時間反転-0 ^ th ^サンプルについてサンプルを反転します。これは次のように与えられます。

$ x（（-n））_ N = x（N-n）、\ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $

時間反転は、時計回りの方向にシーケンスのサンプルをプロットしています。負の方向を想定。

その他の重要なプロパティ

その他の重要なIDFTプロパティ$ x（n）\ longleftrightarrow X（k）$

時間反転-$ x（（-n））_ N = x（N-n）\ longleftrightarrow X（（-k））_ N = X（N-k）$
循環時間シフト-$ x（（n-l））_ N \ longleftrightarrow X（k）e ^ \ {j2 \ pi lk/N} $
循環周波数シフト-$ x（n）e ^ \ {j2 \ pi ln/N} \ longleftrightarrow X（（k-l））_ N $
複素共役特性- + $ x ^ *（n）\ longleftrightarrow X ^ *（（-k））_ N = X ^ *（Nk）\ quad and $ + $ x ^ *（（-n））_ N = x ^ *（Nn） \ longleftrightarrow X ^ *（-k）$
* 2つのシーケンスの乗算*- + $ x_1（n）\ longleftrightarrow X_1（k）\ quadおよび\ quad x_2（n）\ longleftrightarrow X_2（k）$ + $ \ theforefore x_1（n）x_2（n）\ longleftrightarrow X_1（k）\quadⓃX_2 （k）$
循環たたみ込み-および2つのDFTの乗算 + $ x_1（k）\ quadⓃx_2（k）= \ sum _ \ {k = 0} ^ \ {N-1} x_1（n）.x_2（（mn））_ n、\ quad m = 0,1、 2、… 。、N-1 $ + $ x_1（k）\ quadⓃx_2（k）\ longleftrightarrow X_1（k）.X_2（k）$
循環相関-$ x（n）\ longleftrightarrow X（k）$および$ y（n）\ longleftrightarrow Y（k）$の場合、$ \ bar Y _ \ {xy} $として示される相互相関シーケンスが存在します。 $ \ bar Y _ \ {xy}（l）= \ sum _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）y ^ *（（nl））_ N = X（k）.Y ^ *（k）$
* Parsevalの定理*-$ x（n）\ longleftrightarrow X（k）$および$ y（n）\ longleftrightarrow Y（k）$の場合 + $ \ displaystyle \ sum \ limits _ \ {n = 0} ^ \ {N-1} x（n）y ^ *（n）= \ frac \ {1} \ {N} \ displaystyle \ sum \ limits _ \ { n = 0} ^ \ {N-1} X（k）.Y ^ *（k）$

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